Определение параметров полуэллиптических орбит «Земля

Определение параметров полуэллиптических орбит «Земля-Марс» и «Марс-Земля».
Целью работы является определение скоростей запусков и посадки космических летательных
аппаратов (КЛА) и других параметров перелета к Марсу с возвращением на Землю по
полуэллиптическим орбитам.
При вычислении параметров полуэллиптической орбиты планет принимались упрощающие
условия. Предполагается, что орбиты планет круговые и лежат в плоскости эклиптики; запуск КЛА
производится с поверхности планет, а не с промежуточных орбит; не учитывается суточное вращение
планет; круговая скорость Земли на расстоянии 1 а.е. от Солнца принимается равной 30 км/с.
1. Орбита КЛА, запущенного к Марсу, должна касаться орбиты Земли в перигелии и орбиты
Марса в афелии.
Скорость V в любой точке орбиты определяется соотношением, полученным Ньютоном и решения
задачи 2-х тел.
2 1
V 2  G ( M  m)(  ) ,
r a
где G- гравитационная постоянная, остальные обозначения на рис. 1
Для определения Vкла в перигелии принимается
M  Mс ,
где Мс масса Солнца.
m- пренебрегается по сравнению с Мс,
r  rпер  1а.е.
a
a пер  a аф
 1,25а.е.
2
Скорость в перигелии орбиты определяется по формуле
2
1
2
Vпер
 GM с (

)  33км / c.
1a.e. 1,25a.e.
2. Чтобы КЛА достиг такой скорости относительно Солнца, надо его запустить в направлении
движения Земли по орбите так, чтобы скорости, которую КЛА имеет по инерции за Землей,
добавилась скорость выхода из сферы действия Земли.
Vпер  VЗ  Vв ых _ к _ М
откуда Vвых _ к _ М  Vпер  VЗ  3км / с
Направление скоростей иллюстрируется на рис.2.
3. Для обеспечения Vв ых _ к _ M скорость запуска с поверхности Земли должна быть
гиперболической. В поле тяготения Земли КЛА потеряет параболическую (2-ю космическую)
скорость и выйдет из сферы действия Земли с остаточной скоростью Vв ых _ к _ M .
2
2
2
Vзап _ с _ З  VII2 _ отн _ З  Vвых
_ к _ M  11,2  3  11,59км / c
Время перелета по орбите Земля – Марс определяется по 3-му закону Кеплера
2
Tкла
TЗ2

3
a кла
a З3
Для Земли Тз =1 год, а З =1 а.е., откуда Ткла =1,4 года, а время полета по полуэллиптической
T
орбите  0,7 года  8,3 мес.
2
Все время полета с момента прекращения работы разгоняющих двигателей и до удара о
поверхность Марса КЛА находится в невесомости.
5. В афелии своей орбиты КЛА в афелии орбиты можно оценить, пользуясь следствием из 2-го
закона Кеплера
Vпер rпер
VКЛА _ афел 
 22км / c
rафел
6. При касании орбит КЛА входит в сферу действия Марса с относительной скоростью, равной
разности скоростей КЛА и Марса.
| Vвыхода | VКЛА _ афел  VМарса _ отн _ С
VМарса _ отн _ С 
GM C
rорб _ Марса
 24,14км / c
Таким образом,
| Vвыхода _ в _ сферу _ д _ М | 2,14км / c .
7. Войдя в сферу действия Марса, КЛА будет падать под действием его поля тяготения, и у
поверхности планеты скорость жесткой посадки достигнет значения
2
,
Vжест _ пос  VII2 _ отн _ M  Vвыхода
VII _ отн _ M 
2GM Марса
rМарса
 5км / c .
Vжест _ пос _ на _ М  5,44км / c
8. Ожидать удобного расположения Земли и Марса для возвращения на Землю по
полуэллиптической орбите придется 1,24 года.
Орбита КЛА «Марс-Земля» - внутренний эллипс по отношению к орбите Марса, поэтому
скорость КЛА относительно Солнца должна быть меньше скорости Марса по орбите.
Запуск КЛА должен производиться в сторону, противоположную движению Марса по орбите.
(рис.3).
VКЛА _ отн _ С  VM _ отн _ С  Vвыхода _ к _ З
Движение КЛА по орбите «Марс-Земля» - будет происходить по полуэллипсу, составляющему
с орбитой «Земля - Марс» полный эллипс.
9. Для возвращения на Землю
| Vстарта _ с _ пов _ М || Vжестк _ пос _ на _ М | 5,44км / с ,
| Vвых _ из _ сф _ д _ M _ к _ З || Vвыхода _ в _ сф _ д _ М | 2,14км / c ,
время в пути Марс-Земля равно времени перелета с Земли на Марс (8,3 месяца).
| Vвх _ в _ сф _ д _ З || Vвыхода _ из _ сф _ д _ З _ к _ М || 3км / c | ,
| Vжест _ пос _ на _ З || Vстарта _ спов _ З || 11,59км / c | .
Чтобы экспедиция закончилась благополучно, необходимо тормозить в поле тяготения Земли.
10. Результаты наших расчетов были сопоставлены с данными энциклопедии «Космонавтика»
[2] (см. табл. 1).
Параметр
Результаты расчетов
[2]
Относительная ошибка,
%
3 км/c
2,98 км/c
0.7
Vвыхода _ из _ сф _ д _ З
Tврем я_ полета_ по _ полуэлл_ орб
0,7 года
0,71 года
1.4
Vвыхода _ в _ сф _ д _ М
2,14 км/c
2,65 км/c
19.2
11. При движении по полуэллиптической орбите эклиптическая долгота ( l ) КЛА изменяется
ровно на 180 0 , при этом время полета к Марсу равно 8,3 месяцев.
Реальные запуски возможны двух типов :
1) при l  180 0
2) при l  180 0
К первому типу относится запуск Мars Pathfinder (рис.4), время его полета к Марсу – 7 месяцев.
Ко второму типу принадлежит запуск Polar Lander (рис. 5), его время в пути – около 11 месяцев.
Таким образом, наши результаты расчетов времени перелета Земля – Марс лежат в пределах
аналогичных параметров реальных орбит.
1.
2.
3.
4.
Литература.
Балк М.Б. Элементы динамики космического полета, М., 1965
Энциклопедия «Космонавтика»,М., 1985
«Авиация и космонавтика», журнал, 1995-1998
Internet, сервер NASA.
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
рис.5