Лек№3

ЛЕКЦИЯ №3
ТЕОРИЯ СИЛОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ
МАТЕРИАЛОВ СЖАТИЮ
И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ (продолжение)
2.4. МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ
БЕТОНА, РАБОТАЮЩЕГО В УСЛОВИЯХ СЖАТИЯ-СЖАТИЯ
2.5. ОЦЕНКА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ И ПРОЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ
2.4. МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА,
РАБОТАЮЩЕГО В УСЛОВИЯХ СЖАТИЯ-СЖАТИЯ
Созданная модель использована для оценки прочности бетона в
области сжатия-сжатия силового потока под грузовыми площадками.
Предлагается два подхода.
Первый
подход
основан
на применении
известных
критериев
прочности. Проиллюстрируем это на примере плоского напряженного
состояния. Условие прочности записывается в виде:
 12   22  2 1 2  ( Rb  Rbt )( 1   2 )  Rb Rbt  0 .
В графической форме условие (2.16) представлено на рис.2.5.
Рис.2.5. Графическая интерпретация уравнения (2.16)
(2.16)
2
На рис.2.6.а показана расчетная схема при использовании известных
критериев прочности.
а.
б.
Рис.2.6. Расчетные схемы для оценки прочности бетона,
работающего в условиях сжатия-сжатия
Ее геометрические характеристики:
 длина грузовой (опорной) площадки Lloc;
 высота области сжатия-сжатия – X c  0.5Lloc tg ;
 Lt  h  2 X c ;
 b – ширина элемента.
Физические характеристики:
N bt  Rbt Abt X t b ;
N bt  N b ;
 0   2  Nb / X cb .
Напряжения  0 создают двухосное сжатие и являются в уравнении
(2.9) напряжениями  2 . Подставляя их значение в (2.9), находим
напряжения  1 . После этого анализируем полученные результаты, используя
график «  1 -  2 » (рис.2.5). Если точка с координатами
1 и  2 ,
характеризующая напряженное состояние, находится внутри области
прочного сопротивления, то разрушения не происходит. Но если она выходит
за пределы области, то следует ожидать компрессионное раздавливание
материала.
3
Кроме приведенного решения, по напряжению  1 можно определить
разрушающую нагрузку, действующую на элемент:
N   1 Aloc
При рассмотрении объемной задачи последовательность ее реализации
остается аналогичной описанной выше с заменой условия (2.9) на критерий
прочности для объемного напряженного состояния.
Второй подход. Он основан на модификации модели – преобразовании
ее в многоклинчатую (рис.2.6.б), что отражает характер разрушения бетона
при компрессионном раздавливании («смятии») [2, 3].
Клинья образуются по направлению действия наибольших сжимающих
напряжений
(  1 ). Их количество определяется в зависимости от уровня
меньших по величине главных напряжений  2(0) по формуле:
n 1
где
 2( 0)
Rb
Â,
(2.17)
В – численное значение класса бетона по прочности на сжатие.
Двухосное сжатие повышает сопротивление бетона разрушению. Это
отражается на расчетных значениях предельных напряжений. Их следует
определять по зависимостям:
*
Rbt
 Rbt   0 ;
(2.18)
*
R sh
 R sh   0 cos  .
(2.19)
Изменение расчетной схемы отражается на ее геометрических
характеристиках. Площади отрыва и сдвига бетона следует вычислять по
выражениям:
Abt  2bn( X c 
Lloc
sin  cos ) ;
n
Ash  2(1  sin 2  ) L2loc .
(2.20)
(2.21)
С учетом перечисленного условие прочности материала в области
сжатия-сжатия в плоских элементах запишем в виде:
4
N  N ult  [2bn( Rbt   1 )( X c 
Lloc
sin  cos ) cos 
n
(2.22)
 2[ R sh   1 cos ](1  sin 2  ) L2loc ] / sin   Rb L2loc sin 2 
Прочность бетона, работающего при сжатии.
На рис.2.7 показаны схемы формирования клиньев в многоклинчатых
моделях для двух- и трехосного напряженных состояний. Количество
клиньев, по сравнению с плоским напряженным состоянием, увеличивается в
квадрате и определяется по формулам, аналогичным (2.17), с учетом
действия обжимающих напряжений:
n 1
n 1
0 2
R
Â.
