ГОУ СПО «Череповецкий Индустриальный колледж» И.В.Калинина Векторы в пространстве Прямые на плоскости Учебно-методические материалы по дисциплине «Математика» для студентов 2-го курса специальностей СПО Череповец 2007 Рассмотрено на заседании методической комиссии Протокол №________________ от____________20___г. Рецензент: кандидат физико-математических наук, профессор Череповецкого государственного университета Толстиков А.В. Преподаватель высшей квалификационной категории Фефёлова Н.А. Разработала: преподаватель математики высшей квалификационной категории Калинина И.В. Данные материалы предназначены для студентов II курса специальностей СПО и содержат теоретическое обоснование и практическую работу по теме «Векторы в пространстве. Прямые на плоскости.». Первая часть данных материалов содержит теоретическое обоснование и контрольные вопросы по рассматриваемой теме. Во вторую часть материалов входит практическая работа, которая включает в себя: цели работы, порядок выполнения работы, указания к оформлению и 20 вариантов заданий. 2 Оглавление Введение ................................................................................................. 4 Часть 1. Теоретическое обоснование ................................................... 6 1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве ......... 6 1.1 Введение декартовых координат в пространстве ........................... 6 1.2 Расстояние между двумя точками .................................................... 6 1.3 Деление отрезка в данном отношении ............................................. 7 2. Векторы в пространстве .......................................................................... 8 2.1 Понятие вектора. Вектора на координатной плоскости ................. 8 2.2 Действия над векторами .................................................................. 10 2.3 Скалярное произведение двух векторов. Угол между двумя векторами ................................................................................................ 12 3. Прямая на плоскости ............................................................................. 14 3.1 Общее уравнение прямой ................................................................ 14 3.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом ............................. 15 3.3 Уравнение прямой, проходящей через 2 точки ............................. 16 3.4 Угол между двумя прямыми ........................................................... 17 3.5 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых . 18 3.6 Расстояние от точки до прямой ...................................................... 19 4. Контрольные вопросы ........................................................................... 20 Часть 2. Практическая работа ............................................................. 21 2.1 Цели работы.......................................................................................... 21 2.2 Порядок выполнения работы .............................................................. 21 2.3 Указания к оформлению ..................................................................... 21 2.4 Варианты заданий ................................................................................ 22 Литература ............................................................................................ 32 3 Введение Данные материалы написаны в соответствии с действующей рабочей программой для студентов ГОУ СПО «Череповецкий Индустриальный колледж имени академика И.П.