2. Найдите значение выражения

Арксинус и арккосинус
Пусть b[ - 1; 1]. Арксинусом числа b называется угол α, такой, что
𝜋
𝜋
sinα=b и − ≤ 𝛼 ≤ .
2
2
Арксинус числа b обозначается arcsin b. Таким образом, arcsin b – это
𝜋
𝜋
угол, удовлетворяющий двум условиям: sin(arcsin b)=b и − ≤ arcsin 𝑏 ≤ .
2
2
Арк – это часть латинского слова «arcus», которое в переводе означает
«дуга». arcsin0,8 – сокращенная запись фразы «дуга, синус которой равен 0,8».
Обозначение арксинуса ввел в 1772 году французский астроном, математик и
механик Жозеф Луи Лагранж.
Естественной областью определения выражения arcsin b является
промежуток [ - 1; 1]. Пусть b[ - 1; 1]. Арккосинусом числа b называется угол
α, такой, что cosα=b и 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋.
Арккосинус числа b обозначается arccos b. Таким образом, arccos b – это
угол, удовлетворяющий двум условиям: cos(arccos b)=b и 0 ≤ arccos 𝑏 ≤ 𝜋.
Естественной областью определения выражения arccos b является
промежуток [ - 1; 1].
𝜋
𝜋
2
2
sin(arcsin 𝑥) = 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; arcsin(sin 𝑥) = 𝑥, − ≤ 𝑥 ≤
cos(arccos 𝑥) = 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; arccos(cos 𝑥) = 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
Примеры решения задач
1
𝜋
2
4
Пример 1. Верно ли что arcsin = ?
Решение. Согласно определению арксинус числа b – это угол
𝜋
𝜋
удовлетворяющий условиям sin(arcsin b)=b и − ≤ arcsin 𝑏 ≤ .
2
2
1
𝜋
2
6
Этим условиям удовлетворяет arcsin = . Следовательно, выражение
1
𝜋
2
4
arcsin =
неверное.
Ответ: нет
Пример 2. Найти значение выражения arcsin (−
Решение. arcsin (−
√3
)
2
+ arccos(−
𝜋
√3
)=−
2
3
+
5𝜋
6
√3
)
2
+ arccos(−
√3
).
2
𝜋
= .
2
Ответ:
1
Пример 3. Найти значение выражения sin(arccos(− )).
3
𝜋
2
1
1
𝜋
Решение. Пусть arccos (− ) = 𝛼, тогда cos 𝛼 = − и ≤ 𝛼 ≤ 𝜋. Из
3
3
2
основного
тригонометрического
тождества
имеем
| sin 𝛼| =
1 2 √2
√1 − cos 2 𝛼=√1 − =
9
Поскольку
𝜋
2
3
.
≤ 𝛼 ≤ 𝜋, то sin 𝛼 > 0 и, значит, | sin 𝛼| = sin 𝛼=
2√2
.
3
Ответ:
2√2
3
Упражнения
1. Вычислите:
1) arcsin
√2
2
2) arcsin(−
6) arcsin(−1)
√3
)
2
7) arcsin 1
3) arcsin 2
8) arcsin
4) arcsin
1
𝜋
9) arcsin( −
2
5) arccos(−
2
√2
)
2
√2
2
10) arccos
2. Найдите значение выражения:
1
1) sin (arcsin )
2) arcsin (sin
4
4) sin(arccos
√3
(− 2 ))
1
7) cos (arccos )
5𝜋
5
5
6) arcsin (sin )
7
2
6𝜋
𝜋
3) arccos (cos(− ))
𝜋
1
5) sin (arcсos )
8) arccos (cos
5
4
)
)
9) cos(arcsin
√3
)
2
1
10) cos(arcsin(− ))
2
3. Докажите тождество:
1) arcsin 𝑥 + arccos 𝑥 =
𝜋
2
3) sin(arccos 𝑥) = √1 − 𝑥 2
𝜋
2) 2 arccos 𝑥 = arccos(2𝑥 2 − 1), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
4) arcsin 𝑥 = −arccos √1 − 𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 0
5) arccos 𝑥 = − arcsin 𝑥
