Фурман Я. - Марийский государственный технический университет

198
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЛАСТЕРИЗАЦИИ ГЕНЕРАЛЬНОГО
МНОЖЕСТВА ТОЧЕК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СЦЕНЫ 1
Я.А. Фурман2
2 Марийский
государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола,
пл. Ленина 3. Тел. (8362) 455412. E-mail: rts@marstu.mari.ru
С позиции кватернионного анализа рассмотрен подход к сегментации трехмерной
сцены, заданной отсчетами координат точек, расположенных на поверхности
пространственных объектов. Поверхности изображений сегментированных
объектов аппроксимированы плоскими участками. Информативным признаком
для сегментации является значение нормали к элементарной плоскости,
образованной тремя произвольными точками.
z
0,7
Описание проблемы и постановки
задачи
0,6
0,5
Одной из основных форм представления
информации о сцене с изображениями
трехмерных объектов является точечная
сцена (пунктсцена, точечное поле). Она
формируется
с
помощью
датчиков,
измеряющих расстояние. Множество всех
s точек такой сцены назовем генеральным
множеством
и
обозначим
через
A  a 0, s 1 . Точка a расположена на
поверхности пространственного объекта и
имеет координаты x , y , z  . На рис.1
показана точечная сцена, состоящая из
изображения пирамиды, вписанной в
трехгранный
угол,
образованный
координатными плоскостями XOY , XOZ
и YOZ .
Одной из первоначальных задач обработки
точечной сцены является её визуализация.
Эта процедура обычно направлена на
представление сцены в таком виде, в каком
она обычно воспринимается человеком.
Примером визуализации являются радио и
гидролокационные
изображения.
Визуализация тесно связана с сегментацией
и описанием изображений трехмерных
объектов. Для реализации всех этих
процедур необходимо разбить генеральное
множество A на подмножества An ,
n  0,1,..., L  1,
точки
которых
расположены на разных поверхностях
объекта. Например, генеральное множество
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,3
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x
0,2
0,4
y
Рис.1. Генеральное множество точек изображения
пирамиды
точек A в сцене на рис.1 необходимо
разбить на четыре подмножества: A0 –
точки расположенные в горизонтальной
плоскости, A1 и A2 – точки в вертикальных
плоскостях и A3 – точки в наклонной
плоскости. Поверхности объектов более
сложной формы – цилиндрической,
конической,
сферической
и
т.п.,
разбиваются на небольшие плоские участки
с последующим их объединением в более
крупные элементы в соответствии с
некоторым критерием. Как отмечается в
[1], такой подход удобен для многогранных
объектов, поверхности которых достаточно
гладкие
относительно
разрешающей
способности датчика.
_____________________________________________
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 07-01-00058а
199
Описанная выше процедура является
кусочно-ломанной
аппроксимацией
поверхности сложной формы плоскими
участками. В работе [2] предложен метод
реализации
такой
аппроксимации,
основанный на вычислении трехмерного
градиента точечной сцены по результатам
её
фильтрации.
Фильтр
содержит
трехмерное окно с 3  3  3 элементами и
при своем перемещении в пределах
анализируемой
сцены
вычисляет
компоненты G x , G y и G z градиента
яркости в каждом её пикселе (вокселе).
Вектор градиента
к
G  Gx , G y , Gz


axb ycz 0
плоскости
имеет
G y  b и Gz  c .
компоненты Gx  a,
Поэтому компоненты вектора градиента
определяют направление плоского участка
поверхности объекта в каждой окрестности
точечной сцены. Если окно фильтра
движется в направлении, при котором
вектор градиента G
сохраняет свои
параметры a, b, с , то этот вектор
располагается
в
плоскости
a x  b y  c z  0.
В
данной
работе
рассматривается преобразование КТМ
(кластеризации
точек
множества)
генерального множества точек трехмерной
сцены. Оно позволяет разбить генеральное
множество A  a 0, s 1 точечной сцены на
подмножества
An 0,L 1
по
типу
поверхности, на которой располагаются
точки подмножества An . Преобразование
КТМ сегментирует точечную сцену так же,
как и рассмотренный выше градиентный
фильтр, но за счет кватернионной модели
сцены реализуется проще, отсутствует
эффект сглаживания на стыке между
выделенными плоскостями и попутно
является
основой
для
получения
аналитического
описания
визуализированной сцены.
Кватернионная модель точечной сцены
Одним из способов задания точки a
в
трехмерном пространстве и связанного с
ней вектора является представление её
векторным кватернионом a1 i  a2 j  a3 k ,
где a1, a2 , a3 - координаты точки a .
Заданное
в
кватернионном
виде
генеральное подмножество точек сцены
образует
кватернионный
сигнал
A  av,1 i  av,2 j  av,3 k 0, s 1 .
Мерой схожести векторов в кватернионном
пространстве H служит их скалярное
произведение, являющееся разновидностью
клиффордова произведения векторов [3]:
av , am H  av am 
av , am E  hyp av , am 
.
(1)
Реальная часть этого произведения есть
скалярное произведение векторов av и
am
в пространстве E . В нормированном
виде оно равно косинусу угла  между
векторами. Гиперкомплексная часть (1)
представляет
собой
векторное
произведение перемножаемых векторов,
взятое с обратным знаком (рис.2):
i
j
hyp a v , a m   a v , a m    a v,1
a m,1
a v, 2
a m,1
k
a v ,3 .
a m,1
(2)
В нормированном виде гиперкомплексная
часть скалярного произведения векторов
равна нормали r  v,m к плоскости  m ,
натянутой на эти векторы.
q