Бардина» в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников. Данные материалы предназначены для студентов II курса специальностей СПО и содержат теоретическое обоснование и практическую работу по теме: «Векторы в пространстве. Прямые на плоскости.» Основными целями данных материалов являются: -прочное и сознательное овладение студентами математическими знаниями и умениями, необходимыми для успешного усвоения математики и использование её при изучении обще профессиональных и специальных дисциплин, в курсовом и дипломном проектировании; -развитие логического и алгоритмического мышления; -воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые; -формирование представления о математике как форме описания и методе познания действительности. Данные материалы начинаются с необходимого минимума теоретического материала, изучение которого позволит более успешно выполнять контрольные задания, расположенные во второй части данных материалов, т. е. студенты будут более прочно овладевать необходимыми умениями и навыками, которые потом они могут использовать на уроках спецдисциплин. После теоретического изложения материала приведены контрольные вопросы по теме, ответы на которые являются обязательным условием начала выполнения студентами практической части. 4 Критерием успешного усвоения материала является выполнение не менее 4 заданий практической части. В результате изучения данной темы студент должен: знать: -определение декартовой системы координат; -определение вектора, операции над векторами, свойства, координаты вектора, скалярное произведение; -уравнение прямой на плоскости; -общее уравнение прямой; -условие параллельности и перпендикулярности прямых; уметь: -находить координаты точек и строить точки в декартовой системе координат; -находить координаты векторов, длину вектора, угол между векторами; -находить модули, скалярное произведение векторов в пространстве; -составлять общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом. уметь: -находить координаты точек и строить точки в декартовой системе координат; -находить координаты векторов, длину вектора, угол между векторами; -находить модули, скалярное произведение векторов в пространстве; -составлять общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом. 5 Часть 1. Теоретическое обоснование 1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве 1.1 Введение декартовых координат в пространстве Возьмём три взаимно перпендикулярные прямые х, y,z, пересекающиеся в одной точке О. Проведём через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и y, называется плоскостью хy. Две другие плоскости называются соответственно xz, yz. Прямые x, y, z называются координатными осями, точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xy, xz, yz – координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые – полуоси. Условимся одну из них называть положительной, а другую – отрицательной. Возьмём теперь произвольную точку А и проведём через неё плоскость, параллельную плоскости yz. Координатой х точки А будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАх: положительное, если точка Ах лежит на положительной полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Аналогично определяются координаты y, z точки А. Точку А обозначают А(x,y,z). Точка О имеет координаты (0,0,0). 1.2 Расстояние между двумя точками Расстояние d между точками М1(х1, y1, z1) и определяется по формуле: М2(х2, y2, z2) d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 В частности, расстояние d от точки М(x,y,z) до начала координат определяется формулой: 6 d x2 y 2 z 2 Пример 1: На оси ОХ найти точку, равноудалённую от точек А(2;-4;5) и В(-3;2;7). Решение: Пусть т. М – искомая точка. Так как т. М лежит на оси Ох, то она имеет координаты (х,0,0). По условию задачи AM BM . AM ( x 2)2 (4)2 52 ; BM ( x 3)2 22 72 . Приравняем эти равенства и возведём в квадрат: (х-2)2+41=(х+3)2+53. Решая это уравнение, получим: 10х=-17, х=-1,7. Значит координаты т.