Алгебра логики

Алгебра логики
Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими
буквами: высказывание А.
Высказывание может быть истинным, тогда его значение «А=1», иначе
высказывание ложное и будем писать «А=0».
Основные логические операции.
Логическое отрицание (инверсия)
Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления
частицы «не» или использования оборота речи «неверно, что…».
Обозначения: ¬А; Ā.
Пример.
А= {Аристотель основоположник логики.}
Ā= {Неверно, что Аристотель основоположник логики.}
Таблица истинности
Инверсия высказывания истинна, когда высказывание
А
Ā
ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
0
1
1
0
Логическое умножение (конъюнкция)
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний
в одно с помощью союза «и».
Обозначения: А^В; А&В.
Пример.
А= {3+4=8}.
В= {2+2=4}.
А&В={3+4=8 и 2+2=4}
Таблица истинности
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и
А
В
А·В
только тогда, когда оба высказывания истинны, и
0
0
0
ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Обращаем внимание на то, что в таблице истинности значения входящих
высказываний пишутся по возрастанию.
Мнемоническое правило: конъюнкция – это логическое умножение, и мы не
сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0·0=0; 0·1=0; 1·0=0; 1·1=1, верные для
обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.
Логическое сложение (дизъюнкция)
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в
одно с помощью союза «или».
В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.
Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай
союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только
смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть
телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется
нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только
смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать приём пищи с просмотром
телепередач.)
1
В высказывании Данное существительное во множественном или единственном
числе союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией.
Далее будем рассматривать только нестрогую дизъюнкцию.
Обозначение: А  В.
Таблица истинности
А
В
А В
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только
тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда
хотя бы одно высказывание истинно.
Логическое следование (импликация)
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний
в одно с помощью оборота речи «если….., то…..».
Обозначения: А→В, А В.
Пример. А={2·2=4} и В={3·3=10}.
А В={Если 2·2=4, то 3·3=10 }
Таблица истинности
Импликация двух высказываний ложна тогда и только
А
В
А В
тогда, когда из истинного высказывания следует
0
0
1
ложное.
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Логическое равенство (эквивалентность)
Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно при помощи
оборота речи «….тогда и только тогда, когда…».
Обозначение эквивалентности: А=В; А В; А~В.
Пример:
А={Угол прямой}; В={Угол равен 900}
А В={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900}
Таблица истинности
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и
А
В
А В
только тогда, когда оба высказывания истинны или оба
0
0
1
ложны.
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Приоритет операций:
1) инверсия;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликация и эквивалентность.
2