modul_5

Модуль 5. «Функции многих переменных».
1. Аннотация модуля.
Учебный модуль «Функции многих переменных» является частью
дисциплины «Математика» и входит в содержание обучения по всем
направлениям подготовки бакалавров и специалистов на факультетах: ГФ, ФКГ,
ФОИСТ, ФЭУТ, ФПКиФ, ФДФО.
2.
Методические
рекомендации
для
студентов
по
самостоятельному
изучению модуля.
Для того чтобы самостоятельно изучить модуль «Функции многих
переменных»
необходимо
ознакомиться
с
его
подробным
содержанием
приведенном ниже.
Порядок освоения содержания учебных элементов модуля.
УЭ-1. Функции многих переменных, области на плоскости. Линии уровня.
Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
1.1.
Область определения функции многих переменных. Линии уровня.
1.2.
Частные производные первого порядка.
1.3.
Дифференцирование сложной функции.
1.4.
Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.
УЭ-2. Частные производные высших порядка. Элементы теории поля.
2.1. Частные производные высшего порядка.
2.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
2.3. Экстремум функции двух переменных.
2.4. Элементы теории поля: производная по направлению, градиент скалярного
поля.
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-1
«Функции многих переменных, области на плоскости. Линии уровня.
Частные производные первого порядка. Полный дифференциал».
Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются задача нахождения и
построения области определения и линий уровня функций многих переменных,
1
нахождения частных производных первого порядка. Вычисление полного
дифференциала и его применение к приближенным вычислениям.
В качестве ознакомления с УЭ-1 приводится разбор типовых задач и
необходимые теоретические сведения.
Рассмотрим функцию z  f ( x, y) двух переменных. Пусть дано множество
D упорядоченных пар чисел ( x, y ) .
Определение 1. Если каждой паре чисел ( x, y)  D поставлено в
соответствие одно и только одно число z  R , то говорят, что на множестве
D задана функция двух переменных z  f ( x, y) . При этом ( x, y ) -независимые
переменные,
z -зависимая переменная. Графиком функции двух переменных
является поверхность:
z  f ( x, y)
Z
Y
X
D  D( f ) -область определения функции.
Аналогично можно определить функцию трех переменных если каждой
упорядоченной тройке чисел ( x, y, z )  E поставлено в соответствие одно и только
одно число u  R , то говорят, что на множестве E задана функция трех
переменных u  f ( x, y, z ) . При этом ( x, y, z ) - независимые переменные, u зависимая переменная.
Пример 1. Найти и изобразить область определения функции
z  ln( x  y)  ln( y  2 x) .
Решение. Область определения функции
 x y0
 yx
D

 y  2x  0  y  2x
2
Y
yx
y  2x
1
0
1 2
X
Определение 2. Линией уровня функции двух переменных называется
линия на плоскости XOY, принадлежащая D , в каждой точке которой функция
принимает одно и то же значение.
Уравнение линии уровня: f(x, y)=c, где с - произвольное число. На данной
линии уровня значение функции z=c. Линий уровня бесконечно много, и через
каждую точку области определения можно провести линию уровня.
1
Пример 2. Построить линии уровня функции z 
.
2
( x  1)  ( y  1) 2
Решение. Область определения функции D= R2\{(1,1)}или x  1, y  1 .
1
Уравнение линии уровня
 c.
2
( x  1)  ( y  1) 2
1
Пусть c=1  z  1,
 1.
( x  1) 2  ( y  1) 2
1
1
Пусть c=4 
 4  z  4, ( x  1) 2  ( y  1) 2  .
2
2
( x  1)  ( y  1)
4
1
1
2
2
Пусть c=9 

9

z

9
,
(
x

1
)

(
y

1
)

.
( x  1) 2  ( y  1) 2
9
1
1
1
Пусть c=1/9 
  z  , ( x  1) 2  ( y  1) 2  9.
2
2
( x  1)  ( y  1)
9
9
3
Y
Z=1/9
1
Z=1
Z=4
Z=9
0
1
Х
Используя линии уровня, можно построить график функции.
Z
Y
X
Введем понятия частных производных функций двух переменных. Пусть
функция z  f ( x, y)
определена в некоторой окрестности точки M ( x, y) .
Придадим переменной x в точке M произвольное приращение x , при этом
значение переменной y остается неизменной. Тогда приращение функции
 x z  f ( x  x, y )  f ( x, y )
называется частным приращением функции по переменной x в точке M ( x, y ).
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y в
точке M ( x, y) :
 y z  f ( x, y  y)  f ( x, y)
4
Определение 3.
Если существует предел
x z
lim
lx 0 x
 z

 lim y  , то он
 l y  0  y 
называется частной производной функции z  f ( x, y) в точке M ( x, y) по
переменной x (по переменной y ) и обозначается: z x , f x,
f z
,
x x

f z 
 z y , f y, ,  .
y y 

z z
x
функции z  arctg .
,
x y
y
z
Решение.
При нахождении
частной производной
значение
x
z
1
1
1
y