М будут (-1,7;0;0) Ответ: М (-1,7;0;0) 1.3 Деление отрезка в данном отношении Координаты точки С(х,у,z), делящий отрезок между точками М1(х1; y1; z1) и М2(х2; y2; z2) в заданном отношении λ определяется по формулам: x x1 x2 y y2 z z 2 ;y 1 ;z 1 1 1 1 В частности, при λ=1 получаются формулы середины отрезка: x x1 x 2 y y2 z z2 ;y 1 ;z 1 2 2 2 Пример 2: Точка С (2;3;6) является серединой отрезка АВ. Определить координаты точки А, если В(7;5;8). 7 Решение: x1 x 2 y y2 z z2 ;y 1 ;z 1 2 2 2 x 7 y 5 z 8 2 1 ;3 1 ;6 1 2 2 2 x х1=4-7=-3; у1=6-5=1; z1=12-8=4 Ответ: А(-3;1;4) 2. Векторы в пространстве 2.1 Понятие вектора. Вектора на координатной плоскости В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок и обозначается a, AB . Буквально также, как и на плоскости определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором . Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a II b. Свободный вектор a (т.е. такой вектор, который без изменения длины и направления может быть перенесён в любую точку пространства), заданный в координатном пространстве 0xyz, может быть представлен в виде a ax i a y j az k Такое представление вектора a называется его разложением по осям координат, или по ортам. 8 Здесь a x ; a y ; a z – проекции вектора a на соответствующие оси координат ( их называют координатами вектора a ), i, j, k орты этих осей ( единичные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси). Векторы представлен a x i, a y j , a z k , вектор a, в виде суммы называются которых составляющими (компонентами) вектора a по осям координат. Длина (модуль) вектора a обозначается a и определяется по формуле: a a x2 a y2 a z2 Вектор OM , начало которого находится в начале координат, а конец – в точке М(x;y;z) называют радиусом – вектором точки М и обозначают r (М) или просто r . Так как его координаты совпадают с координатами точки М, то его разложение по ортам имеет вид: r xi y j z k Вектор AB , имеющий начало в точке А( х1; y1; z1) и конец в точке В(х2; y2; z2) может быть записан в виде AB = r2 - r1 , где r1 - радиус- вектор точки А, r2 - радиус – вектор точки В.Поэтому разложение вектора AB по ортам имеет вид: AB ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k 9 Его длина совпадает с расстоянием между точками А и В: AB = d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 Пример 3: Разложить вектор AB по ортам и найти длину данного вектора, если А(-2;-1;0), В(4;-3;5). Решение: AB =(4-(-2)) i +(-3-(-1)) j +(5-0) k =6 i -2 j +5 k AB = d Ответ: (4 2) 2 (3 1) 2 (5 0) 2 36 4 25 65 65 . 2.2 Действия над векторами 1. Если векторы a и b заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разность определяются по формулам: a b (ax bx )i (a y by ) j (az bz )k a b (ax bx )i (a y by ) j (az bz )k Сумма векторов a и b начала которых совмещены, изображается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы a и b . Разность a - b этих векторов изображается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограмма, 10 причём начало этого вектора находится в конце вектора b, а конец – в конце вектора a . 2. Произведение вектора a на постоянный множитель m определяется формулой: ma ma x i ma y j ma z k Пример 4: Найти вектор a 2b 3c , если a = 2i j 3k , b 3i 5 j , c 5i 6k Решение: 2b 6i 10 j , 3c 15i 18k , a 2b (2 6)i (1 10) j 3k 4i 11 j 3k a 2b 3c (4 15)i 11 j (3 (18)) k 19i 11 j 15k Ответ: 19i 11 j 15k. Условие коллинеарности координатами a (х1;,у1;z1) и соотношением: двух векторов, заданных своими b (х2;,у2;z2) определяется следующим x1 y z 1 1 x2 y 2 z 2 11 Пример 5: При каком значении n векторы a ( 4;6; n) и b( 1 ; 3 ;3) будут 2 4 коллинеарны? Решение: Составим пропорцию: 4 6 n , возьмём 1 и 3 отношения: 1 3 3 2 4 4 n из которого найдём n: n=-24 1 3 2 Ответ: при n=-24 вектора будут коллинеарны. 2.3 Скалярное произведение двух векторов. Угол между двумя векторами Скалярным произведением 2-х ненулевых векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Обозначается a b , т.