0 2 3
R
(2.23)
Â
соответственно для двух- и трехосного сжатия.
(2.24)
5
Рис.2.7. Построение многоклинчатой модели разрушения материала
в зоне трехосного сжатия
Для рассматриваемых объемных элементов площади отрыва и сдвига
вычисляются по выражениям (2.20, 2.21), увеличенным вдвое, а расчетные
значения напряжений по формулам:
*
Rbt
 Rbt   0   2 ;
*
Rbt
 Rbt   0   2   3
*
*
R sh
 R sh  ( 0   2 ) cos  ; R sh
 R sh  ( 0   2   3 ) cos 
соответственно для двух- и трехосного сжатия.
(2.25)
(2.26)
6
Тогда условия прочности для двухосного сжатия запишем в общем
виде:
N  N ult 
2an( Rbt   0   2(3) )( xc 
lloc
2
sin  cos  ) cos   2[ Rsh  ( 0   2(3) ) cos  ](1  sin 2  )lloc
n

sin 
 Rblloc sin 4 
2
(2.27)
При трехосном сжатии в условие (2.27) необходимо ввести напряжение  3 .
Выражение (2.27) сравнено на рис.2.8 с критериями прочности разных
авторов на примере бетонных образцов с гранью 15см. Не трудно заметить,
что они дают близкие результаты.
а.
б.
Рис.2.8. Сравнение условия (2.27) с критериями прочности бетона разных
авторов для двух- (а) и трехосного (б) сжатия
7
2.5. ОЦЕНКА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ И ПРОЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ
Выделенные при рассмотрении бетонных элементов 3 стадии напряженнодеформированного состояния позволяют оценить трещиностойкость (сопротивление
образованию и раскрытию трещин) и прочность железобетонных элементов. Наличие в
сжатых полосах продольной и поперечной (горизонтальной) арматуры отражается на
работе элементов, хотя общие положения, изложенные в п.п.2.1, 2.2 принципиально не
меняются.
Трещиностойкость.
Для оценки трещиностойкости необходимо знать усилие, передаваемое
в сжато-растянутую область, которое вначале приводит к образованию. а
затем и раскрытию трещин. Величину этого усилия несложно вычислить из
очевидного распределения сил, показанного на рис.2.9.а, в соответствии с
которыми оно равно
N   N sin 2  .
(2.28)
При определении усилия по формуле (2.28) необходимо указать на
изменение угла наклона граней клиньев -  по мере увеличения внешней
нагрузки. В стадии 1а угол  следует вычислять по выражению (4.1), а для
стадии 2 – по (4.2).
а.
б.
в.
Рис.2.9. Стадии напряженно-деформированного состояния
железобетонных элементов
8
Сопротивление образованию трещин.
За предельное состояние по образованию трещин принята стадия 1а
(рис.2.9), которая соответствует напряженному состоянию, когда главные
растягивающие
напряжения
между
вершинами
клиньев
достигают
предельных значений ( Rbt , ser ) по всей высоте сжато-растянутой области
сжимающего силового потока.
К образованию трещин приводит горизонтальная составляющая усилия
N  , величина которой равна
N ã  N  / tg
Сопротивление
образованию
(2.29)
трещин
оказывает
сечение,
расположенное между вершинами клиньев. Усилие в нем складывается из
двух составляющих
N crc  N bt  N s ,
где
(2.30)
N bt
- усилие, воспринимаемое бетоном;
Ns
- усилие, воспринимаемое горизонтальной арматурой.
Усилие N bt равно:
N bt  mRbt , ser bõt ,
где
m
- коэффициент условия работы бетона в условиях плоского
напряженного состояния;
õt  h  2 õc - высота сжато-растянутой зоны между вершинами
клиньев.
Исходя из условия совместности деформаций бетона
арматуры
( s )
N s   s E s As  2nRbt , ser As ,
 s   btmax ;
и
усилие в ней в момент образования трещин с учетом
развития неупругих деформаций в бетоне, равно
где
(  btmax )
 btmax  Rbt , ser / 0.5Eb ;
n  E s / Eb .
