конференция_Ли_Чэнь (2)x - Томский политехнический

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Ли Чэнь
Томский политехнический университет, г. Томск
Научный руководитель: Харлова Александра Николай
В основном курсе теории функций комплексного переменного рассматривается
применение вычетов к вычислению интегралов от функций комплексного переменного
по замкнутому контуру. Методу вычисления таких интегралов соответствует довольно
простой алгоритм, состоящий из несложных процедур. В некоторых случаях
вычисление интегралов сводится к нахождению производных (если особые точки,
входящие в контур интегрирования являются полюсами).
Применение вычетов этим не ограничивается. Прежде всего, аппарат вычетов
можно использовать при вычислении интегралов от функций действительной
переменной. Если подобрать некоторую функцию, переводящую отрезок  a; b  в
b
замкнутую плоскую кривую C , то вычисление определенного интеграла
 f ( x)dx
от
a
функции действительного переменного можно свести к вычислению интеграла

f ( z )dz по замкнутому контуру от функции комплексной переменной.
C
Простейшая задача такого типа связана с преобразованием отрезка  0; 2  в
2
 R(sin x;cos x)dx , где R - дробно
непрерывной на отрезке  0; 2  . Для
окружность. Рассмотрим вычисление интегралов вида
0
рациональная функция, которая является
вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, используется
x
замена tg  t , которая сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби для
2
вычисления которого применяется алгоритм интегрирования с простыми, но
трудоёмкими преобразованиями. Если отрезок  0; 2  рассматривать как изменение
аргумента z . Точки z , принадлежащей окружности, то замена z  eix переводит этот
dz
z  1,0  x  2 . Тогда ix  ln z , dx 
отрезок
в
окружность
,
iz
eix  eix 1 
1
eix  eix 1 
1
cos x 
  z   и sin x 
  z   . В результате получим
2
2
z
2i
2i 
z
формулу, связывающую определенный интеграл от действительной переменной с
интегралом по замкнутому контуру от функции комплексного переменного:
2
1
1 1 
1   dz
 R(sin x;cos x)dx   R  2  z  z  ; 2i  z  z    iz
0
.
C
1
Полученный справа интеграл является интегралом от аналитической функции,
которая имеет конечное число особых точек, причем все особые точки являются
полюсами. Поэтому для вычисления интеграла можно применить теорему о вычетах, то
2
есть
 R(sin x;cos x)dx  
F ( z )dz ,
где
функция
z 1
0
1
1 1 
1 
F ( z)  R   z   ;  z   
z  2i 
z 
2
аналитична на контуре z  1 , внутри него и имеет конечное число особых точек
2
(полюсов). Следовательно
n
R (sin x;cos x)dx  2 i  resF ( z ) , где суммирование ведется

k 1
0
по всем полюсам
Z1 , Z 2 ,..., Z n ,
z  zk
находящимся внутри окружности z  1 .
Еще больший интерес представляет возможность применения вычетов для

вычисления несобственных интегралов вида

f ( x )dx . Возможность применения

вычетов при вычислении таких интегралов основана на том, что отрезок   R; R
действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура C , состоящего из
этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы
двух интегралов:

R
f ( z )dz 

R
C

f ( x)dx 
f ( z )dz
CR
где C R - дуга окружности z  R, Im z  0.
Тогда несобственный интеграл определяется следующим образом:



f ( x)dx 
 f ( z)dz  lim 
C
R 
f ( z )dz .
CR
Интерес представляют несобственные интегралы, в которых подынтегральная
функция такова, что lim
R 

CR

f ( z ) dz  0 . В этом случае


f ( x)dx 
 f ( z)dz
т.е.
C
вычисление несобственного интеграла от функции действительной переменной
сводится к вычислению интеграла от функции комплексного переменного по
замкнутому контуру. К таким интегралам относятся интегралы вида:
2

Pm ( x)
 Q ( x)dx ,

n
где Pm ( x ) и Qn ( x ) многочлены соответственно степеней m и n , Qn ( x)  0 и n  m  2 ,
то есть степень знаменателя по крайней мере, на две единицы больше степени
числителя:


0
0
 R( x) cos  xdx ,
 R( x)sin  xdx ,
где R ( x ) правильная рациональная дробь,  - любое рациональное положительное
число.
Вычисление таких интегралов и приводящихся к ним интегралов методами
математического анализа (нахождение первообразной) представляет в большинстве
случаев определенные трудности. К таким интегралам относятся ,например, интегралы

вида
cos 2 x
 x 2  x  1dx ,
2

0

dx
,
(2  cos 2 x) 2
sin x
dx .
x
0

Для вычисления перечисленных интегралов используются следующие формулы:

n
 Pm ( z ) 
Pm ( x)
dx

2

i



res
 Qn ( x)
k 1 z  zk  Qn ( z ) 
,
под знаком суммы стоит сумма вычетов функции f ( z ) 
Pm ( z )
во всех полюсах,
Qn ( z )
расположенных в верхней полуплоскости;

n

R
(
x
)
cos

xdx

Re
2

i

resf
0

k 1



i z  , здесь суммирование ведется по всем
( z)e 
z  zk

полюсам функции f ( z ) , расположенным в верхней полуплоскости;

n

R
(
x
)
sin

xdx

Im
2

i

resf
0

k 1



i z  , здесь суммирование ведется по всем
( z)e 
z  zk

полюсам функции f ( z ) , расположенным в верхней полуплоскости.

Так называемые интегралы Френеля
2
 cos x dx и
0

 sinx dx
2
удобно вычислять
0
одновременно. Рассмотрим вспомогательную функцию f ( z )  eiz , для которой при
2
3
действительных z  x подынтегральные функции cos x 2 и
соответственно действительной и мнимой частями функции
sin x 2 являются
f ( z ) , то есть
Re f ( z )  cos x 2 и Im f ( z )  sin x 2 . Заметим, что на биссектрисе первого координатного
угла, то есть при z  r i , функция f ( z )  e r совпадает с подынтегральной функцией
2

e
интеграла Пуассона
r2
dr 
0

2
. Чтобы воспользоваться этим, выберем контур,
указанный на рисунке 1. Так как функция
f ( z ) является аналитической внутри него,
то по теореме Коши будем иметь
R
ix
 e dx 
2
0
CR
0
iz
r
 e dz  e
2
CR
2
idr  0 .
R
0
 iz 2

2
Учитывая, что lim   e dz   e r idr   0
R  

R
 CR

окончательно получаем



2
 e dx   cos x dx  i  sin x dx  i
ix 2
0
2
0
0
Рисунок. 1
1 

 
i
.
2
2 2
2 



1 
Откуда  cos x 2 dx =  sinx 2 dx = 
.
2
2
0
0
Список литературы
1.Молдованова Е.А., Харлова А.Н. Ряды и комплексный анализ. Функции
комплеского переменного: учебное пособие -Томск: изд-во ТПУ, 2009. - 170с.
2.Фукс Б.А., Шабат Б.В.. Функции комплексного переменного и некоторые их
приложения. –М.: Издательство «наука», 1964. -388с.
4