е. если φ – угол между векторами, то a b a b cos Свойства скалярного произведения: 10. a a a2 20. a b b a 30. a (b c) ab ac 40. (ma) b a (mb) m(a b) 12 b заданы своими координатами Пусть векторы a и a x1 i y1 j z1 k , b x2 i y2 j z 2 k . Тогда скалярное произведение этих векторов находится по формуле: a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности 2-х ненулевых векторов a и b: a 0; b 0; a b a b 0 Зная скалярное произведение 2-х векторов a x1 i y1 j z1 k , b x2 i y2 j z 2 k можно найти угол между ними: cos x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22 Пример 6: Будет ли вектор c 2i j 3k перпендикулярен вектору d 2i j k ? Решение: Найдём скалярное произведение этих векторов: c d 2 2 (1) (1) 3 (1) 2 Так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора не перпендикулярны. Ответ: нет. 13 Пример 7: Заданы 2 вектора своими координатами a (-4;3;0), b Решение: cos (3;-4;1). Найти косинус угла между ними. 4 3 3 (4) 0 1 (4) 2 32 02 32 (4) 2 12 24 cos 5 26 Ответ: 24 5 26 3. Прямая на плоскости 3.1 Общее уравнение прямой Уравнение первой степени относительно переменных х и у, т.е. уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой. Частные случаи общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0: Значение коэффициентов Вид уравнения Положение прямой С=0, А≠0, В≠0 Ах+Ву=0 (у=кх) Проходит через начало координат А=0, В≠0, С≠0 Ву+С=0 (у=в) Параллельна оси Ох В=0, А≠0, С≠0 Ах+С=0 (х=а) Параллельна оси Оу А=С=0, В≠0 Ву=0 (у=0) В=С=0, А≠0 Ах=0 (х=0) 14 Совпадает с осью Ох (уравнение оси Ох) Совпадает с осью Оу (уравнение оси Оу) 3.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая, не параллельная оси 0у, пересекает ось 0у в точкеА(0;в), а ось 0х пересекает под углом α. Выберем на прямой точку В(х;у).Построим прямоугольный треугольник АВС такой, что АС II 0х, ВС II 0у, ВС=у-в, <ВАС=α.. y b Имеем tgα= , или y tg x b . x Обозначим tgα=к, получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: у=кх+b Пример 8: Составить уравнение прямой, отсекающей на оси 0у отрезок b=3 и образующий с осью 0х угол α=300. Решение: 1 Найдём угловой коэффициент к=tgα=tg300= . Подставив k 3 1 и b в уравнение с угловым коэффициентом, получим: у= х+3, 3 или 3 y x 3 3 0 Ответ: 3 y x 3 3 0 . Можно вывести уравнение с угловым коэффициентом из общего уравнения прямой. В общем уравнении прямой A C Ах+Ву+С=0, где В≠0, выразим у. Получим: y x . B B A C у=kх+b Обозначим k= , b= , тогда B B 15 уравнение прямой с угловым коэффициентом. Часто возникает необходимость составить уравнение прямой, зная одну её точку М1(x1, у1) и угловой коэффициент k. Такое уравнение выглядит следующим образом: у-у1=к(х-х1) Пример 9: Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-4) и пересекающей ось 0х под углом 450. Решение: k=tg450=1, подставим координаты точки А в уравнение с угловым коэффициентом: -4=1*2+b, отсюда b=-4-2=-6. Получим уравнение прямой у=х-6. Ответ: у=х-6. 3.3 Уравнение прямой, проходящей через 2 точки Пусть даны 2 точки М1(x1, у1) и М2(x2, у2). Можно составить уравнение прямой, проходящей через эти 2 точки: y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 Пример 10: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2;3) и М2(-3;4). Решение: Подставим координаты точек в формулу: y 3 x2 y 3 x2 ; -5у+15=х-2; 5у+х-17=0- искомая 43 32 1 5 прямая. Ответ: 5у+х-17=0 16 3.4 Угол между двумя прямыми Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2 =0, вычисляется по формуле: cos A1 A2 B1B2 A12 B12 A22 B22 Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентом у=k1х+b1 и у=k2х+b2, то угол φ между ними вычисляется по формуле: tg k2 k1 1 k1k2 Пример 11: Две прямые, проходящие через начало координат, образуют 1 между собой, угол равный arctg . Отношение угловых 3 коэффициентов этих прямых составляет 2:7. Составьте уравнения этих прямых. Решение: у=kх – уравнение прямых, проходящих через начало координат, т.