 
 2
,
переменной y остается неизменной:
2
2
2
x
x
y
y

x
 x
y
1   
y
 y
Пример 3. Найти частные производные
При нахождении
неизменной:
частной производной
z

y
z
значение переменной x остается
y
 x 
x
  2    2

.
2
y  x2
x  y 
1   
 y
1
Теорема. Если z  f ( x, y ) дифференцируемая функция в точке M ( x, y)  D ,
а x  x(t ), y  y(t ) дифференцируемые функции независимой переменной t , тогда
производная сложной функции z (t )  f ( x(t ), y(t )) вычисляется по формуле
dz z dx z dy
    .
dt x dt y dt
Частный случай. Пусть z  f ( x, y ) дифференцируемая функция в точке
M ( x, y)  D , а y  y(x) дифференцируемая функция независимой переменной x ,
тогда производная сложной функции z ( x)  f ( x, y( x)) вычисляется по формуле
dz z z dy
.
  
dx x y dx
Общий случай. Пусть z  f ( x, y ) дифференцируемая функция в точке
M ( x, y)  D , а
x  x(u, v), y  y(u, v) дифференцируемые функции независимых
5
переменных
u, v ,
тогда
частные
производные
сложной
функции
z (u, v)  f ( x(u, v), y(u, v)) вычисляется по формулам
z z x z y
    ,
u x u y u
Пример
4. Найти
z z x z y
   
v x v y v
частные
производные
z  x 2  ln y , где x  2u  v, y  u  v 3 .
Решение.
(1)
z z
,
u v
Для вычисления частных производных
сложной
z z
,
u v
функции
воспользуемся
формулой (1):
z x 2 x
z
y
 ,
откуда
 2 x ln y,
 2,
 1,
y
y u
x
u
z
x2
(2u  v) 2
3
 4 x ln y 
 4(2u  v) ln( u  v ) 
.
u
y
u  v3
2
2
z
x
y
2 x
3
2 ( 2u  v )
2
 2 x ln y  3v
 2(2u  v) ln( u  v )  3v
.
 1,  3v , тогда
v
y
u  v3
v
v
Следствие.
Результат вычисления производной сложной функции
(например, в примере 4) можно получить, не применяя формулу (1), можно
подставить промежуточные переменные x, y в исходную функцию, а затем найти
частные производные
z z
, , то есть, функция в примере 4 примет вид
u v
z  (2u  v) 2  ln( u  v 3 ) , теперь она зависит от переменных u,v, откуда
2
z
(2u  v) 2
z
3
3
2 ( 2u  v )
 4(2u  v) ln( u  v ) 
,
 2(2u  v) ln( u  v )  3v
.
u
u  v3
v
u  v3
Пусть функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y)  D .
Определение 3. Дифференциалом или полным дифференциалом dz
дифференцируемой функции z  f ( x, y ) в точке M ( x, y)  D ,
называется
выражение вида
dz( M ) 
z
z
( M )  x  ( M )  y .
x
y
Дифференциал есть главная часть приращения функции, линейная относительно
приращений x, y независимых переменных.
6
На
приближенном
z  dz
равенстве
основано
применение
полного
дифференциала
z(M 1 )  z(M ) 
z
z
( M )x  ( M )y , M 1  M 1 ( x  x, y  y )  D
x
y
(2)
Пример 5. Найдём дифференциал функции
Дифференциал функции будем находить по формуле
Поскольку
и
получаем
Пример 6 . Вычислить приближенно число A  1,03
2 , 04
.
Решение. Рассмотрим функцию z  x y . Применим формулу (2). Искомое
число
A  1,03
2 , 04
есть
точке M 1  M 1 (1,03;2,04) ,
частное
значение
Положим x  1; y  2 , то пусть точка
z(M )  12  1,
z(M 1 )
M  M (1;2) , тогда x  0,03; y  0,04 .
z
z
( M ), ( M ) :
x
y
z
z
z
z
 yx y 1  ( M )  2 11  2,  x y  ln x  ( M )  12  ln 1  0.
x
x
y
y
Подставим найденные значения в формулу (2), получим
1,03
2 , 04
 1  2  0,03  1,06.
Задания для самостоятельной работы.
Задание 1. Найти и изобразить области определения следующих функций:
1.1.
z  arcsin
в
x1  x  x  1,03; y1  y  y  2,04. ,
где
Найдем z (M ) и частные производные
функции
y 1
.
x
1.2. z 
7
1
.
4  x2  y2
1.3.
1.4. z  cos(x y ) .
z  ln( y 2  2 x  6) .
1.6. z  1 
1.5 . z  2 x  y  2 x  y .
x2 y2

