Теорема синусов.9 класс.

Урок геометрии в 9 классе.
Тип урока: ОНЗ.
Тема: «Теорема синусов».
Автор: Метрик Е.В.
Урок составлен в технологии деятельностного метода.
Основные цели:
1.Доказать теорему синусов и показать ее применение при решении задач.
2. Повторить и закрепить: вычисление площади треугольника по двум
сторонам и углу между ними, вычисление площади параллелограмма,
пропорция, основное свойство пропорции, умение составлять новые
пропорции, умение выразить один из членов пропорции через остальные
три.
Оборудование, демонстрационный материал.
1) задания для актуализации знаний:
использование решение домашнего задания
№1020(в),№1021,№1024(а,б)
2) Найти отношения и сравнить
ВС/ Sin α
АВ/ SinС
3)Для произвольного треугольника АВС найти отношения сторон
треугольника к синусам противолежащих углов и сравнить полученные
результаты.
2)Эталоны
S=½ a×b×sin α, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними
S= a×b×sin α, где а,b-стороны параллелограмма, α- угол между ними
Эталон: а = с
в
d
( аd=вс)
а = в =с
sinА sinВ sinС
3) Эталон для самопроверки самостоятельной работы
1
4) Карточка для этапа рефлексии
Ответьте на вопросы:
1)Данная тема мне понятна.
2)Я хорошо понял теорему синусов
3)Я знаю, как пользоваться теоремой синусов
4)В самостоятельной работе у меня все получилось
5)Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил
ошибки при
вычислении___________________________________________________
6)Я доволен своей работой на уроке___________________________________
5) Раздаточный материал
1) Индивидуальные доски для обратной связи
2) Карточка план- реализации проекта для работы на этапе
«Реализация построенного проекта»
1.Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С,
затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2),(3)
2.Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на
(½ВС)
3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство
отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.
4.Аналогично, приравняйте 2 и 3 раенства и проделайте аналогичные
шаги.
5.Сделайте вывод.
3) Таблица Брадиса.
2
Ход урока
1 этап. Мотивация к учебной деятельности.
Цель этапа: 1)включить учащихся в учебную деятельность;
2) определить содержательные рамки урока;
Организация учебного процесса на этапе 1
-Здравствуйте, умницы и умники, я рада вас видеть.
-Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади
треугольника)
-Какие задачи вы учились решать? ( на вычисление площади треугольника по
двум сторонам и углу между ними)
-Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим
свои знания о нем.
-Я уверена, что на этом уроке мы с вами будем так же дружно и успешно
работать, как и на предыдущих уроках.
- Желаю вам новых открытий и успешных ответов.
2 этап. Актуализация знаний и фиксация индивидуальных затруднений
в пробном действии.
Цель этапа:1) актуализировать учебное содержание, необходимое и
достаточное для восприятия нового материала: теоремы синусов;
2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и
достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ,
обобщение;
3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и
символов: в виде правил, теорем.
4) ) зафиксировать индивидуальные затруднения в деятельности,
демонстрирующие на личностно значимом уровне недостаточность
имеющихся знаний: : теоремы синусов
Организация учебного процесса на этапе 2
-Чем мы будем заниматься на этом этапе урока?
-Сформулируйте теорему о площади треугольника. (Площадь треугольника
равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними)
На доске появляется эталон
S=½ a×b×sinα, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними.
Проверим решение домашней задачи № 1020(в) с помощью кодоскопа.
- ученик, подготовивший решение на пленке комментирует решение задачи.
S==½×14×7×sin48=7×7×0,7347=36 ( см2)
- Как вы определили значение синуса угла 48 градусов? (пользуясь таблицей
Брадиса, с помощью калькулятора...)
3
- Что в домашней задаче № 1021 вам нужно было доказать.
(Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух
его смежных сторон на синус угла между ними)
- Кто желает доказать?
На доске появился эталон:
S= a×b×sin α, где а,b-стороны параллелограмма, α- угол между ними.
- Разберем решение задачи №1024(а) и № 1020(б), которые учащиеся
должны были решить по выбору.
