Выполнил

Научно-исследовательская работа
по математике:
О наименьших покрытиях бесконечных множеств квадратов
и кругов
Выполнил
Ученик 9 класса
Конюхов Сергей
Руководитель
к.ф м.н, доц. каф. Прикладной
математики ИжГТУ .Ицков
Александр Григорьевич
Сарапул 2011
Содержание:
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................3
ЧАСТЬ 1. СВОЙСТВА РЯДОВ
............................................................................................................. 4
ЧАСТЬ 2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
......................................................................................... 7
....................................................................................................................................... 13
ЛИТЕРАТУРА ..........................................................................................................................................14
Введение.
В работе будет рассмотрен ряд задач, на нахождения фигуры,
удовлетворяющей определенному критерию (например, площади), способной
покрыть любое бесконечное множество заданных фигур (квадратов или
кругов). В частности целью работы является рассмотрение алгоритмов
решения данных типов задач.
Но прежде чем начать рассматривать задачи, необходимо будет
познакомиться с некоторыми свойствами рядов, таким образом, используя
некоторое знание высшей математики, обычно не входящей в программу
средней школы, и, тем не менее, необходимое для научной работы.
Часть 1. Свойства рядов.
В
задачах,
рассмотренных
ниже,
критерием,
определяющим
бесконечные множества будет сумма их площадей, заданная в условии. В
решении все варианты множеств будут разбиваться на группы , задаваемые
определенными условиями (например, ограничения по суммарной площади,
или, для квадратов, по суммарной длине сторон). Поэтому, прежде чем
приступить к рассмотрению задач, необходимо ознакомиться с некоторыми
свойствами рядов.
1)Начиная с какого-то номера, площади данных фигур будут бесконечно
малыми. Данное свойство характерно только для бесконечных множеств,
сумма площадей которых есть некоторая величина. В самом деле,
рассмотрим бесконечное множество фигур, суммарная площадь которых
равна А. Тогда либо площадь будет равномерно распределена по всем
фигурам и площадь всех фигур будет бесконечно малой, либо основная ее
часть будет сосредоточена в некоторых фигурах, а сумма всех остальных
будет бесконечно малой и, соответственно, у каждой из данных фигур
площадь также будет бесконечно малой
2)Теперь
покажем,
что
сумма
чисел,
обратных
натуральным,
неограниченно возрастает.
1 1
1
  ...   ...  N
2 3
n

1


n
n 1
1
Задавая любое N 1 
1
1
 ...   N , k  N
2
k
3) Несмотря на это, можно найти предел для суммы квадратов данных
чисел.
1 1
1 1
1
1
1 1 1
1 1
1


...




...


1




...



