Показательные функции и уравнения Маякова Е.Е.

Из опыта практического применения информационных технологий.
Маякова Елизавета Ефимовна,
учитель математики высшей квалификационной категории
Тема урока: Показательные функции и уравнения
Цель: -обобщить и закрепить понятия показательной функции, их свойства;
-закрепить умения применять эти понятия при решении уравнений;
-выполнять построение графиков показательной функции;
-решать графически уравнения с использованием свойств показательной функции;
-создать атмосферу заинтересованности каждого ученика с целью привития
интереса к предмету через решения нестандартных уравнений.
Ход урока.
//урок поддерживается интерактивной презентацией //
Учитель:
Учащиеся не ограничиваются примерами из учебника, самостоятельно во внеурочное
время изучали темы «Построение графика функции сложного типа», «Решение уравнений
повышенной сложности», «Решение уравнений, встречающихся в ЕГЭ», и «Задачи с
параметрами». Я надеюсь, что наше знакомство будет приятным для всех, урок пройдёт
интересно и с большой пользой. Очень хочу, чтобы те, кто ещё равнодушен к царице всех
наук, с нашего урока ушёл с глубоким убеждением: «Математика – интересный и очень
нужный предмет!»
Слово ученикам.
Решение уравнений повышенной сложности
В истории арифметики и алгебры большое значение играют труды Мухаммеда алХорезми. Для ал-Хорезми алгебра – это искусство решения
уравнений необходимое людям..
Абу Абдулла Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (Мухаммед альХорезми) (араб. ‫ ; عنب اوول بىسو عنب ببمح عهللادبع وبا‬отец Абдуллы,
Мухаммед, сын Мусы, уроженец Хорезма) — арабский математик,
астроном и географ IX века.
Алгебра – один из важнейших
разделов математики, который помогает решать сложные задачи,
встречающиеся в науке, технике и жизни.
Много уравнений умел решать греческий математик Диофант
Диофант (вероятно, III в.) - древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет
почти никаких сведений. Сохранилась часть математического трактата Диофанта
"Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах.
1. Решить уравнение (Переменная содержится как в основании, так и показателе степени).
x2
Решение 1)
10 x 2  3 x 1
1
x2 1
x  2  1 или x  2  1
x3
2)
x 1
x  2
x  2  0
 2
 2
10
x

3
x

1

0
10 x  3x  1  0

D
 32  4  10   1  49
x1 
1
2
, x2  
1
5
x  3 , x  1, x  
Ответ:

1 1
; ;
5 3
1
1
x

3
5,
1; 3.
2. Решить уравнение:
x
x
x
x
 7  48    7  48   14
,

 

Решение:
 7  48    7  48   14

 






x
 
2 3  
 
2


2  3   2  3 
x

x

2  3   14 ,

2
x

 14 ,
x
 1 
2 3 
  14 ,
2 3
x
2  3 
x
Пусть
=t, t>0
1
t   14  0
t
t 2  14t  1
 0,t
t
0
t 2  14t  1  0
D
 48
4

t1  7  48  7  4 3  2  3

2
 
3  2  3   2  3 
t2  7  48  7  4 3  2  3
2  3   2 
x
следовательно
2
x
2
2
,
2  3 
x
x  2,