-p
  arccos
q, p 
q p
0
p
r *  q, p  hypq, p 
Рис.2 Геометрическая интерпретация скалярного
произведения кватернионов q и p
Преобразование КТМ
В качестве общего
признака подмножеств
информативного
An  an, h 0, s 1 ,
 
n
n  0,1,..., L  1 , на которые разбивается
генеральное множество A , примем степень
200
взаимной близости значений нормалей rn, h
к локальным плоскостям, образованными
тремя, не лежащими на одной прямой,
точками этого подмножества (рис. 3).
свойством.
На
рис.4
представлена
кластеризованная
точечная
сцена
пирамиды (см. рис.1). Она содержит всего
четыре точки: i, j , k и 0,63 i  0,63 j  0,45 k .
Z
1,0
k
0,8
0,6
0,4
0,63 i  0,63 j  0,4 k
Gn
0,2
i
0, 2 0,4 0,6
0,8 1,0 X
0,4
Рис.3. Вектор нормали к локальному участку
плоскости, задаваемому тремя точками как
информационный признак всей плоскости
Пусть, например, сцена
содержит
изображение объекта в виде шестигранника
с
идеально
плоскими
гранями
и
4
представлено 10 отсчетами, взятыми на
его поверхности. Генеральное множество
для сцены состоит из s  10 4 точек. Они
могут быть разбиты на шесть подмножеств.
Точки каждого из подмножеств имеют
один и тот же информативный признак –
нормаль rn к плоскости грани. Таким
образом, десяти тысячам пространственно
расположенных точкек можно поставить в
соответствии всего шесть точек, задающих
концы нормалей r0 , r1 ,...r5 . Поскольку
реально грани шестигранника не являются
идеально плоскими, то точки каждого из
шести подмножеств не будут иметь
совпадающие значения нормалей. В
результате вместо точки, соответствующей
нормали в идеальном случае, появится
окрестность (кластер), в которой компактно
расположены точки нормалей отдельной
грани. Таким образом, преобразования
кластеризации вместо исходной сцены с
более-менее равномерно расположенными
точками формирует новую трехмерную
сцену, в которой точки генерального
множества концентрируются в небольшом
количестве областей (кластеров) по
принципу обладания некоторым общим
j
0,8
1,0
Y
Рис. 4. Результат кластеризации сцены,
представленной на рис. 1
В том случае, когда форма поверхности
отлична от плоской, кластеры по-прежнему
объединяют точки с близкими значениями
к локальным плоскостям, но количество
кластеров увеличивается.
Аналитическое представление
преобразования КТМ
Выразим аналитически свойства точек,
лежащих в плоскости, проходящей через
грань Gn , n  0,1,..., L  1 , состоящую из
точек подмножества
An . В основе
преобразования КТМ лежит операция
задания
векторными
кватернионами
собственной плоскости, натянутой на
векторы,
задаваемыми
этими
кватернионами. На рис.5 представлены
фрагменты грани с точками a0 , a1, a2 и a3 .
Точку a0 примем в качестве полюса,
построим пучок векторов 10  a1  a0 ,
 20  a2  a0 , 30  a3  a0 и зададим
соответствующие им кватернионы:
10  a11  a 01 i  a12  a 02  j  a13  a 03 k ,
 20  a21  a01 i  a22  a02  j  a23  a03 k ,
 30  a31  a 01 i  a32  a 02  j  a33  a 03 k .
201
2.
Казанова Г. Векторная алгебра. М.:
Мир, 1979
3.
Zucker S.W., Hummel R.A. Three
Dimensional Enqe Operator, Intell, PAMI-3,
N.3, pp.324-331, 1981.
z
a1
r*
a10 a20
a0
a2
a30
a3
0
x
y
Рис. 5. Формирование нормали r  к плоскости,
проходящей через точки a 0 , a1 , a 2 и a3
В отличие от векторов, задаваемых
исходными точками, разностные векторы
10 ,  20 и  30 являются компланарными.
Пусть
подмножество
An  an,m 0,l 1
n
содержит l n точек, расположенных на
грани Gn , и точка a n ,0 выбрана в качестве
полюса. Тогда все разностные векторы
будут компланарными.
 n   an, m,0

0,ln 1
Один из разностных векторов, например,
 an, m,1  an,1  an,0 выберем в качестве
опорного.
Тогда
каждый
текущий
разностный вектор  an,m,0 , m  1, вместе с
опорным разностным вектором  an,m,1
задает некоторую плоскость, нормаль к
которой имеет вид rn  rn,1 i  rn,2 j  rn,3 k .
Поскольку все точки подмножества An
задаются разностными компланарными
векторами  an,m,0 , m  1,2,..., ln  1 , то
преобразование КТМ будет иметь вид
  An   hyp  a n ,m , 0 ,  a n ,1, 0   rn
rn  1, m  2,3,..., l n  1.
,
(3)
Список литературы
1. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника:
Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. - 624 с.