Преобразование тригонометрических выражений

Преобразование тригонометрических выражений
Тригонометрия по результатам, которые демонстрируют выпускники, еще не нашла своего
прочного места в курсе алгебры и геометрии ни в основной, ни в старшей школе. В 8 классе в
курсе геометрии учащиеся знакомятся с тригонометрическими функциями острых углов. В 9
классе в курсе геометрии продолжается использование тригонометрических функций при
решении задач, в курсе алгебры изучается раздел «Тригонометрия». В 10 классе изучаются
тригонометрические функции, строятся графики, решаются уравнения. В 11 классе также
присутствует тригонометрический материал. На выходе – применение основного
тригонометрического тождества вызывает затруднение, формулу косинуса удвоенного
аргумента воспроизводят менее половины выпускников, формулу корней простейшего
тригонометрического уравнения правильно записывают чуть более половины
одиннадцатиклассников.
В 8 классе, учащиеся хорошо формулируют:
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему.
В восьмом классе ученики осознанно решают, например, такую задачу.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, один из катетов равен 4. Найти косинус
угла, образованный другим катетом и гипотенузой.
Решение. По теореме Пифагора найдем другой катет – он равен 3, тогда косинус угла
равен отношению 3 к 5, т.е. 0,6.
Большое количество формул, непривычное (искусственное) для восприятия обозначения
функций sinα, cosα, tgα, сtgα часто вызывают растерянность и страх.
4
В задаче «Найти cosα, если sinα =
и 0    90 » ни девятиклассники, изучившие
5
основные формулы, ни одиннадцатиклассники не узнают (предыдущую) задачу 8 класса. В
лучшем случае, находят значение косинуса угла, используя основное тригонометрическое
тождество и расположение угла в тригонометрическом круге.
4
Если рассмотренную задачу сформулировать так: «Найти cosα, если tgα =
и
3
0    90 », решаемость упадет раза в три-четыре.
Ученики меньше теряются, если наряду со списком тригонометрических формул
сформулировать такое правило:
Шаг 1. Абсолютную величину (модуль) можно найти из прямоугольного треугольника.
Шаг 2. Знак находим из расположения угла в тригонометрическом круге.
4
Задача. Найти cosα, если tgα =
и 180    360 .
3
4
Так как tgα = , то рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 (прилежит к углу
3
3
α) и 4 (противолежит углу α), тогда гипотенуза равна 5. |cosα| = . Учитывая, что значение
5
3
тангенса положительно, то α – угол III четверти, следовательно, .cosα = – .
5
Есть еще одна проблема, связанная с тригонометрией, которую нужно учитывать:
систематический курс тригонометрии в 9 классе не изучается в полном объеме, так как
тригонометрических заданий нет в экзаменационном материале, а в 10 классе, когда должно
идти повторение, на полное изучение уже нет времени.
Умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений
обязательно проверяет одно задание из ЕГЭ с кратким ответом. В 2008 году это было задание
В3.
2 
Найдите значение выражение 11 cos  , если sin  
,     . Процент решаемости
11 2
такого задания от 29,9% до 35,3%.
При организации повторения (изучения) тригонометрии очень важно не испугаться обилия
формул. Формулы ни в коем случае нельзя «запоминать» большим списком, нужно формулы
повторять буквально по одной. Иногда следует обращаться к списку формул, данному в
учебнике или в любом справочнике. А еще лучше свой список формул постепенно
формировать самому. Начало списков формул.
Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
sin 
cos 
sin 2   cos 2   1 ; tg 
; ctg 
.
cos 
sin 
sin2  = 2sin  cos ;
Формулы кратных аргументов.
cos2 = cos 2  sin 2  ; cos2 = 2cos 2  1 ; cos2 = 1  2 sin 2  ;
tg 2 
2tg
.
1  tg 2
Примеры с решениями.
1. Упростите выражение 7 sin 2   5  7 cos 2   2 .
Решение: 7 sin 2   5  7 cos 2   2  7 sin 2   7 cos 2   3  7(sin 2   cos 2  )  3  7  3  4 ,
так как sin 2   cos 2   1 .
Ответ: 4.
2. Дано cos =
2 3
   2 . Найдите sin  .
и
3
2
Решение: Поскольку  IV четверти, то sin  <0.
Из основного тригонометрического тождества имеем sin 2   1  cos 2  , то есть
2
4 5
5
5
2
sin   1     1   , тогда sin   

