«Решение текстовых задач графическим методом» Желтухина

«Решение текстовых задач
графическим методом»
Желтухина Анна
Ученица МБОУ Новосильской СОШ
10 б класс
Предисловие.
Наибольшую трудность при решении текстовых задач - составление уравнения. Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим. До настоящего времени вопрос о графическом способе
решения арифметических задач не нашёл должного применения в практике. В основном задачи решаются аналитическим методом.
При написании этой работы я хотела показать свое понимание решения задач, Я специально не пользовалась интернетом, не искала в дополнительной литературе. Эта
работа авторская.
При решении задач графическим способом необходимо правильно построить график,
используя условие задачи. В большинстве случаев необходимо рассматривать подобные треугольники. Доказать подобие можно разными способами, что я и делала при
решении задач.
Больше всего под графический способ движения подходят задачи на встречное движение. Но я попыталась решить задачи и по другим темам.
Задача – 1(ОЛ ВЗМШ)
Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной
точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров
велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода достиг мотоциклист?
Построим графики движений. Наименьшая скорость у пешехода, у велосипедиста
больше, наибольшая у мотоциклиста.
S(км)
М
В
С
П
P
D
A
E
t(ч)
B
Согласно условию задачи AB=6 км, CD=3км, найти – РЕ, (углы наклона прямых зависят от скорости)
∆ АЕВ ~ ∆СЕD (AB ||CD; <ABЕ = <DCЕ; <AЕB = <CЕD – вертикальные. Треугольники подобны по трем углам.)
=
=
AЕ=2 ЕD
=
AD=AЕ+ЕD=3ЕD
∆AЕP подобен ∆CDA (PЕ||CD)
=
Ответ: 2 км
=
ЕP=2 км
Задача - 2 (ОЛ ВЗМШ и районной математической олимпиады 2013 года)
Два автомобиля выехали одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу. После
встречи автомобили прибыли в конечные пункты через 16 часов и 25 часов соответственно. Сколько часов в пути был каждый автомобиль?
Используя условие задачи составим график движения.
S(км)
B
A
S2
K
S1
О
N
M
t(ч)
C
К – точка встречи (К N = S 1 ), АО – расстояние между пунктами (АО = ВС = S2),
NM=16
NC = 25
ON = t. OM = t+16
OC = t + 25
∆ АОМ ~ ∆ NKM (оба прямоугольные, KN||AO)
=
=
(1)
∆ BОC ~ ∆ KNO (оба прямоугольные, KN||BC)
=
=
(2)
Сравним (1) и (2)
=
=0
16*25 + 16t - t2 - 16t = 0
t2 = 16*25
t = 4*5 = 20 часов
OM = ON + NM = 20 + 16 = 36 часов
OC = ON + NC = 20 +25 = 45 часов
Ответ: 36 часов и 45 часов
-
=0
Задача - 3(ОЛ ВЗМШ)
Три работницы делают игрушки. Первая работница делает 5 игрушек в час, вторая –
8 игрушек в час. Первые две работницы начали работу одновременно, а третья на полчаса позже. Через некоторое время третья работница догнала по количеству изготовленных игрушек первую работницу, а затем через полтора часа после этого догнала и
вторую. Определите производительность труда третей работницы.
Изобразим графически, что нам известно из условия задачи.
N(кол-во игрушек)
3
2
C
1
B
О
А
М
E
t(ч)
D
АМ обозначим - х часов. Согласно условию: ОА = 0,5 часа, MD = 1,5 часа
∆АВМ ~ ∆АСD, (BM||CD)
=
CD = 8(OA+AM+MD)= 8(X + 2)
=0
3X2+6X-3,75=0
BM = 5(OA+AM)=5(X + 0,5)
=
-
=0
5(X2+2X+0,75) - 8(X2+2X) = 0
Х 2 + 2Х – 1,25 = 0
AD=AM+MD=1,5+X=1,5+0,5=2 часа
X1=0,5
X2=-2,5(не пригоден)
OD=OA+AD=0,5 + 2=2,5 часа
За два часа третья работница сделает столько игрушек, сколько вторая работница за
2,5 часа. N2=2,5*8 = 20 игрушек
В час третья работница сделает
N3=
=10 игрушек
Ответ: 10 игрушек
Задача- 4 (ОЛ ВЗМШ)
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал автомобиль. На половине пути от А до В автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт В, велосипедисту оставалось проехать еще треть пути.
За какое время велосипедист проехал путь от А до В?
S(км)
P
B
D
E
M
O
K
x
3
A
C
N
AB = C1M = S
Из ∆NCK
x
OP =
OP =
t(ч)
F
CD =
∆ANE~∆AMC1 (NE||M C1)
Ответ: За 45 минут
AN = 15
NP = PK
OP - средняя линия трапеции NEDK
=
DK =
OP =
NE=
=
=
AM =
= 45 минут
Задача-5(H)
Из двух городов А и В выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Первый велосипедист, выехавший из А, проехал до встречи расстояние в полтора
раза больше, чем второй. Первый велосипедист прибыл в В через 1 час 20 минут после
встречи. Второй велосипедист через 2 часа после встречи находился в 10 км от А.
Найти расстояние между городами А и В.
