Преобразование тригонометрических выражений Тригонометрия по результатам, которые демонстрируют выпускники, еще не нашла своего прочного места в курсе алгебры и геометрии ни в основной, ни в старшей школе. В 8 классе в курсе геометрии учащиеся знакомятся с тригонометрическими функциями острых углов. В 9 классе в курсе геометрии продолжается использование тригонометрических функций при решении задач, в курсе алгебры изучается раздел «Тригонометрия». В 10 классе изучаются тригонометрические функции, строятся графики, решаются уравнения. В 11 классе также присутствует тригонометрический материал. На выходе – применение основного тригонометрического тождества вызывает затруднение, формулу косинуса удвоенного аргумента воспроизводят менее половины выпускников, формулу корней простейшего тригонометрического уравнения правильно записывают чуть более половины одиннадцатиклассников. В 8 классе, учащиеся хорошо формулируют: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. В восьмом классе ученики осознанно решают, например, такую задачу. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, один из катетов равен 4. Найти косинус угла, образованный другим катетом и гипотенузой. Решение. По теореме Пифагора найдем другой катет – он равен 3, тогда косинус угла равен отношению 3 к 5, т.е. 0,6. Большое количество формул, непривычное (искусственное) для восприятия обозначения функций sinα, cosα, tgα, сtgα часто вызывают растерянность и страх. 4 В задаче «Найти cosα, если sinα = и 0 90 » ни девятиклассники, изучившие 5 основные формулы, ни одиннадцатиклассники не узнают (предыдущую) задачу 8 класса. В лучшем случае, находят значение косинуса угла, используя основное тригонометрическое тождество и расположение угла в тригонометрическом круге. 4 Если рассмотренную задачу сформулировать так: «Найти cosα, если tgα = и 3 0 90 », решаемость упадет раза в три-четыре. Ученики меньше теряются, если наряду со списком тригонометрических формул сформулировать такое правило: Шаг 1. Абсолютную величину (модуль) можно найти из прямоугольного треугольника. Шаг 2. Знак находим из расположения угла в тригонометрическом круге. 4 Задача. Найти cosα, если tgα = и 180 360 . 3 4 Так как tgα = , то рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 (прилежит к углу 3 3 α) и 4 (противолежит углу α), тогда гипотенуза равна 5. |cosα| = . Учитывая, что значение 5 3 тангенса положительно, то α – угол III четверти, следовательно, .cosα = – . 5 Есть еще одна проблема, связанная с тригонометрией, которую нужно учитывать: систематический курс тригонометрии в 9 классе не изучается в полном объеме, так как тригонометрических заданий нет в экзаменационном материале, а в 10 классе, когда должно идти повторение, на полное изучение уже нет времени. Умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений обязательно проверяет одно задание из ЕГЭ с кратким ответом. В 2008 году это было задание В3. 