Инвариант

инвариант
В верхней левой клетке таблицы 2n  2n стоит фишка. Разрешается выбрать любой
квадрат k  k клеток внутри таблицы и повернуть этот квадрат относительно его центра
на 90k градусов. Можно ли с помощью таких операций переместить фишку в верхнюю
правую клетку таблицы?
Ответ. Нет.
Решение.
Покрасим клетки таблицы в шахматном порядке. Пусть фишка изначально стоит на
клетке черного цвета и переместить ее нужно в белую клетку. Однако никакая операция
не меняет цвета клетки, на которой стоит фишка, значит после любой операции фишка так
и останется на клетке черного цвета.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На волшебной сосне растут 10 бананов и 9 апельсинов. Если сорвать два одинаковых
фрукта, то на сосне тут же вырастет один банан, а если сорвать два разных – вырастет
один апельсин. Срывать фрукты по одному нельзя. Можно ли сорвать фрукты с сосны так,
чтобы на сосне остался один банан?(?)
Ответ. Нельзя.
Решение. Апельсинов все время остается нечетное число, а чтобы последним остался
банан, необходимо, чтобы апельсинов перед последним срыванием было четное число:
два или ноль.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
На двери пещеры с сокровищами выложен узор из 21 одинаковых плиток (см. рис.). За
один ход разрешается выбрать любую плитку и
перевернуть все плитки, имеющие с выбранной общий
отрезок границы. Пещера откроется, если все плитки
окажутся перевернутыми. Сможет ли Али-Баба за
несколько ходов открыть пещеру?
(Устинов А.В., Поляков Е., Петухова Н.А. )
Ответ. Нет.
Решение.
Количество неперевернутых плиток изменяется на четное число (0, 2, 4 или 6), а т.к.
изначально плиток было нечетное количество, то после любого хода будет оставаться, по
меньшей мере, одна неперевернутая плитка.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Печатающий автомат работает по правилу: если ввести в него пару чисел x, y  , то он
 3x  2 y 2 x  7 y 
,
выдаст пару 
 . Возможно ли за несколько ходов из пары 4,5 получить
5 
 5
пару 2,6 ?(ПермьТЮМ)
Ответ. Нет.
Решение.
инвариант
Сумма
компонентов
каждой
пары,
выдаваемой
автоматом,
постоянна:
3x  2 y 2 x  7 y 5 x  5 y


 x  y . Вначале сумма была 4  5  9 , а сумма компонентов
5
5
5
пары 2,6 равна 8, следовательно, получить такую пару невозможно.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
К натуральному числу разрешается прибавлять или отнимать сумму его цифр. Можно ли с
помощью этих операций из числа 2004 получить число 2005?(?)
Ответ. Нельзя.
Решение. Если число делится на 3, то после изменения этого числа на сумму его цифр оно
по-прежнему будет делиться на 3. Число 2004 делится на 3, а число 2005 – нет.