1

(k  1)k
2 2 3
k 1 k
k
2 2 32
k 2 1 2 2  3
Заметим, что данный факт можно интерпретировать через геометрию,
используя свойство площади квадрата – площадь квадрата равна квадрату его
стороны.
Задача №1
Пусть даны квадраты со сторонами:
1 1
1
; ;...; ;... Покажем, что их
2 3
n
можно разместить без наложения в квадрат со стороной 1.
Разобьем все квадраты, на группы, по принципу:
1
1
1
;
;...;
2n 2n  1
2 n 1  1
Данное разбиение помогает нам расположить все квадраты по рядам.
Теперь заметим, что длина любого из полученных рядов не будет превышать
единицы.
1
1
1
1
1
1
 ...  n 1
 n  n  ...  n  2 n n  1
n
2
2 1 2
2
2
2
В свою очередь, любой ряд можно накрыть полоской, ширина которой
будет равна стороне квадрата с наибольшей стороной в данной группе.
Теперь заметим, что сумма ширин данных полос, будет представлять собой
сумму всех двоек с отрицательными показателями. Это в свою очередь
бесконечная геометрическая прогрессия, с неотрицательным знаменателем
меньше единицы. Покажем, что сумма данной геометрической прогрессии,
будет равна единице.
1 1
1
 2  ...  n  ... 
2 2
2
1
2
1
1
2
1
Таким образом, сумма ширин данных полос равна стороне квадрата,
длины данных полос меньше стороны квадрата. Осталось только наглядно
показать размещение квадратов в квадрате со стороной, равной 1 .
Часть 2. Алгоритмы и решения задач.
Рассмотрим теперь множество квадратов. Пусть у них заданна общая
площадь. Тогда можно найти такой квадрат с наименьшей площадью, в
который можно вписать данное множество квадратов, без наложения.
Задача №2
Даны квадраты, с суммой площадей, равной 1. Найти квадрат с
наименьшей стороной (площадью) в который можно вписать данные
квадраты без наложения.
Рассмотрим первый вариант: множество
состоит из двух равных квадратов. Площадь
каждого равна
сторона
1
, сторона 2
наименьшего
2
. Понятно, что
2
квадрата,
можно вписать данные два, равна
в
который
2 , площадь –
2.
Докажем, что данный квадрат – наименьший для всех остальных
случаев. Пусть площади квадратов S1 ; S 2 ;...; S N ;... и S1  S 2  ...
Тогда и
стороны соответственно тоже a1  a2  … Разобьем квадраты на ряды:
а1 ;...; а п1 ап11;...; ап2 п 1 … Рассмотрим первый ряд:
1
а1  ...  ап1  2
а1  ...  ап1 1  2
а2  ...  ап1 1  2  а1  ап1 1
а2 ап1 1  ...  ап21 1 


2  а1 ап1 1
а2  а3  ...  ап1 1  S 2  ...  S n1 1  а2 ап1 1  ...  ап21 1 


2  a1 aп1 1
Аналогичную операцию проделываем со вторым рядом:
S n1  2  ...  S n1  n2 1 


2  an1 1 an1  n2 1 


2  a1 an2  n1 1
Аналогично со всеми последующими рядами. Теперь сложим
результаты всех рядов:
S 2  ... 
1  a12 
H




2  a1 an11  an2 n11  ...

2  a1 H  a1 
1 a
1  a  2a1  a
 a1 

2  a1
2  a1
2
1
2
1
2
1
1 
2
2a 
2
1
2  a1
 2
Изначально понятно, что фигуру наименьшей площади, способной
покрыть данное множество, нельзя найти простым подбором. Из-за этого
приходиться находить вариант, с которого начнется решение. В олимпиадной
математике данный метод принято называть «принцип крайнего». В данной
задаче решение опирается на частный случай заданного множества – два
равных квадрата. Не смотря на то, что варианты множеств могут быть
другими, они все великолепно вписываются в фигуру, удовлетворяющие
первому, частному случаю для двух квадратов. Также нельзя забывать. Что
множества могут быть бесконечными, но должны сохранять свою
суммарную площадь. Ограничения по площади заставляют множество быть
сходящейся последовательностью – рядом, тем самым устремляя n-ный член
множества к нулю. Это и позволяет не обращать внимание на количество
квадратов, а думать о качестве их суммы.
Но, даже не смотря на то, что какие-то квадраты будут бесконечно
малыми, хаотично «закинуть» их в квадрат не удастся, так как есть
вероятность их перекрытия. В один ряд их также не поставишь – стороны
квадрата будут образовывать гармоничный ряд, который, несмотря на
стремящийся к нулю n-ный член, не является сходящимся, то есть длина
данного ряда не имеет предела. Это заставляет разбивать множество на ряды,
ограничивая их условиями, как в данном случае – стороной покрывающего
квадрата. Дальше есть два варианта: ввести еще одно условие – ограничить
общую высоту рядов стороной квадрата, или найти предел высоты, тем
самым показывая, сто она опять же меньше стороны квадрата. Все нужные
для этого математические выкладки представляют собой оценку на две
переменные. Их результат – предел высоты, при любом значении стороны
первого квадрата.
Теперь посмотрим наименьшее покрытие для множества кругов. Здесь
покрывающей фигурой будет квадрат.
Задача №3
Дано множество кругов, с суммарной площадью равной . Найти
наименьший квадрат, в который можно вложить данное множество без
наложения.
Рассмотрим два равных круга, с суммарной площадью .
Заметим,
что
наименьшего
2