9
При расположении арматуры под углом

к горизонтальному
сечению, усилие в ней следует определять из выражения
N s  2nRbt , ser As cos  .
С учетом полученного условие образования трещин запишем в виде:
N ã  N crc  Rbt , ser (mxt b  2nAs cos ) / cos sin  .
(2.31)
Значение коэффициента условия работ m , входящего в расчетные
выражения, учитывая достаточно большое число факторов, влияющее на
сопротивление
образованию
трещин,
может
быть
установлено
по
результатам сравнения теоретических и опытных данных (глава 5.11).
Сопротивление раскрытию трещин.
Ширина раскрытия трещин определяется в стадии 2 напряженнодеформированного состояния (рис.2.9.б). Характерной особенностью этой
стадии является наличие трех основных трещин, последовательность
образования и развития которых описана выше. Их расположение определяет
расстояние Lcrc , равное половине размера ядра сжатия a ef / 2 .
Необходимо напомнить, что на ядро сжатия передается лишь часть
внешней нагрузки, величина которой определяется по формуле (2.29).
Под влиянием горизонтальной составляющей этого усилия происходит
раскрытие
трещин.
Приравнивая
ее
величину
к
равнодействующей
растягивающих усилий в арматуре, можно найти напряжения и деформации в
сечении с трещиной из очевидных выражений:
N г   s As ;
 s  N ã / As ;
 s   s / Es .
Тогда ширина раскрытия трещин определится как сумма средних
деформаций арматуры и бетона на участке Lcrc :
a crc  ( sm   bt ,m ) Lcrc ,
где
 sm ,  bt ,m
- средние деформации соответственно арматуры и бетона
на участке между трещинами.
10
Пренебрегая деформациями бетона  bt,m , выражение для определения
ширины раскрытия трещин перепишем в виде:
a crc   s  s Lcrc / E s ,
где
 s  1  N bt / N  1;
(2.32)
N bt  mRbt , ser Lbt b;
 - принимаем по нормам проектирования.
Прочность железобетонных полос при сжатии оценивается по стадии 3
напряженно-деформированного состояния – стадии разрушения (рис.2.9.в).
В соответствии с моделью разрушения сопротивление разрушению
обеспечивается работой бетона в трех расчетных зонах - отрыва, сдвига и
раздавливания.
Это
определяет
принцип
конструирования
–
для
эффективного использования арматуру следует устанавливать в этих зонах. В
зоне отрыва рационально разместить горизонтальную арматуру, в зоне
раздавливания – вертикальную. В зоне сдвига, как правило, устанавливается
горизонтальная арматура, которая пересекает плоскость сдвига.
В соответствии с перечисленным выше, на рис.2.10 показана схема
усилий для расчета прочности сжатой железобетонной полосы. Поскольку ее
основой служит модель разрушения бетона, то их геометрические
характеристики и принципы построения совпадают. Ниже приведены ее
физические и статические характеристики расчетной схемы.
Рис.2.10. Расчетная схема модели разрушения железобетонной полосы
(усилия в зоне сдвига условно не показаны)
11
Физические характеристики.
Рассмотрим работу каждой расчетной зоны.
Сопротивлению разрушению бетона в ядре сжатия способствует
арматура. При вертикальном ее расположении усилие, воспринимаемое
бетоном ядра сжатия и арматурой, определяется выражением:
N ef  N b  N s  Rb Aef  Rs As .
(2.33)
Горизонтальная арматура в средней части сечения, пересекающая ядро
сжатия, препятствует развитию поперечных деформаций бетона. Усилие в
ней в предельном состоянии равно
N s  m s R s As .
При произвольном ее расположении
(2.34)
усилие можно определить из
очевидного выражения
N s  m s R s As (cos   sin  ),
где

(2.35)
- угол наклона арматуры относительно вертикальной оси полосы.
Из (2.35) видно, что при вертикальном расположении арматуры
(   0 ) получаем второе слагаемое формулы (2.33), а при горизонтальном –
выражение (2.34) при m s  1 .
Определенная трудность возникает при учете влияния арматуры,
пересекающей плоскость сдвига. Изучению этого вопроса посвящено
большое количество работ. В литературе появился специальный термин –
«нагельный эффект» или «dowel action».
