Задание 18 по вычислительной математике

Вариант №18
Задание №1. Найти наименьший по абсолютной величине корень нелинейного уравнения
2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 10 = 0 с точностью   0, 01 при помощи:
1. метода половинного деления;
2. метода хорд;
3. метода касательных.
Задание №2. Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений
3,5𝑥1 + 1,1𝑥2 + 0,9𝑥3 = 3,5
{4,6𝑥1 + 8,4𝑥2 + 2,2𝑥3 = 4,6
1,3𝑥1 + 3,6𝑥2 + 7,1𝑥3 = 5,9
методом Гаусса (путем приведения матрицы системы к треугольному виду). Для
проверки полученного решения вычислить значения невязок.
2. Используя элементарные преобразования привести (при необходимости) заданную
систему линейных алгебраических уравнений к виду, удобному для применения
итерационного метода Гаусса-Зейделя, и решить систему этим методом, вычисляя на
каждом шаге итерационного процесса значения невязок с точностью   0,1 .
3. Сравнить результаты пунктов 1 и 2.
Задание №3.
x
1. Для заданной функции y  f ( x) , а именно y= √x2
+2.5
на отрезке [1.4; 2.96] (  a; b )
и значения n  12 вычислить приближенные значения функции, округляя их до
пяти знаков после запятой, i  0,1,...n.
2. Для полученных значений табличной функции yi  f ( xi ) в узлах xi составить
таблицу конечных разностей:
i
xi
yi
yi
 2 yi
….
 n yi
0
1
.
.
.
n
3. Для первых четырех узлов x0 , x1 , x2 , x3 построить интерполяционный многочлен
Лагранжа L3 ( x) .
4. Вычислить с помощью многочлена Лагранжа значение функции в точке
h
x  x2  .
2
5. Построить интерполяционный многочлен Ньютона N ( x) для интерполирования
h
2
вперед, с помощью которого рассчитать значение функции в точке x  x2  .
6. Построить интерполяционный многочлен Ньютона N ( x) для интерполирования
h
2
назад и рассчитать с его помощью, значение функции в точке x  x10  .
7. Сравнить значения
L3 ( x ), N ( x ), N ( x ) соответственно со
значениями
f ( x ), f ( x ).
8. В таблице конечных разностей выделить (например, подчеркнуть одной чертой)
разности, использованные при построении многочлена Ньютона для интерполирования
вперед и назад (например, двумя чертами).
x
Задание №4. Для заданной функции , 𝑦 = √x2
+2.5
на отрезке [1; 2.8] (  a; b ) и значения
n  12 построить прямую и параболу по методу наименьших квадратов. Оценить
погрешности полученных аппроксимаций (найденных приближенных зависимостей);
построить исходную табличную функцию, прямую и параболу на одном чертеже, сделать
вывод по полученным результатам.
Задание №5. Найти приближенное решение yi  y  xi  , i  1,2,...10 дифференциального
уравнения 𝑦 ′ = 𝑥 + 3𝑥𝑦, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0.3 на отрезке 0;1 с
шагом h  0,1 методом Эйлера с пересчетом.
Задание №6
x
1. Для заданной функции 𝑦 = √x2
+2.5
и значения n  12
на отрезке [1; 2.8]
x
вычислить приближенное значение функции 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ) = √x2
2.8
2. Вычислить приближенное значение интеграла 𝐼𝑛 = ∫1
x
√x2 +2.5
прямоугольников в полуцелых узлах;
2.8
x
3. Вычислить приближенное значение интеграла 𝐼𝑚 = ∫1 √x2
+2.5
трапеций;
2.8
x
4. Вычислить приближенное значение интеграла 𝐼𝑐 = ∫1 √x2
, i  0,1,...12 .
+2.5
dx
по формуле
dx
по формуле
dx
по формуле
+2.5
Симпсона;
5. Сравнить значения I , I , I .
п т c