.
9 9
9
3
3
2
Ответ: 
5
.
3
3. Вычислите: sin

8
cos

8
.
Решение: Воспользуемся формулой sin2  = 2sin  cos .
Имеем: sin

8
cos

8

1

 1
 1  1 2
2
 2sin cos  sin 2   sin  

.
2
8
8 2
8 2
4 2 2
4
2
.
4
Ответ:
4. Вычислите: sin 37 0 cos7 0  cos37 0 sin 7 0 .
Решение: Воспользуемся формулой sin  cos  cos sin   sin(    ) (нужно внести в
список).
Имеем: sin 37 0 cos7 0  cos37 0 sin 7 0  sin( 37 0  7 0 )  sin 30 0 
Ответ:
1
.
2
1
.
2
5. Упростите выражение:
1  sin 2
.
(sin   cos  ) 2
Решение. В числителе дроби заменяем: 1  sin 2   cos 2  , а также sin 2  2 sin  cos  .
Имеем:
1  sin 2
sin 2   cos 2   2 sin  cos  (sin   cos  ) 2


 1 (в числителе
(sin   cos  ) 2
(sin   cos  ) 2
(sin   cos  ) 2
оказался полный квадрат разности sin  и cos  ).
Ответ: 1.
6. Укажите наибольшее целое значение, которое может принимать выражение 3,7  0,4 sin  .
Решение. Так как sin  может принимать любое значение, принадлежащее отрезку [–1; 1], то
0,4 sin  принимает любое значение отрезка [–0,4; 0,4], поэтому
3,7  0,4  3,7  0,4 sin   3,7  0,4 . Целое значение выражения одно –число 4.
Ответ: 4
7. Найдите наибольшее целое значение выражения p  3,8  sin   cos 
Решение: Так как sin   cos  
 1  sin 2  1, то 
1
1
1
 2 sin   cos   sin 2 , то p  3,8  sin 2 , так как
2
2
2
1 1
1
1
 sin 2  , а выражение p: 3,8  0,5  3,8  sin 2  3,8  0,5 .
2 2
2
2
Целое число на этом отрезке одно – число 4.
Ответ: 4.
8. Укажите наибольшее значение выражения p 
6
.
5  3 sin 
Решение: дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель – наименьшее. Так как
 3  3sin   3 , то 2  5  3sin   8 ; то есть наименьшее значение знаменателя – число 2
(достигается при sin   1). Наибольшее значение p 
6
 3.
2
Ответ: 3.
9. Упростите выражение p 
sin 6   cos 6 
.
sin 4   cos 2  sin 2   cos 4 
Решение: Воспользуемся формулой разложения на множители суммы кубов:


a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2 . Имеем
sin 6   cos 6   (sin 2  ) 3  (cos 2  ) 3  (sin 2   cos 2  )((sin 2  ) 2  sin 2  cos 2   (cos 2  ) 2 ) 
 sin 4   cos 2  sin 2   cos 4  .
Имеем: p 
sin 4   cos 2  sin 2   cos 4 
 1.
sin 4   cos 2  sin 2   cos 4 
Ответ: 1.
10. Упростите:
1  cos 2 2
2 sin 
2
 2 cos 2  .
Решение. Воспользуемся формулой cos 2  1  2 sin 2  , тогда 1  cos 2  2 sin 2  .
2 sin  
Исходное выражение равно
2
2 sin 
2
2


 2 cos 2   2 sin 2   2 cos 2   2 sin 2   cos 2   2 .
Ответ: 2.
11. Дано: sin 2  cos 2  0,3 . Найти: sin 4 .
Решение. Возьмем в квадрат обе части данного равенства. Имеем: sin 2  cos 2   0,3 2 .
2
sin 2 2  2 sin 2 cos 2  cos 2 2  0,09 или 1  sin 4  0,09 , откуда sin 4  0,91 (так как
sin 2 2  cos 2 2  1 и 2 sin 2 cos 2  sin 4 .
Ответ: 0,91.
2
12. Дано: ctg   . Найти cos 2 .
3
Решение: Воспользуемся формулой cos 2 
1  tg 2
. Полезно эту формулу вывести, а
1  tg 2
потом внести в список формул.
tg 
1
3
 .
ctg
2
2
 3
9
5
1  
1

 2 
4  4 5 .
Тогда cos 2 
2
9
13 13
 3
1
1  
4
4
 2
Ответ: 
5
.
13
13. Найдите множество значений выражения p  5 sin   6 cos  .
Решение: Воспользуемся формулой дополнительного угла:
5 sin   6 cos   5 2  6 2 sin     :, где tg 
6
.
5
 может принимать любые значения, поэтому  1  sin      1 и  61  p  61 .