№1020(а)
В
Найдите площадь треугольника АВС,
если ‹А= α, а высоты, проведенные из
вершин В и С, соответственно равны h и h
К
С
А
С
Н
Решение:
½АС×h = ½АВ ×h
1) Из треугольника АВН по определению синуса острого угла в
прямоугольном треугольнике имеем
Sin α=h/ АВ→АВ=h/ Sin α
2) Из треугольника АКС по определению синуса острого угла в
прямоугольном треугольнике имеем
Sin α=h/ АС→АС=h/ Sin α
3) По формуле
S=½ a×b×sin α, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними
Найдем площадь треугольника
S=½ АВ× АС×sin α= ½ h/ Sin α× h/ Sin α× Sin α =h ×h/ 2 sinα
4
№1020(б)
В
А
Н
Н
С
С
Найдите площадь треугольника АВС, если ‹А= α, ‹В=β, а высота,
проведенная из вершины В, равна h.
Решение.
-На планшетах, в группах найдите отношение стороны ВС к синусу
противолежащего угла, и отношение стороны АВ к синусу
противолежащего угла и сравните результаты.
ВС/ Sin α=h/Sin( α+β) Sin α
АВ/ Sin( α+β)=h/ Sin( α+β) Sin α
Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы
представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные
результаты - отношения равны.
-Как называется полученное равенство? ( пропорция)
Эталон: а = с
в
d
_Составьте новые пропорции.
На доске эталоны.
Выразите в пропорции а, в, с,d
-Назовите основное свойство пропорции ( аd=вс)
Эталон.
Обобщаем, какие эталоны появились на доске.
Какое последнее равенство мы получили, использовав решение
домашней задачи? (стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов).
5
-Чем мы сейчас займемся? ( мы получим задание, в котором будет
затруднение)
-А для чего мы это сделали? ( мы повторили , чтобы все это использовать для
открытия нового)
- На планшетах, в группах.
В
А
С
Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных
углов и докажите, что они равны.
-Чем отличается это задание от предыдущего? ( нам нужно доказать,
что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)
- Что вам придется доказывать? ( равенство отношений)
-Как называется равенство, которое требуется доказать? ( теорема)
-Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том, что отношения
сторон к синусам противолежащих углов равны)
-В геометрии эта теорема называется теоремой синусов.
Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях
«Теорема синусов».
Попробуйте доказать теорему..
На выполнение задания отводится 2 минуты.
Задания выполняют на индивидуальных досках в группах.
По истечению времени прошу продемонстрировать полученные
результаты.
Некоторые выставляю на доску.
3 этап. Выявление места и причины затруднения.
1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого
выявляется и фиксируется отличительное свойство задания,
вызвавшего затруднение в учебной деятельности: отсутствие
формулы для вычисления площади треугольника по двум сторонам и
углу между ними .
6
Организация учебного процесса на этапе 3
Вариант первый: фиксирую, что нет правильных ответов.
-Что показало выполнение задания?
( Мы не смогли решить эту задачу.)
Вариант второй: фиксирую правильные ответы.
-Вы можете доказать, что вы правильно выполнили задание?
-Нет.
_Что показало выполнение пробного задания? ( Мы не можем доказать
правильность своего решения)
-Какое задание вы должны были выполнить? ( Найти отношения
сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и доказать, что
они равны)
_ В чем у вас было затруднение? (мы не смогли выполнить задание
или не смогли обосновать свое решение)
-Как вы пытались выполнить задание? Какие известные знания
пытались применить?
-Вы выяснили чего вы не знаете? (не знаем, как доказать)
- Что мы теперь будем делать?
( доказывать теорему…)
_ я вам в этом помогу.
4 этап. Построения проекта выхода из затруднения.
Цель этапа:1) организовать коммуникативное взаимодействие для
построения нового способа действия, устанавливающего причину
выявленного затруднения;
Организация учебного процесса на этапе 4
Чем мы сейчас будем заниматься? (построим план выхода из
затруднения)
-Сформулируйте цель нашей деятельности? ( Найти отношения
сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и доказать, что
они равны)
-Как вы думаете какие знания нам помогут из тех, что мы повторили в
процессе актуализации?
-Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и
синусами его углов?
S=½ a×b×sinα, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними.
-Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С,
затем угла А.
S=½ АВ×ВС×sinВ, (1)
7
S=½ АС×ВС×sinС, (2)
S=½ АВ×АС×sinА, (3)
- Можно ли приравнять 1и2, 2и3, 1и3 равенства?
-Почему? ( площадь одного и того же треугольника выражена по разному)
-Какое равенство у вас получится, если приравнять (1) и (2) равенства?
( ½ АВ×ВС×sinВ= ½ АС×ВС×sinС )
На что можно разделить полученное равенство? (½ВС)
-Какое равенство получится? ( АВ×sinВ= АС×sinС )
-Чему равно отношение АВ к sinС ? ( АС к sinВ)
-Аналогично можно провести работу со (2) и (3) равенствами?
Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства.
1.Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С,
затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2),(3)
2.Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на
(½ВС)
3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство
отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.
4.Аналогично, приравняйте 2 и 3 раенства и проделайте аналогичные
шаги.
5.Сделайте вывод.
5 этап. Реализация построенного проекта.
Цель этапа: Организовать построение выхода из затруднения в
групповой форме
Организация учебного процесса на этапе 5
Чем вы сейчас будете заниматься? (С помощью построенного плана
реализовывать проект)
Далее работают учащиеся в группах.
На экране и у каждой группы план реализации проекта.
1.Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С,
затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2),(3)
2.Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на
(½ВС)
3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство
отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.
4.Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные
шаги.
5.Сделайте вывод.
На планшетах четко нумеруют этапы решения.
8
К доске приглашаются учащиеся для оглашения результата
деятельности.
Подведение итогов.
А где мы можем проверить правильность нашего решения?
Откроем учебники на стр.242
Итак, мы доказали теорему синусов.
Эталон на доске:
а = в =с
sinА sinВ sinС
6 этап Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.
Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней
речи.
Организация учебного процесса на этапе 6
-Какую учебную цель вы перед собой ставили? ( доказать, что стороны
треугольника пропорциональны синусам противоположных углов)
-Вы справились с поставленной задачей?9да)
-Что сейчас вы будете делать?( попробуем эту теорему применить при
решении задач)
-Откройте рабочую тетрадь по геометрии на стр 23, прочитайте задачу № 41.
Кто желает решить эту задачу?
7 этап. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель этапа: проверить свое умение применять теорему о площади
треугольника в типовых условиях на основе сопоставления своего
решения с эталоном для самопроверки.
Организация учебного процесса на этапе 7
Что вы сейчас будете делать?(потренируемся)
Самостоятельно в тетрадях решите № 1025
На экране эталон решения
Выяснить у кого какие результаты.
Кто и где допустил ошибку.
8 этап. Включение в систему знаний и повторение.
Цель этапа:1) тренировать навыки использования нового содержания с ранее
изученным.
Организация учебного процесса на этапе 8
Чем вы сейчас будете зниматься? (будем выполнять задание,где используется
теорема синусов)
9
№ 1026
Приглашаю к доске ученика.
9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке.
Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную
деятельность.
Организация учебного процесса на этапе 9
-Какую цель вы ставили перед собой на уроке?
-Вы достигли поставленной цели?
Что помогало выполнять задание?
-Проанализируйте свою работу на уроке, заполнив карточку.
Карточка для этапа рефлексии
Ответьте на вопросы:
1)Данная тема мне понятна.
2)Я хорошо понял теорему синусов
3)Я знаю, как пользоваться теоремой синусов
4)В самостоятельной работе у меня все получилось
5)Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил
ошибки при
вычислении___________________________________________________
6)Я доволен своей работой на
уроке_______________________________________
По желанию 2-3 человека озвучивают свой анализ деятельности на уроке
Домашнее задание.
П.97, № 42 из рабочей тетради, № 1025( б, д, ж, и- две задачи по выбору
учащегося)
10