Предлагается упрощенная схема работы арматуры в плоскости сдвига
(рис.2.11). Суть ее заключается в следующем. В плоскости сдвига арматура
изгибается. При этом угол наклона оси стержня совпадает с углом наклона
плоскости скольжения клина. В этом случае очевидно, что напряжения
достигают максимальной величины ( R s ) в точке А.
12
а.
б.
hsh
Рис.2.11. К определению сопротивления арматуры
b сдвигу
в плоскости скольжения при ее расположении:
а – одиночном; б - многорядном.
Если к точке А провести касательную, являющуюся равнодействующей
нормальных и поперечных касательных напряжений, определим величину
последних из условия
 s  R s sin 
(2.36)
Под арматурой большого диаметра (d  16мм) происходит смятие
бетона, что вызовет изменение угла наклона оси стержня и поэтому приведет
к уменьшению касательных напряжений. Это может быть учтено введением
в (2.36) экспериментально обоснованного понижающего коэффициента. Но
есть и другой путь оценки работы арматуры в зоне сдвига. Для этого следует
использовать модель разрушения бетона, в которой роль грузовой площадки
будет играть диаметр арматуры. Определив таким образом два значения
поперечной силы, отвечающие двум возможным вариантам разрушения
(по арматуре при  s  R s и по бетону от «смятия») в условие прочности
полосы следует включить наименьшее.
Опыты
показывают,
что
при
одинаковой
площади
арматуры
размещение ее в несколько рядов по высоте ( h sh ) значительно повышает
сопротивление сдвигу. Это объясняется тем, что арматурный пакет обладает
большей жесткостью за счет работы бетона, расположенного между
13
стержнями.
Поэтому
при
определении
усилия
сдвига
необходимо
пользоваться приведенными геометрическими характеристиками
J red  J b / n  J s ,
S red  S b / n  S s ,
где
n  E s / Eb ;
J s  0.05d 4 ;
J b  bhsh / 12
Усилие сдвига, воспринимаемое арматурой, можно вычислить по
формуле Журавского
Q s  J red dR s sin  / S red .
Изучению работы арматуры в бетоне на сдвиг посвящены численные
исследования, результаты которых приведены в главе 3. Отметим, что
предложенная выше расчетная схема нашла подтверждение.
Статические характеристики.
Проецируя внутренние усилия в железобетонной полосе (рис.2.10) на
вертикальную ось, условие ее прочности записывается в виде:
N  N ult  [m s Rs As cos  2( N sh  Qs )] / sin   Rb Aef  Rs As'
(2.37)
Структура условия (2.37) следующая. В правой части первое слагаемое
учитывает работу горизонтальной арматуры по плоскости отрыва, второе –
сопротивление бетона и арматуры сдвигу по плоскости скольжения, третье –
совместную работу бетона и арматуры в ядре сжатия. Как видно,
составляющие формулы те же, что и при расчете бетонных полос, но в
каждой из них отражено наличие и влияние армирования.
При рассмотрении объемных элементов подход к оценке прочности и
трещиностойкости аналогичен приведенному выше. При этом следует
учитывать специфическое расположение армирования.
Для качественного и количественного подтверждения и определения
принятых в расчетных предложениях основных параметров проведены
численные исследования напряженного состояния элементов и конструкций.
14
Вопросы для самопроверки и контроля знаний
1. Оценка прочности бетона, работающего при плосконапряженном
состоянии на основе существующих критериев прочности.
Показать аналитическую и графическую интерпретации условия
прочности.
2. Применение теории силового сопротивления анизотропных
материалов сжатию для оценки прочности бетона, работающего в
условиях
сжатия-сжатия.
Показать
физическую
модель
разрушения.
3. Записать условие прочности бетона, работающего в условиях
плоского напряженного состояния сжатия-сжатия.
4. Записать условие прочности бетона, работающего в условиях
трехосного напряженного состояния при сжатии.
5. Показать графическое сравнение результатов расчетов по
теориям прочности разных авторов и при расчете по теории
силового сопротивления анизотропных материалов сжатию в
условии двух- и трехосного сжатия.