графики функций с модулем

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4
ИМЕНИ В. БУРОВА
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПРЕДПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
( 9 КЛАСС)
Ершова Т.В.
(графики функций с модулем )
10 часов
г. Бежецк
2008г.
Пояснительная записка
Элективный курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-хклассов
общеобразовательной школы. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не
нарушая её целостности.
Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и
порой является единственным средством их решения. В основной школе представление о
модуле учащиеся получают, но строить графики функций с модулем, как правило, не умеют. В
10-11 классах при решении заданий с параметром очень часто приходится рассматривать и
строить такие графики. В связи с этим этот курс ориентирован на развитие у учащихся навыков
построения графиков функций с модулем.
Цели и задачи курса:
 Научить строить графики функций вида: у = | f(x)| ; y = f(| x|) и зависимостей вида
|y| = f(x); |y| = | f(x);…
 Привлечь внимание учащихся к эстетической стороне данного вида деятельности;
 Показать красоту этих графиков;
 Развивать творческие способности учащихся.
Планируемые результаты:
По окончании изучения курса учащиеся должны:
 Знать алгоритмы построения графиков функций и зависимостей с модулем;
 Уметь строить графики таких функций и зависимостей;
Занятия включают в себя теоретическую и практическую части—лекции, консультации,
практикумы, самостоятельную и творческую работы. Итоговый контроль предусматривает
выполнение творческого задания и его презентация.
Формы работы: лекционная, групповая, практикум.
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№
1
2
3
4
5
6
тема занятия
часы
Определение модуля. Свойства и график функции у = | х |
1
График функции у = | f(х)|
1
График функции у = f(| х |)
1
График зависимости | у | = f(х)
1
График зависимости | у | = | f(х) |
1
Построение графиков функций и зависимостей более
2
сложного вида
7 Практикум
2
8 Презентация творческих работ. Организация вернисажа –
1
графики, построенные учащимися.
Рекомендуемая литература
 А.М. и Л.Д. Назаренко " Тысяча и один пример" 1994г.
 А.И. Громов, В.М. Савчин " Математика для поступающих в ВУЗы" 1997г.
 М.А. Иванов " Математика без репетитора" –М. ВЕнтана-Граф 2002г.
 Я.С. Фельдман, А.Я. Жаржевский "Математика. Решение задач с модулями"—
СПб. Оракул 1997г.
 "Математика " приложение к газете
 "Математика в школе" журнал
Содержание и рекомендации по проведению занятий.
Тема 1. Определение модуля. Свойства и график функции у = |х|
Рассмотреть теоретический материал. Построение графиков функций рассмотреть двумя
способами:
1. используя определение модуля;
2. применяя сдвиг графика вдоль оси ОХ, вдоль оси ОУ, растяжение, сжатие.
Примеры для решения в классе и дома:
 у = |х| + 2; у = - | х |; у = | х| -3;
 у = 3|х|; у = - 0,4| х |
 у = |х – 1 |; у = - | х + 2 |;
 у = |х + 1| - 1; у = 4 - | х – 2 |
Тема 2. График функции
у = | f( х)|
 f ( x), f ( x)  0,
По определению модуля: у = 
 f ( x), f ( x)  0.
Правило Для построения графика функции у = | f(х)| для всех х из области определения, надо
ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси ОХ, отобразить
симметрично этой оси.
Таким образом, график функции у = | f(х)| расположен только выше оси ОХ.
План построения:
 построить график функции у = f(х)
 часть графика, которая располагается выше оси ОХ, остаётся без изменений;
 часть графика, которая расположена ниже оси ОХ , симметрично отображается
относительно этой оси.
1
Примеры: построить графики а) у = |х2 + 2х -3|; б) у = | х2 -2х -3|; в) у =
;
х
1
1
;
г) у =  3 ;
д) у =
е) у = х  1.
х2
х
Тема 3. График функции у = f( | х | )
 f ( x), x  0,
По определению модуля: у = 
 f ( x), x  0.