6) 2 arcsin 𝑥 = arcsin(2𝑥√1 − 𝑥 2 ), 0 ≤ 𝑥 ≤
7) cos(arcsin 𝑥) = √1 − 𝑥 2
8) arcsin 𝑥 = arccos √1 − 𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
9)
10)
2
4. При каких значениях t имеет смысл выражение:
1) arcsin(t+1)
2) arccost2
3) arcsin√𝑡 + 1
4)
5)
6) arcos(t+3)
7) arcsint4
8) arccos√𝑡 − 3
9)
10)
5. Найдите значение выражения:
√3
)
2
√2
2
1) arccos 0 +
3) arcsin 1 +
𝜋
2) arccos(−1) + arccos
4
7𝜋
√3
2
1
5𝜋
6) arcsin (−
2
7) arcsin(−1) − 2 arccos(−1)
9) arccos(−1) +
+ arccos
4) 3 arcsin (− ) + arccos 1
2
2
5) arcsin(−1) +
√2
2
3𝜋
√2
)
2
2
8) arccos 0 − arccos (−
10) 4 arcsin (−
4
1
− arcsin − arcsin(−1)
√3
)
2
√2
)
2
1
− arccos(− )
+ arccos(−
2
√3
)
2
6. Найдите значение выражения:
2
1
3
2) cos(2 arcsin )
3) sin(2 arccos )
4) cos( arccos )
5)
6)
7) sin(3 arcsin 1 + arcsin 0,8)
8)
9)
1) sin(125 arccos (− ))
2
1
1
2
9
3
5
10) cos(arccos 0,6 − arcsin 0,6)
7. Найдите значение выражения:
1) sin(arccos
5
√26
12
− arcsin )
3
5
5
13
2) cos(arcsin − arccos )
13
3)
4)
3
1
4
3
5) cos(arcsin + arccos(− ))
7) cos(3 arcsin
√3
2
1
+ arccos(− )
6)
8)
2
4
9) sin(arcsin + arccos
5
√5
)
5
10)
8. Найдите значение выражения:
1) cos(300arccos(-
√2
)
2
4)
2) arсcos(cos580O)
2
3
5) arcsin(cos )
6) arccos(sin )
8) arcsin(sin490O)
9) arcsin(sin12)
17
7) sin(200arcsin( - 0,5))
3)
10) arcos(cos5)
9. Найдите значение выражения:
14
1)
2)
3)
4)
5) cos (2 arccos
7) cos (arcsin
√3
)
2
√3
)
2
1
+ cos (arccos (− ))
2
+ sin (3 arcsin (−
9)
√3
))
2
6)
8)
10)
10. Решите уравнение:
1+2𝑥
1) arccos
3
=
2) 2 arcsin2 𝑥 − 7 arcsin 𝑥 + 3 = 0
2𝜋
3
3) arcsin(𝑥 2 − 4𝑥 + 2) = −
𝜋
𝜋
𝜋2
2
18
5) arcsin2 𝑥 − arcsin 𝑥 +
7) arcsin √𝑥 + arccos √𝑥 =
𝑥+2
4) arcsin
2
4
=−
𝜋
8) arccos 2 𝑥 −
2
9) arcsin(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) = 0
3𝜋
4
1
𝜋
𝑥
3
7) arccos ≥
10)
𝜋
6
𝜋
6
arccos 𝑥 +
𝜋2
8
=0
10) arcsin(3𝑥 − 2) = arcsin(−𝑥 + 2)
11. Решите неравенство:
4) arcsin(𝑥 − 1) < −
3
6) arcsin(𝑥 2 − 3𝑥 + 0,5) =
=0
1) arcsin(3x – 2)>arcsin(5x – 3)
𝜋
2)
3)
5)
6)
8)
9)
Арксинус и арккосинус
Вариант 1
1. Найдите значение
выражения
arccos
2. Найдите значение
выражения
arcsin(−
3. Найдите значение
выражения
cos(arccos(−
4. Найдите значение
выражения
arcsin (−
Вариант 2
1
2
arcsin
√2
)
2
√2
))
2
√3
2
−arccos
√3
2
1
sin(arcsin )
2
√2
) − arcsin 1
2
arccos(−1) + arccos
5. Найдите значение
выражения
arcsin 1 +
7𝜋
2
arccos(−1) +
6. Найдите значение
выражения
sin (arccos
√2
)
2
arccos(sin
7. Найдите значение
выражения
8. Решите
уравнение
sin(3 arcsin 1 + arcsin 0,8)
1+2𝑥
arccos
3
=
2𝜋
3
9. Решите
уравнение
arcsin(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) = 0
10. Докажите
тождество
sin(arccos 𝑥) = √1 − 𝑥 2
√3
2
5𝜋
2
√3
)
2
cos(arccos 0,6 − arcsin 0,6)
𝑥+2
arcsin
4
=−
𝜋
3
arccos(𝑥 2 − 3𝑥 + 0,5) =
𝜋
3
cos(arcsin 𝑥) = √1 − 𝑥 2