.
4
9
Задание 2. Начертить семейство линий уровня каждой из следующих функций:
2.1 . z  2 x  y .
2.2. z  4 x 2  y .
2.3. z  x  y .
2.4. z  x 2  y .
2.5. z 
x
.
y
2.6. z  2 y 2  x .
Задание 3. Найти частные производные
z z
функции z  f ( x, y ) :
,
x y
3.1. z  ln( y 2  x ) .
3.2. z  arctg y 3  4 x .
3.3. z  arcsin y 2  e 2 x .
3.4. z  tg
sin xy
.
cos x
3.6. z  5
3.5. z 
Ответы: 3.1.
3.2.
x y
.
x y
x4  y2
.
z
1
z
2y

,

;
x 2( x  y 2 x ) y y 2  x
z
2
z
3y 2

,

;
x (1  y 3  4 x) y 3  4 x y 2(1  y 3  4 x) y 3  4 x
z
e2x
z
y

, 
3.3.
2
2x
2
2x
2
x
1  y  e ) y  e y
1  y  e2x
3.4.
z

x
3.5.
z y cos xy  tgx  sin xy z x cos xy

,

;
x
cos x
y
cos x
y 2  e2x
2y
z
2x
,

;

y




x

y
x

y
( x  y ) 2
( x  y ) 2
cos2 
cos2 
x y
x y
y  5 x  y  ln 5
z 2 x 3  5 x  y  ln 5 z

,

.
3.6.
x
x
x4  y2
x4  y2
4
2
4
8
2
;
Задание 4. В заданиях 4.1.-4.3. найти полный дифференциал dz от функции
z  f ( x, y ) :
y 2  x3
4.1. z 
.
x y
4.2. z 
xy
.
x  y2
2
x
.
y
4.3. z  y  sin
В заданиях 4.4.-4.6. вычислить приближенно число:
4.4. B 
4,03
2
 2,95 .
2
4.5. C  sin 29  tg 46
4.6. D  1,05
3, 94
Ответы: 4.1. dz 
1
(2 xy  y 2  x 3 )dy  (2 x 3  3x 2 y  y 2 )dx ;
2
x  y 
4.2. dz 
1
 y( y 2  x 2 )dx  x( x 2  y 2 )dy;
2
x y
4.3. dz 
1
1 
x
x x
x 
 cos dx   sin  cos dy  ;
y
y y
y  
y 
2
2
4.4. 4,994;
4.5. 0,502;
4.6. 1,01.
Вопросы для самоконтроля.
1. Дайте определение области определения функции двух переменных.
2. Что такое полное, частные приращения функции нескольких переменных?
3. Сформулируйте определение частной производной.
4. Сформулируйте условие дифференцируемости функции двух переменных.
5. Что такое полный дифференциал функции двух переменных?
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-2
«Частные производные высших порядков. Элементы теории поля».
Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются задачи нахождения
частных производных высших порядков, геометрические приложения частных
9
производных: касательная плоскость и нормаль к поверхности, экстремум
функции нескольких переменных, экстремум функции, наибольшее и наименьшее
значение функции в замкнутой области. Знакомство с элементами теории поля:
вычисление производной по направлению, нахождению градиента скалярного
поля.
В качестве ознакомления с УЭ-2 приводится разбор типовых задач и
необходимые теоретические сведения.
Пример 1. Найти частные производные второго порядка
2z 2z
,
,
x 2 xy
2z 2z
, 2 функции z  tg x 2 y  .
yx y
Решение.
z z
функции
, :
x y
производные
Вычислим сначала частные производные первого порядка
z
x2
z
2 xy

. Теперь вычислим частные

,
x cos2 x 2 y  y cos2 x 2 y 
второго
порядка
исходя
из
определения:
 2 z   z  2 y cos2 x 2 y   2 cosx 2 y sin x 2 y   4 x 2 y 2 2 y cosx 2 y   2 x 2 y sin 2 x 2 y 
  

,
x 2 x  x 
cos4 x 2 y 
cos4 x 2 y 
2z
  z  2 x cos2 x 2 y   2 cosx 2 y sin x 2 y  2 x 3 y 2 xcosx 2 y   x 2 y sin 2 x 2 y 
  

,
xy y  x 
cos4 x 2 y 
cos4 x 2 y 
2 z
  z  2 x cos2 x 2 y   2 cosx 2 y sin x 2 y  2 x 3 y 2 xcosx 2 y   x 2 y sin 2 x 2 y 
  