2 Найдите значение выражение 11 cos , если sin , . Процент решаемости 11 2 такого задания от 29,9% до 35,3%. При организации повторения (изучения) тригонометрии очень важно не испугаться обилия формул. Формулы ни в коем случае нельзя «запоминать» большим списком, нужно формулы повторять буквально по одной. Иногда следует обращаться к списку формул, данному в учебнике или в любом справочнике. А еще лучше свой список формул постепенно формировать самому. Начало списков формул. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента: sin cos sin 2 cos 2 1 ; tg ; ctg . cos sin sin2 = 2sin cos ; Формулы кратных аргументов. cos2 = cos 2 sin 2 ; cos2 = 2cos 2 1 ; cos2 = 1 2 sin 2 ; tg 2 2tg . 1 tg 2 Примеры с решениями. 1. Упростите выражение 7 sin 2 5 7 cos 2 2 . Решение: 7 sin 2 5 7 cos 2 2 7 sin 2 7 cos 2 3 7(sin 2 cos 2 ) 3 7 3 4 , так как sin 2 cos 2 1 . Ответ: 4. 2. Дано cos = 2 3 2 . Найдите sin . и 3 2 Решение: Поскольку IV четверти, то sin <0. Из основного тригонометрического тождества имеем sin 2 1 cos 2 , то есть 2 4 5 5 5 2 sin 1 1 , тогда sin . 9 9 9 3 3 2 Ответ: 5 . 3 3. Вычислите: sin 8 cos 8 . Решение: Воспользуемся формулой sin2 = 2sin cos . Имеем: sin 8 cos 8 1 1 1 1 2 2 2sin cos sin 2 sin . 2 8 8 2 8 2 4 2 2 4 2 . 4 Ответ: 4. Вычислите: sin 37 0 cos7 0 cos37 0 sin 7 0 . Решение: Воспользуемся формулой sin cos cos sin sin( ) (нужно внести в список). Имеем: sin 37 0 cos7 0 cos37 0 sin 7 0 sin( 37 0 7 0 ) sin 30 0 Ответ: 1 . 2 1 . 2 5. Упростите выражение: 1 sin 2 . (sin cos ) 2 Решение. В числителе дроби заменяем: 1 sin 2 cos 2 , а также sin 2 2 sin cos . Имеем: 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos (sin cos ) 2 1 (в числителе (sin cos ) 2 (sin cos ) 2 (sin cos ) 2 оказался полный квадрат разности sin и cos ). Ответ: 1. 6. Укажите наибольшее целое значение, которое может принимать выражение 3,7 0,4 sin . Решение. Так как sin может принимать любое значение, принадлежащее отрезку [–1; 1], то 0,4 sin принимает любое значение отрезка [–0,4; 0,4], поэтому 3,7 0,4 3,7 0,4 sin 3,7 0,4 . Целое значение выражения одно –число 4. Ответ: 4 7. Найдите наибольшее целое значение выражения p 3,8 sin cos Решение: Так как sin cos 1 sin 2 1, то 1 1 1 2 sin cos sin 2 , то p 3,8 sin 2 , так как 2 2 2 1 1 1 1 sin 2 , а выражение p: 3,8 0,5 3,8 sin 2 3,8 0,5 . 2 2 2 2 Целое число на этом отрезке одно – число 4. Ответ: 4. 8. Укажите наибольшее значение выражения p 6 . 5 3 sin Решение: дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель – наименьшее. Так как 3 3sin 3 , то 2 5 3sin 8 ; то есть наименьшее значение знаменателя – число 2 (достигается при sin 1). Наибольшее значение p 6 3. 2 Ответ: 3. 9. Упростите выражение p sin 6 cos 6 . sin 4 cos 2 sin 2 cos 4 Решение: Воспользуемся формулой разложения на множители суммы кубов: a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 . Имеем sin 6 cos 6 (sin 2 ) 3 (cos 2 ) 3 (sin 2 cos 2 )((sin 2 ) 2 sin 2 cos 2 (cos 2 ) 2 ) sin 4 cos 2 sin 2 cos 4 . Имеем: p sin 4 cos 2 sin 2 cos 4 1. sin 4 cos 2 sin 2 cos 4 Ответ: 1. 