Тема 4. Стереометрические задачи

Тема 4. Стереометрические задачи
Задания В9 и В11.
Для успешного решения предлагаемых задач требуется знание основных формул для
нахождения значений геометрических величин пространственных фигур, умения
проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур,
работать с формулами, выполнять арифметические действия и преобразования числовых
выражений.
Задание С2
Характеристика задания Задание на вычисление отрезков, площадей, углов, связанных
с многогранниками и телами вращения.
Как правило, в задаче нужно найти длину отрезка, площадь, угол (между двумя прямыми,
между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями), связанные с призмой,
пирамидой, цилиндром, конусом или шаром. Дополнительные построения минимальны
(например, построение линейного угла двугранного угла).
Теоретический материал
Площадь поверхности призмы S = S áîê . + 2 S îñí . ., где S áîê . . – площадь боковой поверхности
призмы, S îñí . – площадь основания.
S áîê .ïðÿìîé ïðèçìû = Ðîñí .  H , где Ðîñí . – периметр основания, H – высота призмы, (высота
прямой призмы равна боковому ребру).
Объем призмы V = S îñí . . * H
Площадь поверхности пирамиды S = S áîê . + S îñí .
1
Ðîñí .  háîê . , где háîê . – апофема (высота боковой грани
Sбок. правильной пирамиды =
2
правильной пирамиды).
1
S îñí . * H
3
Площадь поверхности цилиндра S = S áîê . + 2 S îñí .
Объем пирамиды V =
Sбок. = 2  RH , S îñí . =  R 2 , R – радиус основания цилиндра, H – высота.
Объем цилиндра V =. S îñí .  H =  R 2 H .
Площадь поверхности конуса S = S áîê . + S îñí .
Sбок. = RL , где L – образующая конуса, R – радиус основания.
1
Объем конуса V =  R 2 H .
3
Площадь поверхности шара S = 4  R 2 ,
4
Объем шара V =  R 3 .
3
Задания для самостоятельной работы
Задания В9
1) Найдите квадрат расстояния между вершинами C и D2 многогранника,
изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
2) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и
3, а его диагональ равна 29 . Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той
же вершины.
3)Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной 3 и острым
углом 60 0 . Меньшая диагональ призмы равна 5. Найдите боковое ребро призмы.
4) Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 и наклонено к плоскости
основания под углом 60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около основания
пирамиды.
5) Радиус основания цилиндра равен 4, диагональ осевого сечения равна 8 2 . Найдите
образующую цилиндра.
6. Найдите радиус сферы, вписанной в куб, диагональ которого равна 2 3 .
7.Найдите квадрат диаметра сферы, описанной прямоугольного параллелепипеда, ребра
которого равны 3,4,5.
Задания В11
1. Площадь поверхности куба равна 54. Найдите его объем.
2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с
катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.
3. Объем треугольной пирамиды равен 45. Плоскость, проходящая через сторону
основания этой пирамиды, пересекает противоположное ребро в точке, делящей
это ребро в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из
объемов пирамид, на которые разбивает плоскость исходную пирамиду.
4. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире.
Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
5. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все
двугранные углы многогранника равны 90 0 .
Задания С2
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой
равны 2, найдите расстояние от точки B до прямой A1 F1 .
2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра:
AB  24 3 , SC  25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и
прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1 D1 .
4. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1 .
5. Основанием прямой призмы ABCDA1 B1C1 D1 является ромб ABCD , AB  10 ,
BD  12 . Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A1 B1C1 D1 до
плоскости BDC 1. .