Многофункциональная интерактивная система MathCad

1
Теоретический материал для использования на курсах повышения
квалификации по проблеме «Инструментальные программные средства
для решения прикладных математических задач»
1. Краткий исторический обзор
В XXI веке математика с использованием компьютера получила
должную известность и интенсивно развивается как передовое научное
направление на стыке математики и информатики.
Программируемые микрокалькуляторы и персональные компьютеры
уже давно применяются для математических расчетов. Для подготовки
программ
использовались
программирования.
В
различные
начале
90-х
гг.
универсальные
на
смену
им
языки
пришли
специализированные системы компьютерной математики (СКМ).
Большинство математических систем, используемых в работе с
компьютером,
являются
компьютер
мощный
в
численными
системами.
программируемый
Они
калькулятор,
превращают
позволяющий
выполнять арифметические вычисления с огромной скоростью. Впрочем,
очень редко результаты вычислений бывают абсолютно точными – как
правило, при операциях с вещественными числами происходит их
округление. Часто из-за накопления погрешности эти методы расходятся.
За
пределами
возможностей
численных
математических
систем
оказались обширные области математики, связанные с проведением
аналитических расчетов – от простых подстановок в выражениях до
обучения
компьютера
новым
математическим
закономерностям
и
отношениям. Символьные операции – это как раз то, что кардинально
отличает системы символьной математики (или компьютерной алгебры) от
систем для выполнения численных расчетов.
2
В последние годы получили развитие специальные программные
средства – интегрированные системы символьной математики:
 MathCAD ("MathSoft Inc.", http://www.mathsoft.com);
 MatLAB ("MathWorks", http://www.mathworks.com);
 Maple V (“Waterloo Maple Software”, http://www.maplesoft.com);
 Mathematica (“Wolfram Research Inc.”, http://www.wolfram.com);
 Axiom (“Numerical Algorithms Group Inc.”, http://www.nag.com) и др.
2. Mathcad
Mathcad – это многофункциональная интерактивная вычислительная
система,
позволяющая,
благодаря
встроенным
алгоритмам,
решать
аналитически и численно большое количество математических задач, не
прибегая к программированию.
Рабочий документ Mathcad – электронная книга с живыми формулами,
вычисления в которой производятся автоматически в том порядке, в котором
записаны выражения. Отличается простым и удобным интерфейсом,
написанием
выражений
стандартными
математическими
символами,
хорошей двух- и трехмерной графикой, возможностью подключения к
распространенным офисным и конструкторским программам, а также к
Internet.
Интегрированная среда содержит текстовый редактор, вычислитель и
графический процессор.
Текстовый редактор предназначен для ввода и редактирования текстов.
Текст может представлять собой обычные символы, математические
выражения
или
формулы,
спецзнаки.
общепринятую в математике символику.
Система
MathCad
использует
3
Вычислитель обеспечивает работу со сложными математическими
формулами,
имеет
большой
набор
встроенных
функций,
позволяет
вычислять ряды, суммы и произведения, определенные интегралы и
производные, работать с комплексными числами, решать линейные и
нелинейные уравнения, выполнять векторные и математические операции.
Графический процессор служит для создания графиков. Можно строить
простые графики от одного до нескольких одновременно, графики
трехмерной поверхности, возможно изменение размеров графиков и проч.
Рассмотрим экран среды MathCad:
 главное меню (вызов команд меню может осуществляться
клавишей F10);
 панель инструментов;
 рабочая область;
 панель форматирования;
 палитра операторов.
Большое значение разработчики MathCad придавали удобству работы с
ним и простое освоение. Интерфейс MathCad прост и понятен, полностью
отвечает стандартам Windows. Все графики и математические объекты могут
быть введены щелчком «мыши» с перемещаемых палитр.
Набор символов и формул происходит, если щелкнуть в свободном
месте экрана (появляется красный крестик – визир, фиксирующий место
ввода). Области на экране легко можно перетаскивать «мышью» или
перемещать командами Cut, Insert и Paste меню Edit или правой кнопкой
«мыши».
Большинство
математических
формул
записывается
в
рабочем
документе так же, как и на листе бумаги. MathCad содержит строчные и
4
прописные буквы, арабские цифры, ряд греческих букв и математических
символов. Знаки арифметических операций вводятся с клавиатуры с
помощью клавиш +, -, * (на экране отображается точкой), / (отображается в
виде
x
) или с помощью панели инструментов.
y
Также имеется возможность:
 возводить в степень с клавиатуры: ^ (отображается в виде xn);
 набирать квадратный корень \
 суммирование членов ряда $
 перемножение членов ряда #
 определенный интеграл &
В системе MathCad знак «=» означает числовой, а знак «стрелка вправо»
- символьный вывод значения переменной, функции, выражения.