10. Упростите: 1 cos 2 2 2 sin 2 2 cos 2 . Решение. Воспользуемся формулой cos 2 1 2 sin 2 , тогда 1 cos 2 2 sin 2 . 2 sin Исходное выражение равно 2 2 sin 2 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 2 . Ответ: 2. 11. Дано: sin 2 cos 2 0,3 . Найти: sin 4 . Решение. Возьмем в квадрат обе части данного равенства. Имеем: sin 2 cos 2 0,3 2 . 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 0,09 или 1 sin 4 0,09 , откуда sin 4 0,91 (так как sin 2 2 cos 2 2 1 и 2 sin 2 cos 2 sin 4 . Ответ: 0,91. 2 12. Дано: ctg . Найти cos 2 . 3 Решение: Воспользуемся формулой cos 2 1 tg 2 . Полезно эту формулу вывести, а 1 tg 2 потом внести в список формул. tg 1 3 . ctg 2 2 3 9 5 1 1 2 4 4 5 . Тогда cos 2 2 9 13 13 3 1 1 4 4 2 Ответ: 5 . 13 13. Найдите множество значений выражения p 5 sin 6 cos . Решение: Воспользуемся формулой дополнительного угла: 5 sin 6 cos 5 2 6 2 sin :, где tg 6 . 5 может принимать любые значения, поэтому 1 sin 1 и 61 p 61 . Ответ: 61; 61 . 14. Сколько целых значений может принимать выражение p 7 sin 8 cos ? Решение: Найдем множество значений выражения р (см. пример 13). Имеем p 7 sin 8 cos 7 2 8 2 sin cos cos sin 113 sin . 113 p 113 , так как 113 10,7 ( 10 113 11 ), то целых значений р будет 21 (не забываем число 0). Ответ: 21. 3 . 15. Вычислите ctg 2 arcsin 2 3 ; 2 arcsin Решение. arcsin 3 2 Ответ: 3 2 2 3 2 2 3 ; ctg 3 ctg 3 ctg 3 3 . 3 . 3 Тренировочный тест № 4.1 Базовый уровень 1. Сравните с нулем выражение: sin 187 0 . 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 3. Равно нулю. 12 . 13 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 35 3. Сравните с нулем выражение: cos . 22 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 4. Сравните с нулем выражение: sin 275 0 . 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 5. Сравните с нулем выражение: cos 270 0 . 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 11 cos 300 0 . 6. Сравните с нулем выражение: sin 17 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 16 sin 1780 . 7. Сравните с нулем выражение: cos 10 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 17 23 cos 8. Сравните с нулем выражение: sin . 16 14 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 15 19 cos 9. Сравните с нулем выражение: sin . 17 14 1. Больше нуля. 2. Меньше нуля. 1 10. Дано: sin ; II четверти. Найдите 3 2 cos . 3 2 11. Дано: cos ; III четверти. Найдите 21 sin . 5 4 12. Дано: sin ; II четверти. Найдите ctg . 5 2 3 2 . Найдите 21ctg . 13. Дано: cos ; 5 2 14. Найдите значение выражения: sin 15 0 cos15 0 . 2. Сравните с нулем выражение: cos 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 3. Равно нулю. 15. Найдите значение выражения: sin 130 cos17 0 cos130 sin 17 0 . 16. Найдите значение выражения: 2 sin cos . 8 8 17. Найдите значение выражения: cos 37 0 cos 230 sin 37 0 sin 230 . cos 2 sin 2 18. Упростите выражение . 2 cos 2 1 1 sin 2 19. Упростите выражение ; (sin cos ) 2 cos119 sin 31 cos 29 cos 31 20. Найдите значение выражения sin 17 sin 103 cos17 sin 13 Ответы: 1. 