1
2  3 
x  2
Ответ: -2; 2.
3.Решить уравнение:
16 x  20  4 x  67 
Решение:
16 x  20  4 x  67 
 3 x   x
2
2
 3 x   x
2
2
16 x  20  4 x  67  3  x 2  x 2
2
2
, ОДЗ:
3  x2  0
16 x  20  4 x  67  3
16 x  20  4 x  64  0
3  x 2  0
 x
16  20  4 x  64  0
Пусть
4 x  t , t>0
t 2  20t  64  0
D
 36
4
t1  16 , t2  4
4 x  16 4 x  4
 3  x  3
 2x
4  20  4 x  64  0
2
x2
x 1
Ответ: 1.
4.
Решить уравнение:
2  17  2
2x
x2  x2
 28 2 x  0 ,
Решение:
22 x  17  2 x  x  2  28 2 x  0
2 x  2 28
2x
2  17  x  2 x  0 ,
2
2
2
2
2
22 x
2
2x
2
2 x2  x
Пусть
2x
2
x
 17  2 x
22 x
  17  2 x
2
2
 x2
x
 28
 0, т.к.22 х  0
 256  0,
 t, t  0
t 2  68t  256  0
D
 900,
4
t1  4, t2  64
2
x2  x
 4,
x 2  x  2  0,
x1  2, x2  1
2x
a  b  c  0
2
x
 64,
x2  x  6  0
x  3, x  2
Ответ: -3; -2; 1; 2.
Решение показательных уравнений, встречающихся в заданиях ЕГЭ
1) Решить уравнение:
0,2 х 1  35  5 х . В ответе запишите корень уравнения или сумму корней, если
их несколько.
Решение: существует теорема, способная облегчить решение данного уравнения:
Теорема: если функция f(х) возрастает на Y, а g(x) убывает на Y, то уравнение вида
f(x)=g(x) имеет не более одного корня.
f ( x)  0,2 x 1
Следовательно,
- функция убывающая , так как 0<0,2<1 на R.
g ( x)  35  5 x - возрастающая на [-7; +∞). Итак, есть корень, методом подбора
определяем х=-2, проведём проверку:
0,21  35  10
5  5  верно
Ответ: -2.
2) Найдите значение выражения 6
Решение:
n+m
, если
6 n 36  m
6 n  61 m
6 n 36  m
6 n  61 m
 5 , умножим числитель
6 nm  3
6 nm  6
 5
6n+m-3= -5∙(6m+n-6)
6n+m-3= -5∙6m+n+30
6∙6m+n= 33
6n+m= 5,5
Ответ: 6n+m= 5,5
3) Найдите значение выражения:
3x ∙(3x-3), если 3x+3-x=3.
Решение: 3x+3-x=3 | ∙3x
32x+1= 3∙3x
32x-3∙3x= -1
 5
и знаменатель дроби на 6m,
3x∙(3x-3)= -1
Ответ: 3x∙(3x-3)= -1.
4) Решите уравнения
32 x 7 x2  3x 5 x  2  27 x1  0,
2
2
32 x 7 x2  3x 5 x  2  33 x3  0,
2
2
33 x3  (32 х 4 х5  3х 2 х3  2)  0, т.к. 33х 3  0,
2
2
32 x 4 x5  3x 2 x3  2  0,
2
2
32( x 2 x3)1  3x 2 x3  2  0,
2
Пусть
3x
2
2
 2 x 3
 t, t  0
3t 2  t  2  0
D=25
2
t1=1, t2= - 3 (т.к. a+b+c=0)
2
число t= - 3 не удовлетворяет условию t>0
t=1,
3
x 2  2 x 3
 1,
x2+2x-3=0,
D
4
 4,
x1=1, x2= -3 (т.к. a+b+c=0)
Ответ: -3; 1 .
Показательная функция
Построение графиков функции
y  a x , где a  0, a  0 .
ученый, философ. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
В XVII веке Г.В. Лейбниц (1694 г.) впервые вел понятие функции,
которое трактовалось на геометрической основе: «Функциями
называются всякие части прямых линий, которые получают, проводя бесконечные
прямые, соответствующие неподвижной точке и точкам кривой ».
y  4 x  2 x 1  1  2 x ,
Построить график функции
1.
Преобразуем
2
y
x

2
1  2x ,
y  2x 1  2x
По определению модуля при
.
2 x  1  0 т.е. x  0 , y  2 x  1  2 x ,
y  2  2 x  1.
При
2 x  1  0 , т.е. x  0 , y  1  2 x  2 x , y  1.
Y
y  4 x  2 x 1  1  2 x
0
1
X
Построить график функции:
2.
1
y  
 3
x  2 1 x
,
Решение:
 x  2, если.x  2,
x2  
2  x, x  2.
1)
2)
1
y

 
x  2,
3
x  2 1 x
1
x  2, y   
3
2  x 1 x
1
,
,
1
y    , y  3.
3
1
y 
3
3 2 x
, y  3 2 x 3.
Y
3
1
y  
 3
2
x  2 1 x
1
0
1 2
X
Построить график функции:
3.
1)
2)
y  0,25
x
1
y 
4
x
x  0, y  4
y  0,25
x
 2x .
 2x
 2 x.
x
 2 x , y  22 x  x , y  2
1
y

