Задача Решение фазовой скоростью v = 3

Задача 1.1. Электромагнитная волна распространяется в вакууме с
фазовой скоростью vф = 3108 м/с. Частота поля f = 10 ГГц. Определить длину
волны  и коэффициент фазы .
Решение.  = с/f = 0,03 м;  = 2/ = 6,28/0,03 = 209,3 м-1.
Ответ:  = 3 см;  = 209,3 м-1.
Задача 1.2. Плотность потока мощности плоской электромагнитной
волны в вакууме составляет 1 Вт/м2. Найти амплитудное значение х-й
проекции вектора Е и у-й проекции вектора Н.
Решение. Из формулы (1.33):
Еxm = (240  Пср z)1/2 = 27,5 В/м. Воспользовавшись понятием
волнового сопротивления вакуума Z0, получаем:
Нym = Exm/Z0 = 27,5/377 = 0,07 A/м.
Ответ: Еxm = 27,5 В/м; Hym = 0,07 А/м.
13
Задача 1.3. Найти без потерь длину волны  в среде, имеющей
параметры  = 3,  = 6 на частоте f = 10 ГГц.
Решение. Фазовая скорость vф = с/()1/2 = 3108/ 18 = 7,1107 м/с.
Отсюда длина волны  = vф/f = 0,007 м.
Ответ:  = 7 мм.
Задача 1.4. Найти коэффициент фазы , длину волны , коэффициент
затухания  и погонное затухание Δпог плоской электромагнитной волны с
частотой 35 ГГц, которая распространяется во фторопласте (тефлон). Этот
широко применяемый диэлектрик имеет следующие параметры:  = 2,
tg  = 310-4.
Решение.
1. По условию задачи tg  << 1. Определим коэффициент фазы,
используя выражение (1.52):
 =  ()1/2/с = 2f ()1/2/c = 6,2835109 2 / (3108) = 1037 м-1.
2. Длина волны в тефлоне:
 = 2/ = 6,28/1037 = 6,110-3 м = 6,1 мм.
3. Коэффициент затухания:
 = ( tg )/2 = 1037310-4/2 = 0,156 м-1.
4. Погонное затухание:
пог = 8,686  = 8,6860,156 = 1,35 дБ/м.
Ответ:  = 1037 м-1;  = 6,1 мм;  = 0,156 м-1; пог = 1,35 дБ/м.
Задача 1.5. Плоская электромагнитная волна распространяется в
немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической
проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с
частотой 1 ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг
по фазе в 40 0.
Определить относительную диэлектрическую проницаемость и
коэффициент преломления среды.
Решение.
1. Определим коэффициент фазы плоской волны в вакууме:
вак =  (00)1/2 = 2f/c = 6,281109/(3108) = 21 м-1.
2. Коэффициент фазы в немагнитной среде без потерь с неизвестным
значением :
 =  (00)1/2()1/2 = 2f  /c.
17
3. Произведение вак L показывает изменение фазы волны в вакууме
при прохождении пути L. Точно так же, произведение L – изменение фазы
волны при похождении ею расстояния L в среде с неизвестным значением
диэлектрической проницаемости. По условию задачи L - вакL =  , где  дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе, равный 400 или
2/9 радиан.
4. Составим уравнение для нахождения :
2f L  /c - 2f L/c = 2/9.
 = [2/9с/(2fL) + 1] 2 = [c/(9fL) + 1] 2 = [1/3 +1] 2 = 16/9 = 1,78.
5. Коэффициент преломления немагнитной среды ( = 1):
n =  = 16 / 9 = 4/3 = 1,33.
Ответ:  = 1,78, n = 1,33.
Задача 1.6. Сравнить параметры плоских волн, распространяющихся в
вакууме и в меди ( = 5,65107 Cим/м) на частоте 1 МГц.
Решение
Используя формулы (1.53) - (1.56) и выражения для расчета соответствующих
характеристик волны в вакууме, получим:
в вакууме:
vф = 3108 м/с
 =300 м
ZB =377
в металле:
vф = 421 м/с
 =4,2110-4 м
ZB =3,7410-4 Ом
Коэффициент затухания волны, распространяющейся в меди при частоте 1 МГц:
 = (fa)1/2 = (4210-75,65107106)1/2  14800 неп/м.
