I открытая областная олимпиада школьников по физике. Челябинская область.

I открытая областная олимпиада школьников по физике. Челябинская область.
25 ноября 2007 года. Решения задач. 9 класс.
9 класс
1. Из некоторой точки пола длинной прямой галереи запускают маленький упругий
мячик. Начальная скорость мяча v0 = 13 м/с направлена под углом α ( sin   12 13 ) к
горизонту. Все удары мяча о потолок, пол и торцевую стенку галереи абсолютно
упругие. Движение мяча происходит в плоскости, показанной на рис.1. Расстояние от
точки запуска до торцевой стенки галереи L = 37,5 м, высота галереи H = 5,4 м.
Ускорение свободного падения g считайте равным 10 м/с2.
1) Через какое время t0 после начала движения мячик в первый раз ударится о
потолок?
2) На каком расстоянии d от точки запуска мяч в первый раз ударится о пол?
3) Через какое время T после начала движения мяч ударится о торцевую стенку?
4) На какой высоте h пролетит мяч над точкой запуска после отражения от торцевой
стенки?
Примечание. При абсолютно упругом ударе скорость мяча не меняется по модулю, а
угол падения равен углу отражения (рис.2).
g
v до
φ φ
v после
H
v0
α
v до  v после
L
рис. 1
рис. 2
Решение.
1) Проекции начальной скорости мяча на оси X и Y:
vox  vo cos   13 м / с  5 13  5 м / с;
voy  vo sin   13 м / с  12 13  12 м / с.
Зависимость координаты y мяча от времени при движении до первого удара о
gt 2
потолок: y  voy t 
2
y  H  5,4 м при t  t o  0,6с.
Ответ: t 0  0,6с.
2) Связь между проекциями скорости мяча до и после удара о потолок:
v( после) x  v( до) x ; v( после) y  v( до) y .
Y
Таким
образом,
траектория
движения мяча от пола до пола
является
частью
параболы,
«обрезанной» снизу (y<0) и
сверху (y>H). Из симметрии
g
движения
с
постоянным
H
v0
ускорением по параболе вверх и
α
вниз, время движения мяча от
пола до потолка равно времени
0
X
d
его движения от потолка до
L
пола. Тогда время движения
I открытая областная олимпиада школьников по физике. Челябинская область.
25 ноября 2007 года. Решения задач. 9 класс.
мяча от момента запуска до первого удара о пол: t1  2t o  1,2с.
Проекция перемещения мяча на ось X за это время:
x1  d  vox t1  6,0 м.
Ответ: d  6,0 м.
3) При ударах мяча о пол, также как и при ударах о потолок, проекция скорости мяча
на ось X не изменяется. Поэтому от точки запуска до торцевой стенки галереи мяч
перемещается вдоль оси X c постоянной скоростью, равной vox.
Время от начала движения до удара о торцевую стенку:
L
T
 7,5с.
vox
Ответ: T  7,5с.
4) Число циклов движения мяча «от пола до пола» за время движения до торцевой
T
L
  6,25.
стенки: N 
2t 0 d
При ударе мяча о торцевую стенку не меняется проекция скорости на ось Y, а
проекция скорости на ось X меняет только знак. Таким образом, если отобразить
траекторию движения мяча зеркально относительно торцевой стенки, можно
увидеть, что движение в обратном направлении тоже будет содержать N циклов.
на рисунке цветом выделен участок траектории после удара
мяча о торцевую стенку и показано его зеркальное отображение
Общее число циклов за время движения мяча туда и обратно: 2N = 12,5. Иными
словами, до прохождения мяча над точкой запуска пройдет 12 полных циклов и
еще половина цикла. Половина цикла соответствует движению от пола до потолка.
Следовательно, мяч пройдет над точкой запуска на высоте h  H  5,4 м.
Ответ: h  5,4 м.
2. В сообщающиеся сосуды налита вода. В одно из колен бросили кусочек льда и
добавили несмешивающуюся с водой жидкость,
плотность которой меньше плотности воды.
Известно, что при этом лед оказался погруженным
в воду на 60% своего объема (рис.3). Плотность
h
воды ρв = 1000 кг/м3, плотность льда ρл = 900 кг/м3.
Начальная масса кусочка льда m = 4,5 г, начальная
высота столбика жидкости над водой h = 8 см. hл
hпр
Колена сосудов представляют собой одинаковые
цилиндрические трубки с площадью сечения s = 3
см2. Считайте, что лед плавает свободно, не задевая
рис.3
стенок сосуда.
1) Чему равна плотность жидкости ρж?
2) Насколько уровень воды в левом колене hл первоначально выше, чем hпр в правом?
3) Куда и насколько переместятся уровни воды hл и hпр в левом и правом коленах
после таяния всего льда?
I открытая областная олимпиада школьников по физике. Челябинская область.
25 ноября 2007 года. Решения задач. 9 класс.
Решение.
1) Лед плавает свободно, если действующая на него сила тяжести FТ уравновешена
силой Архимеда FA.
Пусть объем всего кусочка льда равен V, тогда объем части, находящейся в воде
V1 = 0,6V, в неизвестной жидкости – V2 = 0,4V.
Сила тяжести, действующая на лед, FT  mg   лVg.
Сила Архимеда действует на лед, как со стороны воды, так и со стороны
неизвестной жидкости: FA   в gV1   ж gV2 .
  0,6  в
 750кг / м 3 .
Т.к. FA  FТ , то  ж  л
0,4
2) Условие равновесия жидкостей в сосудах связано только с уровнями их свободных
поверхностей и границы раздела жидкостей и не зависит от присутствия льда:
 в ghл   в ghпр   ж gh .