 
x  0,
4
x
 2x ,
x
1
 
2
x
;
y  2 2 x  x , y  23x.
Y
y  0,25
0
4.
1
x
 2x
X
Найдите наибольшие значения функции у= 3
Степень f(x) 
2 x 2
.
2  x 2 - квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены
вниз(a=-1;-1<0), наибольшие значения функция принимает в вершине параболы
xm
Следовательно
b
 0, f ( x)  2.
2a
yнаиб  32  0  32  9.
Решение показательных уравнений с параметрами.
I. Найти все значения параметра а, при котором уравнение
4 x  a  2 x 1  3a 2  4a  0
имеет единственный корень.
Решение:
22 x  2a  2 x  3a 2  4a  0
Пусть 2 x  t , t  0 , тогда
t 2  2at  3a 2  4a  0
D
 a 2  3a 2  4a  4a 2  4a  4a(a  1)
4
1)если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, следовательно, требование
задачи не выполняется;
2)если D  0 , уравнение имеет один корень, т.е.
4a(a  1)  0 ,
а=0, а=1
При а=0, t=0, не удовлетворяет условие t>0
При а=1, t 2  2t  1  0
(t  1)2  0,
t 1
3)если D>0, то уравнение имеет единственный положительный корень, если:
а) если один корень равен нулю, то свободный член
 3a 2  4a  0 , тогда
a(3a  4)  0
a  0, a 
При a 
4
3
4
8
, уравнение имеет единственный положительный корень t 
3
3
б) если корни разных знаков, то искомые значения неравенства являются решениями
a(a  1)  0,

2
 3a  4a  0;
a(a  1)  0,

a(4  3a)  0;
-1
0
1
a  ( ;0)  (1; ),


4
a  ( ;0)  ( 3 ; );
а
4/3
4
a  0, a  ;
3
1
Ответ: a  0, a  1, a  1 ;
3
II. При каком а уравнение имеет решения:
22 x  (a  3)  2 x  3a  0;
Решение: 22 x  (a  3)  2 x  3a  0;
Пусть 2 x  t , t  0, t 2  (a  3)t  3a  0;
D  a  3  120  a 2  6a  9  12a  a 2  6a  9  (a  3) 2
2
(a  3)2  0, t1 / 2 
a  3  (a  3)
; t=а, t= -3 не удовлетворяет условие t>0
2
При a>0 уравнение имеет решения.
Ответ: при a>0.
III. Решить уравнение:
4  4 x  (4 x  3)  2 x  3  x  0
Решение: 4  4 x  (4 x  3)  2 x  3  x  0
Пусть 2 x  t , t  0;
4  t 2  (4 x  3)t  3  x  0
D  (4 x  13) 2  16(3  x)  16 x 2  104 x  169  48  16 x  16 x 2  88 x  121  (4 x  11) 2
13  4 x  4 x  11 2 1
  ;
8
8 4
13  4 x  4 x  11 24  8 x
t2 

 3  x;
8
8
t1 
1
1
t1  ; 2 x 
4
4
x=-2;
t2  3  x; 2 x  3  x
x=1
Ответ: -2; 1.
Домашнее задание на карточках с задачами разного уровня сложности.
Решить уравнение:
а)
3
2 x 1  x   ;
2
б)
3  4 x  2 x 2  4  3  2 x1  4 x  2;
в)
23 x 2  5 4 x1  7 3 x 2  350 x1 ;
г)
 2  3    2  3   4;




x
x
Тест отправляется ученикам на ноутбуки.
Решите уравнение:
1).
5  2 x  3  4  2 x 1  9.5
а) -1; b) 4; c)-2.
2).
0.33 2 x  0.09
а) 0,5; b) 2,5; c) -0,5; d) -2,5.
3).
3 x2 x  3 x3  2.
а) -3; b) 3; c) -2; d) 2.
4).
8x  3x
а) 0; b) -1; c) 2; d) -2.
Итог урока
Оценка работы и выставление отметок.