2. 2. 2. 3. 1. 4. 2. 5. 3. 6. 1. 7. 1. 8. 2. 9. 1. 10. – 4. 11. – 4,2. 12. – 0,75. 13. – 2. 14. 0,25. 15. 0,5. 16. 0,5. 17. 0,5. 18. 1. 19. 1. 20. 1. Тренировочный тест 4.2 Повышенный уровень 1 sin 2 cos 2 1. Упростите выражение: . sin cos cos sin 2. Упростите выражение: sin 6 cos 6 sin 2 2 sin 2 cos 2 . (1 cos 2 ) 2 3. Упростите выражение: cos 2 (1 tg 2 ) . 4 2 cos 1 4. Дано: sin cos . Найдите sin 2 . 2 tg 5 5. Дано: . Найдите 26 sin 2 . 1 6. Дано: ctg . Найдите cos 2 . 3 7. Дано: cos sin 0,5 . Найдите sin 2 . 7 4 cos 2 4 cos 8 . 8. Найдите наибольшее целое значение выражения: 3 9. Найдите наибольшее целое значение выражения: 3 (sin cos ) 2 0,25 . 10. Найдите наибольшее целое значение выражения: 4 sin 5 cos . Ответы: 1. 0. 2. 1. 3. 1. 4. –0,75. 5. 10. 6. –0,8. 7. 0,75. 8. 9. 9. 4,5. 10. 6. Тренировочный тест 4.3 Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А10. А1. Упростите выражение 5 sin 2 3 5 cos 2 . 1. 5. 2. 2 sin 2 . А2. Найдите sin , если cos 1. 1 . 5 2. 3 5 3. 2. 4. 5 cos 2 . 4 и . 5 2 . 3 3. . 5 4. 3 . 2 4. 3 . 5 А3. Вычислите sin 22,5 0 cos 22,5 0 . 1. 2 . 4 А4. Упростите 1. 1. 2. 1 . 2 3. 3 . 4 cos 2 cos . cos sin 2. sin . 3. А5. Вычислите cos 310 cos 29 0 sin 310 sin 29 0 . cos . 4. 3 . 5 1. 1. 2. 2 . 2 3. 3 . 2 4. 1 . 2 А6. Укажите наибольшее целое значение выражения p 5 3 sin . 1. –5. 2. – 8. А7. Укажите наименьшее целое значение выражения p 1. 12. 2. 6. 4. –2. 3. 8. 3. 2. 12 . 4 2 cos 4. 1. А8. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений выражения p 5 7 cos . 1. 10. 2. 15. 3. 17. А9. Найдите наибольшее целое значение выражения p 1. 17. 2. 5. 3. 15. 4. 24. 5 40 9 cos 2 9 cos 2 . 2 4. 12. А10. Найдите наименьшее целое значение выражения p 3 sin 4 cos . 1. – 7. 2. – 1. 3. – 5. 4. 1. Ответы: А1. 3. А2. 4. А3. 1. А4. 2. А5. 4. А6. 4. А7. 3. А8. 2. А9. 1. А10. 3. Повторение будет неполным, если не рассмотреть обратные тригонометрические функции. В КИМах прошлых лет встречались задания темы «Обратные тригонометрические функции». Последние несколько лет таких заданий в вариантах ЕГЭ не встречалось. Эта тема важна и для решения тригонометрических выражений и для решения заданий повышенной сложности, встречающихся в КИМах. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУКЦИИ Краткие теоретические сведения Определение. Арксинусом числа т называется такое число из отрезка ; , 2 2 синус которого равен т. 3 3 , т.к. sin Пример 1. arcsin и ; . 2 3 3 2 3 2 2 1 1 Пример 2. arcsin , т.к. sin и ; . 6 2 2 6 2 2 6 Функции y sin x, D( y ) ; и y arcsin x, D( y ) [1;1] являются взаимно 2 2 обратными. Определение. Арккосинусом числа т называется такое число из отрезка [0; ] , косинус которого равен т. 3 3 , т.к. cos и [0; ] . 6 2 6 6 2 2 1 2 1 2 и [0; ] . Пример 2. arccos , т.к. cos 3 2 3 2 3 Определение. Арктангенсом числа т называется такое число из промежутка ; , тангенс которого равен т. 2 2 Пример 1. arctg 3 , т.к. tg 3 и ; . 3 3 3 2 2 Пример 2. arctg ( 1) , т.к. tg 1 и ; . 