,
cos4 x 2 y 
cos4 x 2 y 
yx x  y 
 2 z   z 
2 x 4 sin x 2 y 
2
3
2
2
2
    x  2 cos x y  sin x y  x 
.
y 2 y  y 
cos3 x 2 y 
Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
x2 y2

поверхности (гиперболическому параболоиду) z 
в точке M 0 (4;4; z 0 ) .
16 4
10
Решение. Вычислим частные производные функции
x2 y2
f ( x, y ) 
 ,
16 4
они равны
y
z
x z
( x , y )  , ( x, y )   .
x
8 y
2
z
4 1 z
4
Их значения в точке M 0 (4;4) равны
(4,4)   , (4,4)    2.
x
8 2 y
2
42 42

 1  4  3.
Сама функция в точке M 0 принимает значение z 0 
16 4
Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности можно записать в виде
1
( x  4)  2( y  4)  ( z  3)  0,
2
раскрывая скобки и умножая на 2, приводим это уравнение к виду
x  4 y  2 z  6  0,
Уравнения нормальной прямой (нормали) к поверхности можно записать в
каноническом виде:
x4 y4 z3


.
1
2
1
2
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию двух переменных
z = x2y2(1-x-y).
Решение. Перепишем функцию в виде z  x 2 y 2  x 3 y 2  x 2 y 3 .
1) Найдем частные производные:
z
z
 2 xy 2  3x 2 y 2  2 xy 3 ,  2 x 2 y  2 x 3 y  3x 2 y 2 .
x
y
11
 2 xy 2  3x 2 y 2  2 xy 3  0  xy 2 (2  3x  2 y )  0
 2
2) Решим систему уравнений  2
3
2 2
2 x y  2 x y  3 x y  0  x y ( 2  2 x  3 y )  0
.Откуда из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x1 = 0  0  0,
 y1  0
2
 y2  1
2  2y

 2  2y  
 2  2y 
x2 
 y 
    3y  2  
  2  0  
3
 3  
 3 

y  2
 3 5
2 
2 2
Откуда, M 1  ;0 , M 2 0,1, M 3  , .
3 
5 5
2 
2 2
Количество критических точек равно 3: M 1  ;0 , M 2 0,1, M 3  , .
3 
5 5
3) Найдем частные производные второго порядка:
2 z
2 z
2z
2
2
2
2
3
 4 xy  6 x y  6 xy , 2  2 y  6 xy  2 y ,
 2 x 2  2 x 3  6 x 2 y.
2
x
xy
y
4) Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических
2 
2 2
точках M 1  ;0 , M 2 0,1, M 3  , .
3 
5 5
2 
Вычисляем значения для точки M 1  ;0  :
3 
Так как AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M 2 0,1 :
Так как AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
2 2
Вычисляем значения для точки M 3  ,  :
5 5
Так как AC  B 2 
64
 0, A  0, то
3125
2 2
в точке M 3  ,  имеется максимум:
5 5
 2 2  16
z ,  
.
 5 5  3125
12
Рассмотрим некоторые понятия элементов теории поля: производная
функции в данном направлении, градиент функции.
Определение
функции z  f ( x, y ) в
Производной
1.
точке M в
вектора l  MM 1 называется
направлении
,
где
.
Если функция z  f ( x, y ) дифференцируема, то производная
направлении вычисляется по формуле
z z
z

 cos 
 cos  ,
l x M
y M
в
данном
(1)
где , - углы, образованные вектором с осями
и . Производная по
z
направлению
дает скорость изменения функции z в направлении вектора l .
l
Определение
2.
Градиентом
функции z  f ( x, y ) в
точке M ( x, y) называется вектор, выходящий из точки M и имеющий своими
координатами частные производные функции z :
z
z
grad z 
i 
(2)
j
x M
y M
В случае функции трех переменных u  f ( x, y, z ) :
gradu 
Градиент
функции
и
u
x
i 
M
u
y
производная
j 
M
в
u
y
k .
M
направлении
вектора l связаны
формулой
. Градиент указывает направление наибыстрейшего роста
функции в данной точке.
Пример 4. Вычислить производную функции z  3x 3  xy в точке M (1;2) в



направлении вектора l  3i  2 j и градиент.
Решение. Найдем
значение
частных
производных
в
точке
z
z
  x  x 1, y 2  1
M (1;2) :
 9 x 2  y  x1, y 2  7,
y x 1, y 2
x x1, y 2

 
направляющие
косинусы l  xi  yj :
x
3
3
y
2
2
cos 


; cos  


.
2
2
2
2
94
13
94
13
x y
x y
Вычислим
13
z
3
 2  19
7
 1  

l
13
13 
13.

