Переход от периодической дроби к обыкновенной 9 класс Тема: Переход от периодической дроби к обыкновенной. Цель : Расширение понятие числа. Ознакомление учащихся с правилом представления периодической дроби в виде обыкновенной. Ознакомление с представлением периодической дроби в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Научить превращать периодическую дробь в обыкновенную. Ход урока: I. Оргмомент. II. Изучение нового материала (лекция). Множество действительных чисел , как вы уже знаете , состоит из чисел рациональных и иррациональных, и притом каждое действительное число момент быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Всякое рациональное число представляется в виде бесконечной десятичной периодической дроби. В этом можно убедиться обыкновенным делением уголком : Оказывается , что справедливо и обратное утверждение : всякая бесконечная периодическая дробь представляет рациональное число. Покажем на примере , как можно от бесконечной периодической дроби перейти к равной ей обыкновенной дроби. 1. Возьмём действительное число α = 0,(41), тогда 100α = 41,(41) 100α – α = 41,(41) – 0,(41) 99α = 41 α= α = 0,(6) . 10α = 6,(6) 10α – α = 6,(6) 9α = 6 α= α = 0,(123) 1000α = 123,(123) 1000α – α = 123,(123) - 0,(123) 999α = 123 α= Мы видим , что можно не выполнять каждый раз вычисления, а просто, чтобы представить периодическую дробь в виде обыкновенной, в числитель столько 9, сколько цифр в периоде. Например 0,(81) = 2. Рассмотрим смешанное число α = 0,3(18) 10α =3,(18) 1000α = 318,(18) 1000α - 10α = 318,(18) – 3,(18) 990α = 315 1 Переход от периодической дроби к обыкновенной 9 класс α= α = 0,1(23); 10α = 1,(23) 1000α = 123,(23) 1000α - 10α = 123,(23) - 1,(23) = 122 990α = 122 α= 3. α = 3,254(9) 1000α = 3254,(9) 10000α = 32549,(9) 10000α - 1000α = 32549,(9) – 3254,(9) 9000α = 29295 α= Здесь тоже есть своя закономерность и громоздкие вычисления не выполнять. Чтобы представить смешанное число в виде обыкновенной, нужно в числителе написать разность чисел, одно из которых число до второго периода, а второе – число до первого периода, а в знаменателе написать столько 9, столько цифр в периоде и столько 0, сколько цифр до периода. Например : 0,21(5) = 0,24(06) = В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода периодической дроби в обыкновенную: надо в её числителе записать период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде. Например: 0,(13) = Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода. Например: 0,5(13) = Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число: а) 0,(72) ; б) 0,(123) ; в) 0,1(11); г) 0,24(06) . 3. А сейчас рассмотрим ещё один способ обращения бесконечной периодической дроби в обыкновенную. Для этого воспользуемся формулой суммы бесконечного убывающей геометрической прогрессии. Эта формула справедлива только при |q|<1. Задача 1: Пользуясь формулой, записать бесконечную периодическую последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби: в виде обыкновенной. Составим следующую последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби: 2 Переход от периодической дроби к обыкновенной 9 класс Значит , данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Пример 2. 0,2(3) = 0,2 +0,03 + 0,003 + … = 0,2 + Сравнивая способы превращения периодической дроби в обыкновенную , каждый момент выбрать для себя более удобный. III. Закрепление. 1. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число 2. Сравните: а) 0,(52) и 0,(523); б) 2, (619) и 2,6(19) . 3. Придумайте какую-нибудь периодическую дробь , заключённую между числами: а) 0,(6) и 0,(16) ; б) 0,(30) и 0,(300) ; в) 4. Представьте в виде обыкновенной дроби следующую десятичную периодическую дробь а) 0,(6); б) 0,5(9) ; в) 0,(12); г) 0,(135); д) 0,2(36) ; е) 0,31(4) . 5. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 0,111… ; б) 0,101010… ; в) 0,010101… Рекомендация: Чтобы проверить себя, разделите числитель на знаменатель уголком, и вы получите первоначальную дробь, если решили верно. IV. Используемая литература : 1. «Алгебра – 9» Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, изд «Просвещение» 2009 (Москва) 2. «Изучение алгебры 7-9» Ю.М. Колягин, изд «Просвещение» 2002 (Москва) 3. «Алгебра-9» Ш.А.Алимов , изд «Просвещение» 1992 (Москва) 4. Справочник школьника . Математика В.А.Гусев, А.Г.Мордкович,изд «Астрель» 2010 3