для
них
квадрата
1
1 2
2
 12  1 
сторона
равна:
2
Покажем, что длина любого множества,
состоящего из двух кругов, меньше длины двух
равных кругов.
а12  а 22  2а32  1
а1  а 2 2
 а12  а 22  2а1 а 2  1  2а1 а 2  1  а12  а 22  2  4а32
а1  а 2  2а3
Таким образом, любое множество, состоящее из двух кругов, можно
вписать в данный квадрат.
Рассмотрим все остальные варианты.
Упорядочим круги в порядке убывания.
Возьмем наибольший круг, и поставим его в
угол квадрата. Дальнейшее будет зависеть от
величины данного круга.
то
Если радиус первого круга больше
1 2
,
4
второй
чтобы
круг
установим
так,
касательная к нему, параллельная стороне
квадрата, отсекала от квадрата прямоугольник
наименьшей
площади.
В
другой
прямоугольник, свободный от кругов, будем
вписывать оставшиеся круги по алгоритму
задачи №2.
Оставшиеся варианты множеств можно
вписать в квадрат по алгоритму задачи №2 .
В данной задаче сложность заключается в том, что нельзя просто
вписать круги в квадраты и решать после этого задачу №2. Это происходит
из-за того, что есть варианты множеств, где сумма диаметров двух кругов
больше стороны нужного нам квадрата. Это заставляет разбивать задачу на
несколько частей.
Оценка
квадратов
относительно
прямоугольников
и
квадратов
значительно легче, нежели чем оценка кругов. Поэтому есть смысл
вписывать круги в квадраты. Также не лишним будет отметить, что
использовать квадраты и прямоугольники в целом как покрывающие фигуры
удобнее, так как они обладают условиями необходимыми для использования
алгоритма задачи №2, требующий констант для длин и высот рядов.
Нетрудно заметить, что правильные многоугольники – переходная
стадия от квадратов до кругов. Поэтому покажем, что для них можно также
найти наименьший квадрат – покрытие.
Задача №4
Дано множество правильных подобных многоугольников, с числом
вершин больше 4. Найти квадрат, с наименьшей площадью, в который можно
вписать данные многоугольники без наложения.
Задача разбивается на две части: многоугольники с четным и нечетным
числом вершин.
Рассмотрим многоугольники с четным числом вершин. Аналогично
задаче про круги, наименьший квадрат находится рассмотрением двух
равных многоугольников.
Далее
проделываем
операции,
аналогичные операциям с кругами. При
вписывании
данных
многоугольников
в
квадраты, стороны квадратов будут равны
диаметрам
окружностей,
вписанных
в
данные многоугольники.
Для
числом
многоугольников,
вершин
с
наименьший
нечетным
квадрат
находится аналогично, с одной только
разницей в том, что стороны квадратов,
описанных
около
данных
многоугольников, будут равны диаметрам
окружностей, также описанным около
данных
многоугольников,
описанным
многоугольников .
около
также
данных
Заключение.
С помощью свойств рядов были рассмотрены задачи на покрытие
бесконечных множеств подобных фигур. Таким образом, были найдены
фигуры с наименьшими площадями, способные покрыть данные множества.
В ходе решения были использованы различные алгоритмы и способы
решения задач. Но, в конце концов, все было сведено к алгоритму первой
задачи, как к самому удобному и простому в использовании. Как было
рассмотрено в задачах, переход может осуществляться как от кругов, так и от
правильных многоугольников.
В научной работе не было представлено решений для треугольников, и
многоугольников общего вида. Это делает возможность продолжения темы
данной научной работы для общих случаев, как, например, невыпуклых
фигур, многогранников и т. д.
Литература.
Задачи по планиметрии. Прасолов В. В. МЦНМО 2003г. 551с.
Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ.
Алфутова Н. Б. Устинов А. В. МЦНМО, 2002г. 264с.
Курс математического анализа. Том 1. Кудрявцев Л. Д. «Высшая школа»
1981г. 687с.