При вводе данных возникают поля, около которых появляется курсор  образной формы.
Например:
Клавиша Space (пробел) позволяет перейти к обрамлению всей формулы.
Формулы вводятся в той же последовательности, как произносятся.
Для определения переменных используется := (Shift :), который также
находится на панели инструментов. Для подсчета выражения используется
следующее правило: необходимо сначала определить все переменные, а
только потом производить с ними вычисления.
5
Например, a := 4 b := 5
c := a+b
c=
система сама выдаст результат 5.
Если порядок ввода будет изменен, например следующим образом:
c := a+b
a := 4 b := 5
то a будет выделена красным цветом – знак того, что это первая
переменная, которая не определена.
В данном порядке:
a := 4
c := a+b
b := 5
соответственно b – будет выделена.
Задание интервалов
Одним из важнейших элементов среды являются интервалы – группа
чисел от начального до конечного значения, следующие с некоторым шагом.
Интервалы задаются i := 1..10
1
2
6
i=
…
результат
10
По умолчанию шаг равен 1.
Если нужно задать интервал с другим шагом, то это делается
следующим образом: задается первое, второе и конечное значения интервала.
j := 1, 1.1 .. 2
В MathCad имеется задание функций пользователя
y(x) := cos(x)+2*sin(x)
z := 2*sin(y(3))
100
Рассмотрим пример подсчета суммы вида
1
1 i
1. i := 1..100
1
2. 
i i
Построение графиков функций
Для построения графика необходимо:
1. определить функцию
2. вызвать шаблон графика и заполнить его
Пример:
1. y(x) := sin(x)
2. выбор нужного шаблона графика функции
7
Правым щелчком мыши по графику можно вызвать контекстное меню, в
котором имеется доступ к элементам форматирования графика: его цвет,
задавать нужный интервал и проч.
Кроме того, имеется возможность построения графиков в полярных
координатах (параметрически)
1. t := 0,001 ..4
2. x(t) := 2*sin(t) y(t) := 3*cos(t)
3. шаблон
y(t)
x(t)
Имеется возможность построения в одном шаблоне нескольких
графиков, для этого имена всех функций перечисляются через запятую.
Символьные преобразования
Символьные преобразования – это математические преобразования,
выполняемые по законам математики без подстановки конкретных значений
(с использованием переменных).
Преобразования:
 symplity – упростить: сокращение дроби, приведение подобных
слагаемых и проч.
 expand – развернуть: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и
др.
 factor – разложить на множители
8
 substitute – подставить: заменить в алгоритмическом выражении какуюлибо букву.
Для использования символьных преобразований требуется ввести
выражение, затем нажать на пробел для обхвата всего выражения и в главном
меню Symbolics выбрать необходимую функцию.
Например, 2*x + 2*y  2 * (x+y)
Преобразования в математическом анализе
На панели инструментов имеются специальные значки для вычисления
интегралов, производной и пределов аналитики.
Например:
2
 x dx 
x3
3
Символьные решение уравнений и систем
1. вызываем шаблон <уравнение> solve <переменная>
Уравнение должно быть приведено к виду f(x)=0
Например, x+2-a solve xa-2
Решение систем уравнений:
Given (дано) <уравнение 1>
<уравнение 2>
<уравнение 3>
Find (x, y, z)  <ответ>
9
Например: Given
xz  1  2 z ( x  z )  0
2
(1  x 2 ) * 4 y  2  2 x 2  0
y  2 * ( z  2)  z  0
0 1
Find ( x, y, z )  2 3
0 1
Матричные операции
Для задания матрицы необходимо:
 ввести имя A :=
 выбрать шаблон матрицы;
 выбрать количество строк и столбцов.
Существуют возможности:
 задания нижнего индекса;
 вычисление обратной матрицы;
 вычисление определителя;
 транспонирование;
 скалярное и векторное произведение и проч.
Построение поверхностей
z(x,y)
Построить график функции – это значит, на область определения
функции поставить соответствующие значения любой точки x, y плоскости
XOY.
10
Например, z (x,y) := e-x-y
С помощью мыши можно вращать получившуюся поверхность
относительно любой оси координат. Так же имеется контекстное меню.