Правило Функция у = f(| х|) –чётная, поэтому для построения её графика достаточно
построить график функции у = f( х ) для всех х  0 из области определения и отобразить
построенную часть симметрично оси ОУ.
План построения:
 построить график функции у = f(х);
 выделить ту часть графика, которая расположена правее оси ОУ, т.е. на множестве
х > 0;
 выделенную часть симметрично отобразить относительно оси ОУ.
1
Примеры: построить графики а) у = х2 + 2| х | - 3;
б) у = х2 -2| х | - 3; в) у =
;
х
г) у =
ж) у = -
х;
х;
д) у = - х2 -2| х | +3;
з) у =
е) у = - х2 +2|х| +3;
х 1 .
Тема 4. график зависимости | у | = f( х )
Эту зависимость можно записать так у = ± f( х )
Правило. Для построения графика этой зависимости достаточно построить график функции
у = f( х ) для тех х из области определения, при которых f( х )  0, и отобразить её
симметрично относительно оси ОХ.
План построения:
 построить график функции у = f( х );
 выделить ту часть графика, для которой у  0;
 выделенную часть графика отобразить симметрично относительно оси ОХ.
Примеры: построить графики
а) | у | = х 2 + 2х – 3;
б) | у | = - ( х2 + 2х – 3); в) | у| =
1
1
;
д) | у | =  3 ;
х
х
ж) | у | = х  1  3 ;
з) | у | = 2 – х.
г) | у | = 
е) | у| =
1
;
х
1
3;
х
Тема 5. График зависимости | у | = | f( х )|
Используя свойство модуля, получаем: у = f(х) и у = - f(х). Значит, графиком этой зависимости
будет объединение двух графиков у = f(х) и у = - f(х).
План построения:
 построить график у = f(х);
 построить график у = - f(х).
Примеры: построить графики
а) | у | = | х |; б) | у – 4 | = | х + 2 |;
в) | у| = | 2х – х 2 |;
1
г) | у | =
;
д) | у| =
х 3 .
х
Тема 6. Построение графиков функций и зависимостей более сложного вида
Примеры: построить графики
1. у = | х 2- 2 | х| - 3 |; 2. у = | - х 2 + 6 х – 8 |;
3. у = | | х – 1 | - 1 |;
4. у = | | 1 – х | + 1 |;
5. | у + 1 | = 2 – х;
6. | у | = х + 4;
7. | х | + | у | = 2;
8. | у | - | х | = 3;
9. у = | | | х | - 2 | - 1 |.
Тема 7. Практикум
Учащиеся разбиваются на группы по 2-3 человека. Каждая группа получает своё задание,
которое выполняет самостоятельно. Выполнив её, они отчитываются перед всеми о своей
работе. На этом занятии каждый ученик получает творческое задание, которое выполняет дома
и готовит презентацию. Графики функций или зависимостей ученики строят на отдельном
листе крупным планом, чтобы можно было организовать выставку-вернисаж этих работ.
Задания для практикума: построить график 1. | х | + | у | = 2;
2. у = | х – 3 | .( х + 1 );
3. | | х | - | у | | = 1;
4. у = | х + 1 | + | х – 2 |;
2
5. у =
;
6. | у | = х 2 – 4 |х | + 3.
х 1 1
Творческие задания: построить график
1. | у | = х 2 + 4х + 3;
2. у + | у | = х;
3. у = | 2  х  1 |;
4. у = х .| у |;
5. у = | 2 - х  1 |;
6. у = | 2| х | - 4 | - | 2х + 3 |;
7. у = | 2 -
3  х |;
9. у = | 3х – 2 | - 3| х + 1 |;
11. | у | = 2| х | - 4 ;
14. у = | 2х + 4 | - 2| х – 3 |;
8. у = | 2 -
х 3 ;
10. | у | = 4 – х ;
12. у = х 2  х ;
14. у = | 3х +2 | - | 3 |х| - 3 |.