Ответ:  61; 61 .
14. Сколько целых значений может принимать выражение p  7 sin   8 cos  ?
Решение: Найдем множество значений выражения р (см. пример 13). Имеем
p  7 sin   8 cos   7 2  8 2 sin  cos   cos  sin    113 sin     .
 113  p  113 , так как 113  10,7 ( 10  113  11 ), то целых значений р будет 21 (не
забываем число 0).
Ответ: 21.


3  
 .
15. Вычислите ctg  2 arcsin  


 2 


3

   ; 2 arcsin
Решение. arcsin  

3
 2 
Ответ:

3
2
2 

3
 2 



 2    3 ; ctg   3   ctg    3   ctg 3  3 .


3
.
3
Тренировочный тест № 4.1
Базовый уровень
1. Сравните с нулем выражение: sin 187 0 .
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
3. Равно нулю.
12
.
13
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
35
3. Сравните с нулем выражение: cos
.
22
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
4. Сравните с нулем выражение: sin 275 0 .
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
5. Сравните с нулем выражение: cos 270 0 .
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
11
cos 300 0 .
6. Сравните с нулем выражение: sin
17
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
16
sin 1780 .
7. Сравните с нулем выражение: cos
10
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
17
23
cos
8. Сравните с нулем выражение: sin
.
16
14
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
15
19
cos
9. Сравните с нулем выражение: sin
.
17
14
1. Больше нуля.
2. Меньше нуля.
1
10. Дано: sin   ;   II четверти. Найдите 3 2 cos  .
3
2
11. Дано: cos    ;   III четверти. Найдите 21 sin  .
5
4
12. Дано: sin   ;   II четверти. Найдите ctg .
5
2 3
   2 . Найдите 21ctg .
13. Дано: cos   ;
5 2
14. Найдите значение выражения: sin 15 0 cos15 0 .
2. Сравните с нулем выражение: cos
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
3. Равно нулю.
15. Найдите значение выражения: sin 130 cos17 0  cos130 sin 17 0 .
16. Найдите значение выражения:
2 sin

cos

.
8
8
17. Найдите значение выражения: cos 37 0 cos 230  sin 37 0 sin 230 .
cos 2   sin 2 
18. Упростите выражение
.
2 cos 2   1
1  sin 2 
19. Упростите выражение
;
(sin   cos  ) 2
cos119  sin 31  cos 29  cos 31
20. Найдите значение выражения
sin 17  sin 103  cos17  sin 13
Ответы: 1. 2. 2. 2. 3. 1. 4. 2. 5. 3. 6. 1. 7. 1. 8. 2. 9. 1. 10. – 4. 11. – 4,2. 12. – 0,75. 13. – 2. 14.
0,25. 15. 0,5. 16. 0,5. 17. 0,5. 18. 1. 19. 1. 20. 1.
Тренировочный тест 4.2
Повышенный уровень
1  sin 2
cos 2

1. Упростите выражение:
.
sin   cos  cos   sin 
2. Упростите выражение: sin 6   cos 6   sin 2 2  sin 2  cos 2  .
(1  cos 2 ) 2
3. Упростите выражение:
 cos 2  (1  tg 2 ) .
4
2 cos 
1
4. Дано: sin   cos   . Найдите sin 2 .
2
tg