Используя формулу (2), получим: gradz  7  i  j .
Вопросы для самоконтроля.
1.
Что называется частными производными второго порядка функции двух
Тогда в силу формулы (1) имеем
переменных? Дайте определение частных производных n-го порядка функций
двух переменных.
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности для
2.
функций двух переменных, заданных в явной и неявной форме.
3.
Когда функции двух переменных имеет экстремум?
4.
Дайте определение производной функции по направлению.
5.
Что такое градиент функции двух переменных, трех переменных?
3. Тестовые задания для контроля знаний по модулю 5 «Функции многих
переменных».
Вариант I.
Вычислить производную z t сложной функции
1.
z  tg (3t  2 x 3  y 4 ), x  1 t , y  t .
Ответы:
a)
c)
2.
3t 2  2t  6
b)
2
t cos2 (3t  2t 3  t  2 )
3t 2  2t  6
3t 4  2t  6
d)
2
t cos2 (3t  2t 3  t  2 )
Найти смешанную производную второго порядка
4
t cos2 (3t  2t 3  t  2 )
3t 2  2t  6
4
t cos2 (3t  2t 3  t  2 )
2z
от функции
xy
z  sin 2 (2 x  3 y 2 ) .
Ответы:
a) 24 y sin 2(2 x  3 y 2 )
b) 12 y sin 2(2 x  3 y 2 )
c) 12 y cos 2(2 x  3 y 2 )
d)  24 cos 2(2 x  3 y 2 )
14
Найти наибольшую скорость gradu изменения функции u( x, y, z ) в точке
3.
M(-3;2;-1), если u  10  x 2  y 2  z 2 .
Ответы:
a)
1
b) 7 14
c) 7 2
d) 14 4
4.
Найти производную функции u ( x, y, z )  x 2 y 3  x( z  2) 2 в точке M (2,0,1) в
направлении вектора MN , где N (2,2,3) .
Ответы:
a) 24
5.
5
b) 36
c)  9  24
5
5
d) 3
5
Функция z  f ( x, y) называется непрерывной в точке M ( x0 , y0 )  D, если
Ответы:
a)
lim
x 0 ,y 0
z  0
b)
lim
x 0 ,y 0
c) lim z  0
z  0
x0
d) lim z  0
y 0
Вариант II.
1.
Вычислить производную z t сложной функции z  x 2  xy 2 , x  e t , y  sin t .
Ответы:
a)
2e 2t  sin 2 t  e t
c) e t (2e t  sin 2 t  sin 2t )
b) 2e 2t  2 sin t  e t
d) 2e t sin t (e t  cost )
2z
2. Найти смешанную производную второго порядка
от функции
xy
z  arctg (xy) .
Ответы:
a) (1  3x 2 y 2 ) (1  x 2 y 2 ) 2
b) 2 xy (1  x 2 y 2 ) 2
c)  2 xy 3 (1  x 2 y 2 ) 2
d) (1  x 2 y 2 ) (1  x 2 y 2 ) 2
3. Найти наибольшую скорость gradu изменения функции u( x, y, z ) в точке
1 1 1
M ( ; ; ) , если u  x 2  y 2  xe 2 z .
2 2 4
15
Ответы:
a) e  2  2 e
b) 2(e  1  e )
c) 2(e  1  e )
4. Найти производную функции u ( x, y, z )  arctg ( z
d) e  2  e
x 2  y 2 ) в точке M (1;1;2) в
направлении вектора MN , где N (2;0;1) .
Ответы:
a)
23
b)  6
c)  6 18
18
d)1
6
6. Область D называется ограниченной, если
Ответы:
a)
для  круга K : K  D
b) для  круга K : K  D
c)  круг K : K  D
d)  круг K : K  D
Вариант III.
1.
Вычислить частные производные z u , z v сложной функции
z  x 2 y , x  u  2v, y  v  2u .
Ответы:
1
12v 2  7u 2  12uv
2
2
(u  4v  8uv), z v 
a) zu 
(v  2u ) 2
(v  2u ) 2
1
b) zu 
(u 2  6v 2  uv),
2
(v  2u )
4v 2  7u 2  12uv
z v 
(v  2u ) 2
c)
2
12v 2  9u 2  16uv
2
2
zu 
(u  2v  uv), z v 
(v  2u ) 2
(v  2u ) 2
d)
2
4v 2  9u 2  16uv
2
2
zu 
(u  6v  uv), z v 
(v  2u ) 2
(v  2u ) 2
2.
3z
Найти смешанную производную третьего порядка
от функции
xy 2
z  x2 y3 .
Ответы:
16
a) 6 y 2
3.
b) 0
c) 12 xy
d) 6x 2
Найти gradu функции u  ln( x 2  2 yz ) в точке M (1;2;0,5) .
Ответы:
a)
4.
73
b)
c)
21 3
21
d)
7
Найти производную функции u( x, y, z )  ln( xz  y 2 ) в точке M (1;2;3) в
направлении вектора MN , где N (1;1;7) .
Ответы:
 3,2
a)
5.
b) 3,25
c) 3,2
d)  3,25
Если в точке M ( x0 , y0 ) дифференцируемая функция имеет экстремум, то
Ответы:
a) f x( x0 , y0 )  0
b) f x( x0 , y0 )  0, f y ( x0 , y0 )  0
c) f y ( x0 , y0 )  0
d) f x( x0 , y0 )  0, f y ( x0 , y0 )  0
Вариант IV.
1.
Вычислить частные производные z u , z v сложной функции
z  x 2 y 2 , x  u  v, y  u v .
Ответы:
a) z u 
u
2u 3
2
2