е. чтобы решить задачу, нужно найти угловой коэффициент. Пусть m – коэффициент пропорциональности, тогда k1=2m, k2=7m. Используем формулу угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом: 1 7 m 2m 1 5m tg (arctg ) ; ; 14m2-15m+1=0 . 2 3 1 7 m 2m 3 1 14m Решая квадратное уравнение, получаем 2 решения: m1 =1 и 1 m2= . 14 Рассмотрим оба случая. 17 1 случай. m1 =1: k1=2 и k2=7; уравнения прямых: у=2х и у=7х. 1 1 1 1 2 случай. m2= : k1= и k2= ; уравнения прямых: у= х и 14 7 2 7 1 у= x . 2 Ответ: у=2х и у=5х; у= 1 1 х и у= x . 7 2 3.5 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Условие параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2 =0, записывается в виде: A1 B1 A2 B2 Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами у=к1х+b1 и у=к2х+b2, имеет вид: k2=k1 Пример 12: Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2;4) параллельно прямой L: 2х-3у+6=0. Решение: Преобразуем уравнение прямой L в уравнение с угловым 2 2 коэффициентом: у= х+2, угловой коэффициент k1= . Так как 3 3 2 прямые параллельны, то k2=k1= , следовательно уравнение 3 2 прямой L1: у-4= (х+2), или 2х-3у+16=0. 3 18 Ответ: 2х-3у+16=0 Условие перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2 =0, записывается в виде: А1А2+ В1В2=0 Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами у=k1х+b1 и у=k2х+b2, имеет вид: k2 1 k1 Пример 13: В ∆АВС точка А(6;2), уравнение прямой ВС: х-4у-7=0. Составить уравнение высоты АN, проведённой из точки А на ВС. Решение: Преобразуем ВС в уравнение с угловым коэффициентом: 1 1 7 1 k у= х- ;k1= , так как AN ВС, то 2 =-4; следовательно k1 4 4 4 уравнение прямой AN: у-2=-4(х-6) или у+4х-26=0 Ответ: у+4х-26=0 3.6 Расстояние от точки до прямой Расстояние d от данной точки М(х0;у0) до прямой, заданной общим уравнением Ах+Ву+С=0, определяется формулой: d Ax0 By 0 C A2 B 2 Пример 14: Дана прямая L: 3х-4у+10=0 и точка М(4;3). Найти расстояние от точки М до прямой L. 19 Решение: 3 4 4 3 10 d 2. 32 42 Ответ: 2 4. Контрольные вопросы 1). Объясните, как получается прямоугольная система координат в пространстве? 2). Объясните, как определяются координаты точки в пространстве? 3). Запишите формулу для определения расстояния между двумя точками, заданными своими координатами? 4). Дайте определение вектора. 5). Какие 2 вектора называются коллинеарными? 6). Запишите разложение вектора по ортам. 7). Что называется ортом? 8). Как найти длину вектора? 9). Что называют радиус-вектором? 10). Дайте определение действий над векторами: сложение, разность, умножение на число. 11). Что называют скалярным произведением 2-х ненулевых векторов? 12). Перечислите свойства скалярного произведения. 13). Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности 2-х векторов. 14).Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинарности 2-х векторов. 15). Выразите угол между двумя векторами. 16). Запишите общее уравнение прямой. 17). Исследуйте общее уравнение прямой при А=0, В=0, С=0. 18). Выведите уравнение с угловым коэффициентом из общего уравнения прямой. 19). Что называют угловым коэффициентом прямой? 20). Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом. 21). Запишите уравнение прямой, которая проходит через заданную точку и имеющая угловой коэффициент k. 22). Запишите уравнение прямой, проходящей через 2 точки. 23). Запишите формулу угла между двумя прямыми. 24). Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 20 25). Запишите формулу расстояния от точки до прямой. Часть 2. Практическая работа 2.1 Цели работы научиться производить действия над векторами; научиться находить скалярное произведение двух векторов, угол между векторами; научиться составлять общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через 2 точки; научиться применять условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых для решения задач. 2.2 Порядок выполнения работы 2.1 Проработать теоретический материал по теме. 2.2 Ответить на контрольные вопросы. 