5
5. Дано:
. Найдите 26 sin 2 .
1
6. Дано: ctg  . Найдите cos 2 .
3
7. Дано: cos   sin   0,5 . Найдите sin 2 .
7
4 cos 2   4 cos   8 .
8. Найдите наибольшее целое значение выражения:
3
9. Найдите наибольшее целое значение выражения: 3 (sin   cos  ) 2  0,25 .
10. Найдите наибольшее целое значение выражения: 4 sin   5 cos .
Ответы: 1. 0. 2. 1. 3. 1. 4. –0,75. 5. 10. 6. –0,8. 7. 0,75. 8. 9. 9. 4,5. 10. 6.
Тренировочный тест 4.3
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А10.
А1. Упростите выражение 5 sin 2   3  5 cos 2  .
1. 5.
2. 2 sin 2  .
А2. Найдите sin  , если cos   
1.
1
.
5
2.
3
5
3. 2.
4. 5 cos 2  .
4 
и   .
5
2
.
3
3.  .
5
4.
3
.
2
4.
3
.
5
А3. Вычислите sin 22,5 0  cos 22,5 0 .
1.
2
.
4
А4. Упростите
1. 1.
2.
1
.
2
3.
3
.
4
cos 2
 cos  .
cos   sin 
2. sin  .
3.
А5. Вычислите cos 310  cos 29 0  sin 310 sin 29 0 .
cos  .
4.
3
.
5
1. 1.
2.
2
.
2
3.
3
.
2
4.
1
.
2
А6. Укажите наибольшее целое значение выражения p  5  3 sin  .
1. –5.
2. – 8.
А7. Укажите наименьшее целое значение выражения p 
1. 12.
2. 6.
4. –2.
3. 8.
3. 2.
12
.
4  2 cos 
4. 1.
А8. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений выражения p  5  7 cos  .
1. 10.
2. 15.
3. 17.
А9. Найдите наибольшее целое значение выражения p 
1. 17.
2. 5.
3. 15.
4. 24.
5
40  9 cos 2   9 cos 2 .
2
4. 12.
А10. Найдите наименьшее целое значение выражения p  3 sin   4 cos  .
1. – 7.
2. – 1.
3. – 5.
4. 1.
Ответы: А1. 3. А2. 4. А3. 1. А4. 2. А5. 4. А6. 4. А7. 3. А8. 2. А9. 1. А10. 3.
Повторение будет неполным, если не рассмотреть обратные тригонометрические функции. В
КИМах прошлых лет встречались задания темы «Обратные тригонометрические функции».
Последние несколько лет таких заданий в вариантах ЕГЭ не встречалось. Эта тема важна и
для решения тригонометрических выражений и для решения заданий повышенной
сложности, встречающихся в КИМах.
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУКЦИИ
Краткие теоретические сведения
  
Определение. Арксинусом числа т называется такое число из отрезка   ;  ,
 2 2
синус которого равен т.

3    
3 
 , т.к. sin 
Пример 1. arcsin
и   ;  .
2
3
3
2
3  2 2
   

1
 1
 
Пример 2. arcsin      , т.к. sin      и     ;  .
6  2 2
6
2
 2
 6
  
Функции y  sin x, D( y )   ;  и y  arcsin x, D( y )  [1;1] являются взаимно
 2 2
обратными.
Определение. Арккосинусом числа т называется такое число из отрезка [0;  ] ,
косинус которого равен т.

3 
3 
 , т.к. cos 
и  [0;  ] .
6
2
6
6
2
2
1
2
 1  2
 и
 [0;  ] .
Пример 2. arccos    
, т.к. cos
3
2
3
 2 3
Определение. Арктангенсом числа т называется такое число из промежутка
  
  ;  , тангенс которого равен т.
 2 2


   
Пример 1. arctg 3  , т.к. tg  3 и    ;  .
3
3
3  2 2

   
 
Пример 2. arctg ( 1)   , т.к. tg    1 и     ;  .
4
4  2 2
 4
Определение. Арккотангенсом числа т называется такое число из промежутка (0;  ) ,
котангенс которого равен т.
Пример 1. arccos



 (0;  ) .
6
6
6
3
3
3
 1 и
 (0;  ) .
Пример 2. arcctg ( 1) 
, т.к. ctg
4
4
4
Примеры решений
Пример 1. При каких значениях р имеет смысл выражение arccos( 5  8 p ) ?
Решение. Так как функция y  arccos x имеет область определения D( y )  [1;1] ,
то данное выражение имеет смысл, если:  1  5  8 p  1;  6  8 p  4; 0,5  p  0,75 .
3
 arcsin 2 x .
Пример 2. Найдите область значений функции y 
4
Решение. По определению арксинуса имеем:

 3  3
3   3
5
  arcsin 2 x  ;
 
 arcsin 2 x 
 ; 
 arcsin x 
.
2
2 4
2
4
4
2 4
4
4
1
1
Пример 3. Решите уравнение arccos x  .