4 4 2 2 4 Определение. Арккотангенсом числа т называется такое число из промежутка (0; ) , котангенс которого равен т. Пример 1. arccos (0; ) . 6 6 6 3 3 3 1 и (0; ) . Пример 2. arcctg ( 1) , т.к. ctg 4 4 4 Примеры решений Пример 1. При каких значениях р имеет смысл выражение arccos( 5 8 p ) ? Решение. Так как функция y arccos x имеет область определения D( y ) [1;1] , то данное выражение имеет смысл, если: 1 5 8 p 1; 6 8 p 4; 0,5 p 0,75 . 3 arcsin 2 x . Пример 2. Найдите область значений функции y 4 Решение. По определению арксинуса имеем: 3 3 3 3 5 arcsin 2 x ; arcsin 2 x ; arcsin x . 2 2 4 2 4 4 2 4 4 4 1 1 Пример 3. Решите уравнение arccos x . 3 1 1 arccos x , отсюда, arccos x . Полученное уравнение имеет единственное Решение. 3 3 1 1 решение x , т.к. cos и функция y arccos x убывает на отрезке [1;1] . 2 3 2 3 . Пример 4. Вычислите ctg 2 arcsin 2 Решение. 3 3 2 2 3 2 ; 2 arcsin arcsin ; ctg . ctg ctg 3 3 3 3 3 3 2 2 Тренировочный тест 4.3 Отметьте номер правильного ответа. 1 1. Вычислите sin arccos . 2 Пример 1. arcctg 3 , т.к. ctg 3 и 1. 1 . 2 2. 1 . 2 3. 3 . 2 4. 2. Найдите наибольшее значение выражения 2 3 . 2 arccos( 2 x 3) . 3 . 3. . 4. 0. 2 2 3. Найдите наименьшее значение а, при котором существует выражение arcsin( 1 8a ) . 1. 0,25. 2. 0. 3. 0,25 . 4. 0,125. 1 4. Вычислите cos 3arctg . 3 1. . 1. 1 . 2 2. 2. 3 . 2 3. 1 . 2 5. Решите неравенство arcsin x 4. 0. . 3 3 2. ; . 2 3 3 1 1. 1; 3. 1; . 4. ; . . 2 2 2 6. Найдите произведение корней уравнения 3arctg 3x 2 x 3 . 3 . 3 9 1 9 1 7. Найдите значение выражения sin arcsin cos arcsin . 13 2 13 2 1 18 9 9 1. . 2. . 3. . 4. . 2 13 13 26 Ответы: 1. 3. 2. 2. 3. 2. 4. 4. 5. 1. 6. 2. 7. 4. 1. 1 . 3 2. 0. 3. 1. 4. Тренировочный тест 4.4 1. Вычислите cos( 2 arcsin 0,1) . 12 3 arccos . 2. Вычислите 65 cos arcsin 13 5 3. Найдите сумму целых решений неравенства cos(arcsin x ) 0 . 1 4. Вычислите arcsin(sin 1,2 ) . Ответы: 1. 0,98. 2. 33 . 3. 0. 4. 0,2 . В качестве итогового теста приводим часть теста 7 из книги П.В.Семёнова «Математика 2008. Выпуск 1. Выражения и преобразования» (М.: МЦНМО, 2008). Итоговый тест Задание №1, базовый уровень. Время выполнения – 15 минут. 1. Вычислите cos( - 210º). 2 3 1 . 2. . 3. . 2 2 2 2 2 2. Упростите выражение 9 cos 3 5 3 sin . 4. 1. 1. – 6. 3. 9 cos 2 15 . 2. – 15. 3 . 2 4. 9 cos 2 5 . 2 3. Найдите значение выражения 3 cos sin , если sin 0,1 . 2 2 4. Найдите значение выражения 6sin 61 cos1 cos 61 sin 1 . Задание №2, повышенный уровень. Время выполнения – 45 минут. 5. Найдите значение выражения 1 cos 44 cos1 sin 44 sin 1 1,5 . 6. Найдите значение выражения tg45 , если tg 6 . 2 2 cos11 cos19 sin 11 sin 19 7. Вычислите . cos11 sin 34 sin 11 cos 34 8. Найдите значение выражения 21ctg 2 x 4tg 2 x , если cos x 0,4 . 4 9. Во сколько раз число sin 70 sin 50 больше числа sin 2 80 ? 2 7 10. На сколько процентов число arccossin 45 cos135 больше числа arcsin cos ? 3 Ответы: 1. 4. 2. 1. 3. 6,96. 4. – 4,5. 5. 2. 6. – 1,4. 7. 2,25. 8. – 17. 9. 3. 10. 200.