Первоначальная разность уровней воды в левом и правом колене:
 h
hл  hпр  ж  6см.
в
Ответ: hл  hпр  6см.
3) Т.к. общая масса содержимого сосудов при таянии льда не изменяется, давление на
их дно остается неизменным. Следовательно, уровень воды в левом колене при
таянии льда не меняется!
Это значит, что вода, включая ее часть, образовавшуюся при таянии льда, из
правого колена в левое не перетекает. Масса воды, добавившейся при таянии льда,
m
 4,5см 3 .
равна первоначальной массе кусочка льда m. Ее объем V доб
в
m
 5,0см 3 .
Первоначальный объем льда V 
л
V  0,6V
Изменение уровня воды в правом колене: hпр  доб
 0,5см.
s
Ответ: уровень воды в левом колене не изменится;
в правом колене уровень воды повысится на 0,5 см.
3. Юному физику Вове поручили измерить сопротивление
резистора, снабдив его для этих целей вольтметром,
миллиамперметром и идеальным источником питания (всегда
выдает одинаковое напряжение). Для измерения сопротивления
Вова по очереди собрал две схемы и снял показания приборов
(рис.4). По результатам измерений, проведенных Вовой,
определите:
1) сопротивление резистора R;
2) сопротивление вольтметра Rv;
3) напряжение на источнике питания U.
mA
V
3 мА
2,31В
7 мА
mA
V
2,30В
рис.4
Решение.
1) Заметим, что показания вольтметра в первом и во втором случае отличаются
незначительно. Это значит, что амперметр можно считать идеальным (его
сопротивление пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением резистора).
Тогда в первой цепи показания вольтметра с большой степенью точностью
I открытая областная олимпиада школьников по физике. Челябинская область.
25 ноября 2007 года. Решения задач. 9 класс.
соответствуют
напряжению
на
резисторе.
Сопротивление
резистора
U
2,31В
R 1 
 770Ом .
I1
3 мА
Ответ: R = 770 Ом.
2) Во второй цепи ток через миллиамперметр равен сумме токов через вольтметр и
резистор.
U
2,30В
Ток через резистор I R  2 
 3мА .
R 770Ом
Ток через вольтметр I V  I 2  I R  4 мА .
Сопротивление вольтметра RV 
U2
 575Ом .
IV
Ответ: RV = 575 Ом.
3) Т.к. источник питания идеальный, то напряжение на нем равно показаниям
вольтметра в первой цепи: U  U1  2,31В .
Ответ: U = 2,31 В.
4. В теплоизолированный сосуд налита вода массой M = 100 г при температуре tнач =
20ºС. Воду хотят охладить до температуры tкон = 5ºC, для этого в неё каждую минуту
бросают кубик льда массой m = 1г при температуре tл = 0ºC.
1) Определите, через какое время вода в сосуде охладится до нужной температуры,
если сосуд достаточно большой и вода из него не выливается.
2) Каким будет ответ, если сосуд изначально был заполнен водой до краев, и при
добавлении льда излишки воды выливаются?
дж
Удельная теплоемкость воды св  4,2  10 3
, удельная теплота плавления льда
кг  град
дж
кг
кг
 л  336  10 3
, плотность льда  л  900 3 , плотность воды  в  1000 3 .
м
м
кг
Считайте, что за 1 минуту в сосуде успевает установиться тепловое равновесие.
Решение.
1) Пусть общая масса льда, которая понадобится для охлаждения воды равна mобщ.
Количество теплоты, которое необходимо отобрать у имеющейся вначале воды,
Qотд равно количеству теплоты Qпол , которое пойдет на плавление всего льда и
нагревание образовавшейся воды до температуры t кон .
Qотд  Mcв (t нач  t кон ) ;
Qпол  mобщ  л  mобщ cв (t кон  t л ).
Общая масса льда mобщ 
Mcв (t нач  t кон )
 17,65г .
 л  cв (t кон  t л )
Т.к. количество N1 кубиков льда должно быть целым, то N1 
mобщ
 18 , а время,
m
которое потребуется для охлаждения воды – 18 мин (если считать время до
установления теплового равновесия в сосуде после опускания в него последнего
кубика).
Ответ: 18 мин.
2) Плавающий лед вытесняет количество воды, равное по массе собственной массе
льда (закон Архимеда!). Поэтому при опускании в воду каждого нового кусочка
льда из сосуда будет выливаться вода массой m. При таянии льда вода через край
I открытая областная олимпиада школьников по физике. Челябинская область.
25 ноября 2007 года. Решения задач. 9 класс.
не выливается! Найдем изменение температуры воды за первую минуту. Пусть t1 –
температура в сосуде в конце первой минуты. Составим уравнение теплового
баланса:
(M  m)cв (t нач  t1 )  m л  mcв (t1  t л )
Решив это уравнение, получим:
Mcв t нач  m л  mcв (t нач  t л )
.
t1 
Mcв
m л
m
Если учесть, что t л  0  C , то t1  t нач (1  ) 
 0,99t нач  0,8 С .
M
Mcв
Аналогично, можно выразить температуру t2 в конце второй минуты через t1:
t 2  0,99t1  0,8 C и т.д.
Составим таблицу изменения температуры поминутно:
мин.
t,oС
1
19,00
2
18,01
3
17,03
4
16,06
5
15,10
6
14,15
7
13,21
8
12,27
9
11,35
10
10,44
11
9,53
12
8,64
13
7,75
14
6,87
15
6,01
Таким образом, к концу 16-ой минуты температура воды приблизится к 5оС, а к
концу 17-ой – станет меньше.
16
5,15