Домашнее задание (осенняя сессия, 9 класс)

Домашнее задание (осенняя сессия, 9 класс)
Математика
Элементы выпуклого анализа.
1. Доказать, что произвольная полуплоскость – выпуклое множество.
2. Привести пример 2-х выпуклых множеств, объединение которых не
выпукло, и привести пример двух выпуклых множеств, объединение
которых является также выпуклым множеством.
3. Доказать, что круг – выпуклое множество.
4. Привести пример выпуклого множества М такого, что дополнение М
– также выпуклое множество.
5. Доказать, что произвольный треугольник – выпуклое множество,
любой правильный многоугольник – также выпуклое множество.
Задачи с модулем
1. Решить уравнения:
а) x 2  x  2  0 б) x 2  2x  3  3x  3 в) 2 x  3  x 2  2 x  6
г) 2 x  6  x  x  6  18
д) x  5  x  c  4
2. Решить неравенства:
а) x 2  2 x  x
б) x  1x  3x  4x  6  17
в) x  2  2  x
г) x  2  2  x
Олимпиадные задачи
1. В треугольнике площади 2 расположены 15 точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует
треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше,
чем 2/7.
2. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно
вычеркнуть цифру так, что образовавшееся число будет меньше
суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных
чисел?
3. Решить уравнение 1997x + 2003y = Axy в целых числах для А=0, 1, 2, 5 .
4. Известно, что четыре каждые из 5 заданных различных окружностей
проходят через одну точку. Доказать, что найдется точка, через
которую проходят все окружности.
Домашнее задание (осенняя сессия, 9 класс)
Информатика
«Игра в числа» (30 баллов)
Имеется n различных натуральных чисел ai, i ≤ n (n ≤ 12, ai ≤ 10000). Добавить
наименьшее количество натуральных чисел так, чтобы из заданных чисел вместе с
добавленными можно было составить возрастающую арифметическую прогрессию.
Напомним, что последовательность (набор) чисел называют возрастающей
арифметической прогрессией, если каждое последующее число последовательности
отличается от предыдущего на одно и то же положительное постоянное число,
называемое разностью.
Входные данные:
n – количество заданных натуральных чисел,
a1 a2 a3 …
an - заданные числа .
Результат :
k – количество добавленных членов последовательности,
b1 b2 b3 …
bm - наименьшая последовательность чисел, являющаяся
арифметической прогрессией, содержащей заданные числа.
Пример.
Результат
3
0
135
135
8-9.5. «Маша и медведь» (30 баллов)
Однажды девочка Маша заблудилась в лесу и стала жить у медведя Миши в лесной
избушке. Иногда она пекла пирожки и просила медведя, чтобы он отнес их ее бабушке с
дедушкой. Однако Миша сам не прочь был полакомиться пирожками, поэтому по пути в
лесу время от времени садился на пенек и съедал пирожок. Бывало, что и пустую
корзинку приносил в деревню.
Чтобы такого не происходило, Маша поселила в каждый пенек, стоящий рядом с
лесной тропинкой, дрессированную мышку-сигнальщика. Если Миша садится на пенек,
мышка моментально выбегает из него и начинает махать платочком. Все мышкисигнальщики, увидевшие этот сигнал, начинают его повторять. Время, требуемое для
передачи сигнала и начала его воспроизведения другой мышкой, равно 1 с. За такое же
время доходит сигнал от любой мышки, живущей в зоне видимости домика, до Маши.
Таким образом, через некоторое время Маша получает сигнал о том, что Миша сел на
пенек. Она немедленно берет телефон и скидывает медведю заранее приготовленное
сообщение: «Миша, не садись на пенек, не ешь пирожок, неси бабушке, неси дедушке!».
На это требуется ровно три секунды.
Если Миша получит сообщение до того, как взял пирожок, то не станет его есть, а
если пирожок уже у него в лапах, то Мишу ничем не остановить.
На рисунке ниже приведена схема расположения пеньков, на которые Миша может
присесть в лесу. Отрезками соединены пеньки, находящиеся в зоне видимости друг друга.
Также проведены отрезки к пенькам, которые Маша видит из дома медведя.
Входные данные: натуральные числа t, k, n1,...,nk. где t – количество секунд,
требуемых Мише, чтобы сесть на пенек и взять пирожок; k – количество пеньков, на
которые медведь садился во время лесной прогулки. Далее перечислены номера этих
пеньков.
Выходные данные: номера тех пеньков, на которых Мише удалось съесть пирожок.
Если таковых не оказалось, то необходимо
Входные данные
Выходные данные
вывести строку «не съел». Пример:
6 4 14 4 19 6
19 6
7 4 2 3 7 12
4
16
13
7
1
8
11
17
2
14
Дом
медведя
20
9
18
3
5
10
6
15
12
19
не съел