(2u  4uv  v ), z v  3 (u  v)
v2
v
u
u3
2
2
b) zu  2 (2u  3uv  2v ), z v   4 (u  v)
v
v
c) zu 
2u
2u 3
2
2

(2u  3uv  v ), z v   3 (u  v)
v2
v
2u
u3
2
2
d) zu  2 (2u  4uv  v ), z v  4 (u  v)
v
v
2.
2z
Найти смешанную производную
второго порядка от функции
xy
z  arcsin(xy ) .
17
Ответы:
a) (1  x 2 y 2 ) 3 2
b) x 3 y(1  x 2 y 2 ) 3 2
c) xy 3 (1  x 2 y 2 ) 3 2
d) (1  x 2 y 2 ) 3 2
3.
Найти gradu функции u  cos 2 xy  z в точке M ( 2 ;1 4 ;16) .
Ответы:
a) 0,125 2 2  9
b) 0,125 32 2  8
c) 0,25 2 2  3
d) 0,125 32 2  9
4.
Найти производную функции u ( x, y, z )  ln ( x 2  y 2 )
z в точке M (1;2;1) в
направлении вектора MN , где N (4;2;0) .
Ответы:
a)
2,2 10
b) 0,22 10
c) 1,7 10
d) 0,17 10
5.
Частной производной функции z  f ( x, y) в точке M ( x; y) по переменной x
называется
Ответы:
a)
lim z
x 0
b) lim ( x z x)
c) lim ( y z x)
x0
x 0
d) lim ( x z y)
Вариант V.
1.
Вычислить частные производные z u , z v сложной функции
u
z  x 2 ln y, x  , y  3u  2v .
v
Ответы:
2u
3u 2
2u 2
2u 2
a) zu  2 ln( 3u  2v)  2
, z v   3 ln( 3u  2v)  2
v
v (3u  2v)
v
v (3u  2v)
u
3u 2
2u 2
2u 2
b) zu  2 ln( 3u  2v)  2
, z v  3 ln( 3u  2v)  2
v
v (3u  2v)
v
v (3u  2v)
18
x0
zu  
c)
2u
3u 2
2u 2
2u 2

ln(
3
u

2
v
)

,
z

ln(
3
u

2
v
)