Решение
Построим график используя условие задачи
S(км)
C
B
O
K
M
A
BK = S1
AD = t+ 4/3
N
D
E
AK = 1,5S1
t(мин)
AB = CD = 1,5S1+S1 =2,5S1
MN = 10 AE = t
EN = 2
∆ACD ~ ∆AOE
-
5t-3t + 4 = 0
1,5S1 =
AB = 2,5S1 = 2,5*20 = 50 км
Ответ: 50 км
=
2t = 4
t=2
OE-средняя линия трапеции ABMN
AE = EN
OE =
=
=0
=0
5t – 3( t + 4/3) = 0
AN = 4
=
(OE||CD)
3S1 = 10+2,5S
0,5S1 = 10
S1 = 20
Задача-6(H)
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В в пункт А
выехал велосипедист , который встретил пешехода через 50 минут после своего выезда из В. Сколько времени потребовалось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь пути из А в В, если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 часа быстрее пешехода.
Решение графическим методом.
Используя условие задачи, нарисуем график движений.
АМ =
часа,
DE = 4 часа
АЕ = t
MD = AE – DE – AM = t- 4 -
= t-
AD = t-4
Из ∆ADB (OM||AB) ∆ABD~∆OMD
=
=
Из ∆ACE (OM||CE) ∆AOM~∆ACE
=
=
(1)
=
(2)
Левые части формул (1) и (2) равны, значить, равны и правые.
=
-
=0
=0
=0
6t2 – 29t – 5t + 20 = 0
t1 = 5 часов
6t2 – 34t + 20 = 0
t2 = 2/3 (<4) не пригоден
Ответ: 5 часов
6t(t – 29/6) – 5 (t – 4)
Задача–7 (C-13.397)
Два поезда выехали одновременно из А и В навстречу друг другу и встретились на
расстоянии р км от В. Через t ч после встречи второй поезд, миновав пункт А, находился в q км от него, а первый в это время, миновав пункт В, находился от второго
поезда на расстоянии в два раза больше, чем расстояние между А и В. Найти скорости
поездов и расстояние между А и В.
Поезда не имели остановок, и скорости их считаются постоянными.
Решение графическим методом
AB-обозначим – S
тогда CD = 2S
∆ABO ~∆COD ( по трем углам)
BM = p
=
FD = q
=
EF = t
AE = MO =
∆BOM~∆OND ( оба прямоугольные , угол ВОМ = углу NOD, как смежные)
=
=
=
S1+q = 2p
S1 = 2p-q
S = p + S1 = P + 2p – q = 3p – q
VA =
=
=
Ответ: S = 3p – q, VA =
VB =
,
=
VB =
Задача-8(C-13.415)
Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу.
Через 4 ч после встречи велосипедист, ехавший из А прибыл В, через 9 ч после встречи велосипедист, ехавший из В, прибыл в А. Сколько часов был в пути каждый велосипедист?
Решение графическим методом
ON – обозначим – S1 AB = MN - обозначим – S, тогда OM = S – S1 AN = BM обозначим –t
MC = 4 ч
+4
ND = 9 ч (условие задачи) AD = AN +ND = t + 9
BC = BM + MC = t
∆ABD ~∆NOD (оба прямоугольные, угол ODN – общий)
=
=
S1 =
(1)
∆ABC~∆MOC (оба прямоугольные, угол MCO – общий)
=
подставим S1 из формулы (1)
=
-
=O
-
=0
-
=0
t(t + 4) – 4(t+ 9) = 0
t2 + 4t – 36 – 4t = 0
AD = 6 + 9=15 часов
t2 = 36
t1 = 6
t2 = - 6(не пригоден)
BC = 6 + 4=10 часов
Ответ: 10 часов и 15 часов Задача -12 (C – 13.374)
=0
Задача -9 (C – 13.374)
Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на 1 час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент
горения первая и третья свеча оказались имеющими одинаковую длину, а через 2 часа
после этого одинаковую длину стали иметь первая и вторая свеча. За сколько часов
сгорит первая свеча, если вторая сгорает за 12 ч, а третья – за 8 ч?
Решение графическим методом.
Из условия задачи:
ОВ = 1 ч,
КМ = 2 ч BK = t1 OK = 1 + t1
AO = CB = S – длина свечей
Скорости сгорания свечей: V3 = , V2 =
AE = OK = 1+ t1
ED = V3* ВK =
.
BM = BK + KM = 2 + t1
OM = OB + BK + KM = 3 + t1
FP = V2 * BM =
ED|| FP
∆ADE~∆APE
=
2(2+t1) (1+ t1 ) - 3t1(3+t1) = 0
пригоден)
=
-
=
=
=
=0
t12 + 3t1 – 4 = 0
=0
t1 = 1 час
t1 = -4(не
ED = St1/8 = S1/8
OK = 1 + t1 = 1 + 1 = 2 часа За 2 часа первая свеча сгорела на
1/8 своей длины, за 1час она сгорит на 1/16 длины, а полностью сгорит за 16 часов.
Ответ: за 16 часов
Вывод:
Данный метод позволяет более наглядно представить условия задачи, и получить решения более простым способом.
Конечно, решать эти задачи под силу подготовленным ученикам, поэтому способ решения можно рассмотреть на кружковой работе, элективных курсах, в профильных
классах, при подготовке к ЕГЭ.
Список использованной литературы:
1. Ю.В. Нестеренко «Задачи вступительных экзаменов по математике»
2. Сканави М.И. «Сборник задач по математике поступающим во ВТУЗЫ»
3. Контрольная №8 за 3 курс ОЛ ВЗМШ при МГУ