Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Тема:
Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Цель : Обучение самостоятельному составлению квадратных уравнений по условиям
текстовых задач и решению их с использованием ранее сформированных навыков.
Ход урока.
I. Оргмомент.
II. Изучение нового материала (лекция).
Решение задачи с помощью составление уравнения нужно начинать с анализа её
условия; нужно выбрать неизвестное, выявить зависимости между неизвестной и
исходными величинами, записать эти зависимости в виде алгебраических
выражений, обосновать составление уравнения. Нужно выделить три этапа
решения задачи: 1) Составление уравнения;
2) Решение полученного уравнения;
3) Выбор верного ответа.
При решении задач с геометрической фабулой рекомендуется делать к ней рисунок,
на котором будут указаны данные в условии задачи величины, а также величины,
выраженные через введённую неизвестную величину. Оформить решение можно
так:
Задача 1 . От квадратного листа отрезали полоску шириной 6 см, площадь
оставшейся части листа 135 см2. Найдите длину стороны квадратного листа.
В
Е
С
Решение:
Пусть х см – длина стороны квадратного листа ABCD , тогда
х (х – 6) см2 – площадь оставшейся части листа. По условию
задачи эта площадь равна 135 см2, следовательно х(х – 6) = 135.
Решив уравнение , получим х1 = -9, х2 = 15.
А
F D Так как длина стороны выражается положительным числом, то х = 15.
Ответ: 15 см.
Задача 2.
В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 7 см, а
гипотенуза больше меньшего катета на 8 см. Найти стороны треугольника.
В
Решение:
Пусть длина меньшего катета х см , тогда длина большего катета
(х + 7) см, длина гипотенузы (х+8) см. По теореме Пифагора квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Получим уравнение
(х + 8)2 = х2 + (х + 7)2 ;
С
А х2 +16х + 64 – х2 – х2 – 14х – 49 = 0;
х2 – 2х – 15 = 0;
х1= -3
и
х2 = 5.
По смыслу задачи подходит корень х = 5, тогда длина второго катета 5 + 7 = 12 см,
длина гипотенузы 5 + 8 =13 см.
Ответ : 5 см, 12 см, 13 см.
Задача 3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 50 м/с.
Через сколько секунд тело окажется на высоте h.
1
Вычислите для случаев: а) h=80 м, б) h = 125 м , в) h = 150 м.
Решение:
Из физики известно , высота h(м), на которой брошенное тело окажется через t
секунд, может быть найдено по формуле h = v0t -
𝑔𝑡 2
2
. Здесь v0 – начальная
скорость (м/с), g – ускорение свободного падения, приближённо равное 10 м/с2.
Подставим значение v0 и g в формулу и получим уравнение h = 50t – 5t2, или
5t2 – 50t + h = 0 . Найдём дискриминант данного квадратного уравнения с
параметром h и получим D1 = (-25)2 - 5 ∙h = 625 - 5 h. Для данных значениях h
найдём корни уравнения.
а) Если h = 80 см, то D1 = 625 - 5 ∙ 80 = 225 = 152 , t1 = 8 (c ), t2 = 2 (c ) . В этом
случае тело окажется на данной высоте дважды: при подъёме вверх ( t = 2c ) и
при падении вниз ( t = 8c ).
б) Если h = 125 м, то D1 = 625 - 5 ∙ 125 = 0 , t = 5. В этом случае тело
окажется на данной высоте однажды через t = 5 с и эта высота - наивысшая
высота подъёма.
в) Если h = 150 м , то D1 = 625 - 5 ∙ 150 = - 125, то уравнение не имеет решения.
Это значит , что тело не поднимется на заданную высоту. Для наглядности
сделаем рисунок зависимости h от t, т.е. h = 50 t - 5 t2 . Из графика видно,
h,м
150
125
80
0
2
5
8
t,c
Что тело в течение первых пяти секунд поднимается до 125 м, а затем в течение
следующих пяти секунд падает вниз. Через 10 с после броска тело падает на землю.
На высоте 80 м тело оказывается дважды: через 2с (подъем) и 8 с ( падение) от
момента броска ( случай а). На высоте 125 м тело оказывается однажды через 5 с в
наивысшей точке подъёма ( случай б). На высоте 15 м тело оказаться не может (
случай в).
Из приведённого примера также видно, что в зависимости от значения параметра h
квадратное уравнение 5t2 – 5t + t = 0 имеет различные решения . Этим решениям
соответствует различная ситуация.
Задачи такого типа встречаются в вариантах подготовки к экзаменам.
Задача 4. Высота, на которой находится камень, брошенный с поверхности земли
вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 1 + 13t – 5t2 (м). Сколько секунд камень
будет находиться на высоте 7 метров?