v
v(3u  2v)
v2
v2
v 2 (3u  2v)
u
3u 2
2u 2
2u 2
d) zu  2 ln( 3u  2v)  2
, z v  2 ln( 3u  2v)  2
v
v (3u  2v)
v
v (3u  2v)
3z
Найти частную производную третьего порядка
от функции
x 3
2.
z  sin( 3x  2 y ) .
Ответы:
a)  12 cos(3x  2 y)
b) 27 cos(3x  2 y)
c) 8 cos(3x  2 y)
d)  27 cos(3x  2 y)
Найти gradu функции u  ln( x 
3.
a)
2
b)
33 12
1
 z ) в точке M (2;1 2 ;1) .
y
c)
3 12
d) 17 12
Найти производную функции u( x, y, z )  xyz в точке M (5;1;2) в направлении
4.
вектора MN , где N (9;4;14) .
a) 30 13
c) 102 13
b) 98 13
d)
17 13
Частной производной функции z  f ( x, y) в точке M ( x; y) по переменной
5.
y называется
a) lim z
y  0
b) lim ( x z x)
c) lim ( y z y )
y 0
y  0
d) lim ( x z y )
y 0
Вариант VI.
1.
Вычислить
u t
производную
сложной
функции
u  z 2  y 2  zy, y  e t , z  sin t .
a) sin 2t  e t  2e t (sin t  cost )
b) sin 2t  2e t  e t (sin t  cost )
c) 2 sin t  2e t  e t (sin t  cost )
d) e t (2 sin t  2  cost )  2 sin t
19
3 z
Найти частную производную третьего порядка
от функции z  x y .
y 3
2.
b)  6 x y 4
a) 2 x y 3
d)  x y 6
c) 6 x y 4
Найти gradu функции u  sin( xz )  y в точке M ( 3 ;9;1) .
3.
a)  2  9 6
b)  2  11 6
c)  2  10 6
d)  2  12 6
Найти производную функции u( x, y, z )  x 2 y 2 z 2 в точке M (1;1;3) в
4.
направлении вектора MN , где N (0;1;1) .
b)  28
a) 22
c)  24
d)  22
Полный дифференциал функции z  f ( x, y) в точке M ( x; y) имеет вид
5.
dz  z x dx  z y dy
a)
b) dz  z x x  z y y
c) dz  z y dx  z x dy
d) z  z x dx  z y dy
Вариант VII.
Вычислить
1.
производную z t
сложной
функции
x2
z x ,
y
где
x  2t  1, y  t 3 .
Ответы:
1
4 8 3
 2  3 4
t
t
2t  1 t
a)
c)
b)
1
4 8 3
  3 4
t
2 2t  1 t t
d)
1
8 3
 4 ln t  3  2
t
t
2 2t  1
1
4 8 3
 2  3 4
t
t
2t  1 t
2z
Найти смешанную производную второго порядка
от функции
xy
2.
z  arctg (x  y)  xy .
Ответы:
a) 
c)
2 (x  y )
1

(1  (x  y ) 2 ) 2 2 xy
2 (x  y )
1

1  (x  y ) 2 4 xy
20
b)
2 (x  y )
1

(1  (x  y ) 2 ) 2 4 xy
d)
2 (x  y )
1

1  (x  y ) 2 2 xy
3.
Найти наибольшую скорость gradu изменения функции u( x, y, z ) в точке
M(-1;1;1), если u  9  x 3  y 2  z 3 .
Ответы:
a)
11
2 10
4.
 1 1
Найти производную функции u( x, y, z)  x 2 y 2 z 2 в точке M 1; ;  в
 2 2
b)
19
2 10
c)
55
10
22
10
d)
 1

направлении вектора MN , где N   ;1;1 .
 2

Ответы:
a) 
5.
3
12
Уравнение
b)
3
12
c) 
касательной
1
d)
2 3
плоскости
в
точке
1
2 3
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
функции f ( x, y, z )  0 заданной неявно определяется уравнением
Ответы:
a) z  z 0  f x( M 0 )( x  x0 )  f y( M 0 )( y  y0 )
b) z  z 0  ( f x( M 0 )  f y( M 0 ))( y  y0 ) ( x  x0 )
c) f z( M 0 )( z  z 0 )  f x( M 0 )( x  x0 )  f y( M 0 )( y  y0 )
d) f x( M 0 )( x  x0 )  f y(M 0 )( y  y0 )  f z(M 0 )( z  z0 )  0
Вариант VIII.
1.
Вычислить
z t
производную
сложной
функции
z  ln( x 2  y 2 ), x  et , y  e 2t  et
Ответы:
6e 3 t  4e 4 t
a) 3t
2e  e 4 t
4e 2 t  4e 4 t
b) 2 t
2e  e 4 t
4e 2 t  2e 2 t
c) 2 t
2e  e 2 t
6e 3 t  2e 2 t
d)
2e 3 t  e 2 t
 3u
2. Найти смешанную производную третьего порядка
от функции u  e xyz .
xyz
21
Ответы:
a) x 2 y  e xyz (2  xyz )
b) xyz  e xyz (1  3xyz )
c) x 2 ye xyz ( xy 2 z 3  3 yz 2  1)
d) e xyz ( x 2 y 2 z 2  3xyz  1)
3. Найти наибольшую скорость gradu изменения функции u( x, y, z ) в точке
M (1;1;0) , если u  sin( ( xy ) 3 )  ez .
Ответы:

a)
2
19
b)