3
1
1

arccos x  , отсюда, arccos x  . Полученное уравнение имеет единственное
Решение.

3
3
1
 1
решение x  , т.к. cos  и функция y  arccos x убывает на отрезке [1;1] .
2
3 2


3  
 .
Пример 4. Вычислите ctg  2 arcsin  


2



Решение.


3

3
2
2 

3
 2 

   ; 2 arcsin  

arcsin  
; ctg  
.
  ctg   
  ctg 



3
3
3 
3
3
 3 

 2 
 2 
Тренировочный тест 4.3
Отметьте номер правильного ответа.

 1 
1. Вычислите sin  arccos     .
 2 

Пример 1. arcctg 3 
, т.к. ctg
 3 и
1. 
1
.
2
2.
1
.
2
3.
3
.
2
4. 
2. Найдите наибольшее значение выражения

2
3
.
2
 arccos( 2 x  3) .
3

.
3.
.
4. 0.
2
2
3. Найдите наименьшее значение а, при котором существует выражение arcsin( 1  8a ) .
1. 0,25.
2. 0.
3.  0,25 .
4. 0,125.

 1 
4. Вычислите cos 3arctg  
 .
3  


1.  .
1. 
1
.
2
2.
2.
3
.
2
3.
1
.
2
5. Решите неравенство arcsin x  
4. 0.

.
3

3
2.   ; 
.
2 



3
3
1

1.   1; 
3.   1;  .
4.   ;   .
.
2
2 
2 



6. Найдите произведение корней уравнения 3arctg 3x 2  x  3   .


3
.
3
9  1
9
1
7. Найдите значение выражения sin  arcsin  cos arcsin  .
13   2
13 
2
1
18
9
9
1. .
2.
.
3.
.
4.
.
2
13
13
26
Ответы: 1. 3. 2. 2. 3. 2. 4. 4. 5. 1. 6. 2. 7. 4.
1.
1
.
3
2. 0.
3. 1.
4.
Тренировочный тест 4.4
1. Вычислите cos( 2 arcsin 0,1) .
12
3

 arccos  .
2. Вычислите 65 cos arcsin
13
5

3. Найдите сумму целых решений неравенства cos(arcsin x )  0 .
1
4. Вычислите arcsin(sin 1,2 ) .

Ответы: 1. 0,98. 2.  33 . 3. 0. 4.  0,2 .
В качестве итогового теста приводим часть теста 7 из книги П.В.Семёнова «Математика
2008. Выпуск 1. Выражения и преобразования» (М.: МЦНМО, 2008).
Итоговый тест
Задание №1, базовый уровень. Время выполнения – 15 минут.
1. Вычислите cos( - 210º).
2
3
1
.
2.
.
3.  .
2
2
2
2
2
2. Упростите выражение 9 cos   3 5  3 sin  .
4. 
1.

1. – 6.

3. 9 cos 2  15 .
2. – 15.
3
.
2
4. 9 cos 2   5 .
2



3. Найдите значение выражения 3   cos   sin      , если sin   0,1 .
2


2
4. Найдите значение выражения  6sin 61 cos1  cos 61 sin 1 .
Задание №2, повышенный уровень. Время выполнения – 45 минут.


5. Найдите значение выражения 1  cos 44 cos1  sin 44 sin 1  1,5 .
6. Найдите значение выражения tg45    , если tg  6 .
2
2
 cos11 cos19  sin 11 sin 19 
7. Вычислите 
 .
 cos11 sin 34  sin 11 cos 34 
8. Найдите значение выражения 21ctg 2 x  4tg 2 x , если cos x  0,4 .
4
9. Во сколько раз число sin 70  sin 50 больше числа sin 2 80 ?
2
7 

10. На сколько процентов число arccossin 45  cos135 больше числа arcsin  cos
?
3 

Ответы: 1. 4. 2. 1. 3. 6,96. 4. – 4,5. 5. 2. 6. – 1,4. 7. 2,25. 8. – 17. 9. 3. 10. 200.