2
Решение:
h(t) = 1 + 19t – 5t2 ,
h=7.
2
Решим уравнение 5t – 13t + 1 = 7,
5t2– 13t - 6 = 0,
D = 169 – 120 = 49, √𝐷 = 7,
𝑡1 =
13−7
10
= 0,6
𝑡2 =
13+7
10
= 2.
t = 2 – 0,6 = 1,4 (c) . Ответ: 1,4 с.
Задача 5. Если наблюдатель находится на высоте h над поверхностью Земли, то
расстояние от него до линии горизонта можно найти по формуле 𝑙 = √2𝑅ℎ , где R
= 6400 км – радиус Земли. Найдите наименьшую высоту, с которой должен
смотреть наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не менее
8 км. ( Ответ выразите в метрах).
Решение:
8 = √2 ∙ 6400 ∙ ℎ,
2 ∙ 6400h = 82
82
h = 2∙6400 =
64
2∙6400
=
1
200
( км) =
1000
200
(м) = 5(м).
Ответ: 5 м
С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи на движение.
Задача 6. Велосипедист проехал 7 км по шоссе и 5 км по просёлочной дороге, затратив
на весь путь 1 ч. По просёлочной дороге он ехал со скоростью на 4 км/ч меньшей , чем
по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе?
Решение:
Просёлочная дорога
v , км/ч
x-4
s , км
5
x
7
шоссе
Составим уравнение
7
х
−
5
х−4
t, ч
5
𝑥=4
7
𝑥
=1
7(х – 4) + 5х = х(х – 4)
х2 – 16х + 28 = 0
х1 = 2
х2 = 14 .
По смыслу задачи подходит х = 14.
Ответ: 14 км/ч.
Задача 7. Катер прошёл по течению реки 30 км и 24 км против течения за 9 часов.
Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Решение:
Пусть собственная скорость катера равна х км/ч.
По течению
Против течения
v , км/ч
х+3
х-3
s , км
30
х+3
24
х−3
t, ч
30
24
3
Составим уравнение
30
24
+
=9
х+3 х−3
Ответ : 7 км/ч.
При выполнении задач на выполнении работы , используя формулу A = p ∙ t , где p –
производительность труда, тоже получаются квадратные уравнения.
Задача 8. Два каменщика сложили вместе стену за 20 дней. За сколько дней выполнил
бы эту работу каждый из них в одиночку, если известно, что первому пришлось бы
работать на 9 дней больше второго?
Решение :
Если второй каменщик сложит стену за х дней,
P
t, дней
A
1
1 каменщик
x+9
1
𝑥+9
1
2 каменщик
X
1
𝑥
1
1
1
1
1 и 2 каменщик
20
20(𝑥 + 𝑥+9)
+
𝑥 𝑥+9
1
1
Получим уравнение 20 ( 𝑥 + 𝑥+9 ) = 1
х2 - 31х – 180 = 0
х1 = 36
х2 = -5 ( не подходит по условию задачи) .
Таким образом второй каменщик сложит стену за 36 дней а первый
каменщик за 36 + 9= 45 дней.
Ответ: 45 дней и 36 дней.
III.
Творческие задания:
1. Высоту над землёй подброшенного вверх мяча можно вычислить по
формуле h(t) = 2 + 12t – 5t2 ( h – высота в метрах, t – время с секундах,
прошедшего с момента броска). Сколько секунд мяч будет находиться на
высоте 6 метров?
2. Если наблюдатель находится на небольшой высоте h над поверхностью
Земли, то расстояние от него до линии горизонта, можно найти по
формуле 𝑙 = √2𝑅ℎ , где R = 6400 км – радиус Земли. Найите наименьшую
высоту , с которой должен смотреть наблюдатель, чтобы он видел
линию горизонта на расстоянии не меньше 6,4 км. ( Ответ выразите в
метрах).
3. После дождя уровень воды в колодце может повысится. Мальчик
измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает
расстояние от поверхности земли до уровня воды по формуле h = – 5t2 .
До дождя время падения каменщиков составляло 0,8 с . На какую
наименьшую высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы
измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? . ( Ответ выразите
в метрах).
IV.
Список используемой литературы:
4
1. «Алгебра - 9» Под редакцией Г.В.Дорофеева. Издательство «Просвещение» 2009 г
(Москва).
2. «Изучение алгебры 7-9» Ю.М. Колягин, изд «Просвещение» 2002 (Москва)
3. «Поурочные разработки по алгебре» А.Н. Рурукин изд «Вако» 2008 (Москва)
4. «ЕГЭ – 2010», «ЕГЭ – 2011» Семенов А.А. и Высоцкий.
5