4
c)
22

2
d)
7

2
22
4. Найти производную функции u( x, y, z )  arctg xyz в точке M 1;4;1 в
направлении вектора MN , где N  1;6;2 .
Ответы:
a)
1
10
b) 
1
15
c)
1
6
d) 
1
30
5. Уравнение нормали к поверхности, заданной неявно функцией f ( x, y, z )  0 в
точке M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) определяется уравнением
Ответы:
a) z  z 0  f x( M 0 )( x  x0 )  f y( M 0 )( y  y0 )
b)
x  x0
y  y0
z  z0


f x( M 0 ) f y( M 0 ) f z( M 0 )
c) f z( M 0 )( z  z 0 ) =
x  x0
y  y0

f x( M 0 ) f y( M 0 )
d) f z( M 0 )( z  z 0 ) = f x( M 0 )( x  x0 )  f y( M 0 )( y  y0 )
Вариант IX.
1.
z
Вычислить
частные
производные
y
, x  u  2v, y  u  2v .
x2
Ответы:
22
z u , z v
сложной
функции
a) zu 
c)
u  6v
2(3u  2v)
, zv 
4
(u  2v)
(u  2v) 4
zu 
b) zu  
2v  u
4(u  v)

,
z


v
(u  2v) 3
(u  2v) 3
d)
u  6v
2(3u  2v)
, zv 
3
(u  2v)
(u  2v) 3
zu  
u  6v
2(3u  2v)

,
z

v
(u  2v) 4
(u  2v) 4
 3u
2. Найти смешанную производную третьего порядка
от функции u  e  xyz .
xyz
Ответы:
a)  e  xyz ( x 2 y 2 z 2  3xyz  1)
b)  x 2 ye  xyz ( xy 2 z 3  3 yz 2  1)
c)  e  xyz ( x 2 y 2 z 2  3xyz  1)
d)  xyz  e  xyz (1  3xyz )
1
3. Найти gradu функции u  arcsin xy  arctg z в точке M (1; ;1) .
4
Ответы:
213
12
a)
b)
71
4
c)
65
2
d)
65
4
Найти производную функции u( x, y, z)  ln x 2 y 2  z 2  в точке M 1;2;1 в
4.
направлении вектора MN , где N  2;4;4.
Ответы:
38
3 22
a)
b)
12
3 22
22
66
c)
d)
Наибольшая скорость изменения функции u  u( x, y, z ) равна модулю
5.
градиента gradu и определяется по формуле
Ответы:
a)
u x  u y  u z
c) ux  uy  uz
2
2
b)
u x  u y  u z
2
2
d) u x  u y  u z
2
2
2
Вариант X.
1.
Вычислить частные производные z u , z v сложной функции
z  x 2  xy  y 2 , x  cosu, y  ctgv .
Ответы:
23
2
2
2 22
33
a) zu  sin 2u  sin u  ctgv, z v  
cosu 2 cosv

sin 2 v sin 3 v
b) zu   sin 2u  sin u  ctgv, z v  
c) zu   sin 2u  sin u  ctgv, z v 
cosu 2 cosv

sin 2 v sin 3 v
cosu 2 cosv

sin 2 v sin 3 v
d) zu   sin u  cosu  sin u  ctgv, zv 
cosu
2

2
sin v cosv  sin v
Найти смешанную производную
2.
2z
второго порядка от функции
xy
z  ln( x  y ) .
Ответы:
a)
x
4 y ( x  xy ) 2
c) 
b) 
xy
2 y( x 
d)
y )2
Найти gradu функции u  arctg
3.
xy
4 y ( x  xy ) 2
x
2 y( x  y)
2z
в точке M (1;0;2) .
x y
Ответы:
a)
4.
2
3
b)
3
5
c)
Найти производную функции u ( x, y, z ) 
33
10
d)
4 2
5
xy
в точке M 4;9;1 в
z
направлении вектора MN , где N (4;2;0) .
Ответы:
a)
67
18
b)
35
18
c)
24
11
6
d)
31
12
5.
При нахождении наибольшего и наименьшего значения функции
z  f ( x, y) в области находят стационарные точки, которые определяются
условием
Ответы:
a)
zx  zy  0
2
2
 z xx  0

c)  z yy  0
 z   0
 xy
 z xx  0
b) 
 z yy  0
 z x  0
d) 
 z y  0
Время выполнения ИТ – 70 минут.
Шкала оценивания результатов тестирования:
оценка «5» («отлично») выставляется испытуемым за верные ответы, которые
составляют 91-100 % от общего количества вопросов;
оценка «4» («хорошо») соответствует работе, которая содержит от 71 % до 90 %
правильных ответов;
оценка «3» («удовлетворительно») соответственно от 51% до 70% правильных
ответов;
результаты тестирования, содержащие менее 51% правильных ответов,
оцениваются как «неудовлетворительно».
Автор – разработчик модуля 5:
Доцент, канд.физ.-матем.н. Емгушева Г.П.
Эксперты:
_________________
_________________
(занимаемая должность)
Председатель
Учебно-методической
комиссии:
_________________
(занимаемая должность)
(подпись)
______________________
(инициалы, фамилия)
_________________
(подпись)
______________________
(инициалы, фамилия)
25