19
Это означает, например, что при прохождении волной расстояния в один
миллиметр ее амплитуда уменьшается в е 14,8 раз, т.е. примерно в 2,67
миллиона раз. Таким образом, приведенный расчет показывает, что
переменное электромагнитное поле на частотах радиотехнического
диапазона практически не проникает в глубь проводника.
Задача 1.7. Амплитудное значение напряженности электрического
поля нормально падающей волны Епад = 200 В/м. Относительная
диэлектрическая проницаемость материала  = 1,8. Найти модули
усредненных значений векторов Пойтинга падающей, отраженной и
прошедшей волн.
Решение.
1. Определим коэффициенты отражения R и преломления Т,
воспользовавшись формулами (1.84) и (1.85):
R = (1 - 1,8 ) /(1 + 1,8 ) = - 0,145, Т =2/(1 + 1,8 ) = 0,855.
2. Определим волновое сопротивление диэлектрика (второй среды),
оно должно быть в  раз меньше волнового сопротивления
вакуума (первой среды):
ZB2 = ZB0/  = 377/1,34 = 281 Ом.
3. Модуль усредненного значения вектора Пойтинга падающей волны:
Ппад = Е2пад /(2ZB0) = 4104/2377 = 53 Вт/м2.
4. Модуль усредненного значения вектора Пойтинга отраженной
волны:
Потр = RПпад = 0,14553 = 7,7 В/м2.
5. Модуль усредненного значения вектора Пойтинга прошедшей
волны:
Ппр = ТПпад = 0,85553 = 45,3 Вт/м2.
Ответ: Ппад = 53 Вт/м2; Потр = 7,7 Вт/м2; Ппр= 45,3 Вт/м2.
Задача 1.8. Плоская электромагнитная волна с перпендикулярной
поляризацией падает из воздуха под углом 400 на границу раздела с
диэлектриком, имеющим параметры  = 3,  = 1. Амплитуда вектора
напряженности электрического поля падающей волны Ем пад = 0,5 В/м. Найти
амплитуды векторов напряженности магнитного поля отраженной и
преломленной волн. Для данных условий задачи найти коэффициенты
отражения и преломления для волны параллельной поляризации.
Решение
1. По формулам (1.101) и (1.102) находим RE и TE:
RE = [cos 400 - (3 - sin2 400)1/2] / [cos 400 + (3 – sin2 400)1/2] = 0,353,
TE = 2 cos 400 / [cos 400 + (3 – sin2 400)1/2] = 0,647.
2. Волновое сопротивление диэлектрика:
ZB2 = 377/  = 377/ 3 = 218 Ом.
3. Тогда амплитуда вектора напряженности магнитного поля
отраженной волны:
Нм отр = RE Eм пад /Z0 = 0,3530,5/377 = 4,710-4 А/м.
4. Амплитуда вектора напряженности магнитного поля прошедшей
волны:
Нм пр = ТЕЕм пад / ZB2 = 0,6470,5/218 = 14,810-4 А/м.
5. Коэффициент отражения при параллельной поляризации (1.95):
RE = [(3-sin2 400)1/2 – 3 cos 400] / [(3-sin2 400)1/2 + 3 cos 400] = 0,179.
6. Коэффициент прохождения при параллельной поляризации (1.95):
ТЕ = 2 3 cos 400/ [(3 – sin2 400)1/2 + 3cos 400] = 0,680.
Ответ: Нм отр = 4,710-4 А/м; Нм пр = 14,8 10-4 А/м; RE = - 0,179;
TE =0,680; RE = - 0,353; TE = 0,647.
Задача 1.9. Плоская электромагнитная волна, вектор напряженности
электрического поля которой лежит в плоскости падения, падает из
диэлектрика с параметрами 1 = 9, 1 =1, 1 = 0 на поверхность диэлектрика с
параметрами 2 = 1, 2 = 1, 2 = 0.
При каких углах падения: а) вся энергия падающей волны переходит во
вторую среду; б) вся энергия падающей волны отражается от границы
раздела.
Решение.
1. Вся энергия падающей волны переходит во вторую среду при
падении на границу под углом Брюстера, т.е. при выполнении условия
(1.104):
Бр = arctg (2/1)1/2 = arctg 19 = arctg 0,333 = 180 25’.
2. Полное отражение падающей волны от границы раздела двух
диэлектрических сред имеет место при падении под критическим углом, т.е.
при выполнении условия (1.106):
 > кр = arcsin (2/1)1/2 = arcsin 0,333 = 19 030’.
Ответ: 180 25’; > 19030’.