2.3 Получить вариант задания. 2.4 Выполнить задание. 2.5 Оформить отчёт о работе. 2.3 Указания к оформлению Отчёт по практической работе выполняется на листах А4 (210х297) и должен содержать: точное наименование работы; цель работы; ход работы (условие задачи); результаты работы (подробное решение задач); вывод Отчёт должен быть сдан не позднее 3-х дней со дня проведения работы. 21 2.4 Варианты заданий Вариант 1 1. Дано: a(2;0;1) и b 5i j 2k . Найти модуль вектора 2a b . 2. Будет ли вектор c 3i j перпендикулярен вектору d 2i j k . 3. При каких значениях m и n вектор a(3;7; m) будет коллинеарен вектору b(6; n;4) ? 4. Найти cos(a,2b) , если a(2;0;0) ; b(1;1;1) . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если она образует с положительным направлением оси 0х угол α=450. 6. Треугольник задан вершинами А(-1;3), В(2;1), С(5;1). Найти уравнение медианы AN. 7. Определить косинус угла между прямыми L 1 : 3х-2у+6=0; L2: х+5у-1=0 Вариант 2 1. Дано: c i 2 j 3k и d 4i j k . Найти модуль вектора 3c d . 2. Будет ли вектор a 2i j перпендикулярен вектору b(1;1;2) . 3. При каких значениях α и β вектор m(5; ;2) будет коллинеарен вектору n i 6 j 4k ? 4. Найти cos(a,2b) , если a(2;1;3) ; b 2i j k . 5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой 2х+5у-1=0. 6. Составить уравнение высоты СК в треугольнике АВС: А(1;2), В(5;-2), С(3;1). 7. Составить уравнение стороны АВ в треугольнике АВС таком же, что и в предыдущем задании. 22 Вариант 3 1. Дано a 2i j 4k и b i 3k . Найти скалярное произведение a (b 3a) . 2. При каком значении β вектор m(9;3;5) будет коллинеарен вектору n(3;1; ) ? 3. При каком значении α вектор p(0;3;5) будет перпендикулярен вектору q(1;5; ) ? 4. Дано: p 5; q 2; ( p, q) 900 . Найти скалярное произведение 3q p 2q 4 p. 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-3;1), В(4;-2) 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3;-2) параллельно заданной прямой L: у=-(1/2)х-2. 7. Определить угол между прямыми L 1 : 2х-у+9=0; L2: х+2у-1=0 Вариант 4 1. Даны вектора a 2i j k и b 3i 2k . Найти модуль вектора a 2b . 2. Будет ли вектор c(2;5;1) перпендикулярен вектору d (0;5;1) ? 3. Дано c 3; d 6; (c, d ) 30 0 . Найти скалярное произведение c d 3c . 4. При каком значении m вектор a(m;3;4) будет коллинеарен вектору b(2;6;8) ? 5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой 2х-3у+1=0. 6. Найти координаты точки пересечения прямых L 1 : 3х-2у+3=0; L2: х+2у-7=0. 7. Составить уравнение прямых, проходящих через точку А(-3;2) перпендикулярно осям координат. 23 Вариант 5 1. Дано m 4; n 6; (m, n) 60 0 . Найти скалярное произведение 2m m 2n . 2. Дано c3;2;1 и d 0;1;5 . Найти скалярное произведение 3c (c 2d ) . 3. При каком значении α вектор p(2; ;0) будет перпендикулярен вектору q(1;3;1) ? 4. Даны вектора a 2i j k и b 3i k . Найти модуль вектора a 2b . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2;1), В(-3;-2). 6. При каком значении k прямые L1 и L2 перпендикулярны, если L 1 : у=2х-5; L2: у=kх+1. 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А и середину отрезка CD, если А(1;-1), С(2;-3), D(4;-2). Вариант 6 1. Дано: p 7i 2 j k и q 3i 6 j 3k . Найти косинус угла между векторами 2 p и(1/3) q . 2. Найти модуль вектора c 2i 3 j 4k . 3. Дано a5;1;2 и b i j . Найти скалярное произведение 2a (a 2b) . 4. Будет ли вектор c(3;2;4) коллинеарен вектору d (6;4;8) ? 5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной данной прямой 2х-5у+1=0. 6. Составить уравнение стороны АС в треугольнике АВС: А(2;-2), В(1;3), С(4;-2). 7. Составить уравнение медианы АК в треугольнике АВС таком же, что и в предыдущем задании. 24 Вариант 7 1.Дано: p i 2 j 3k и q 6i 4 j 2k . Найти косинус угла между векторами 2 p и(1/2) q . 2. Найти модуль вектора 2 p , если p1;3;7 . 3. Дано a3;1;2 и b 3;1;4 . Найти скалярное произведение a b (3a b) . 4. Будет ли вектор c(30;4;2) коллинеарен вектору d (15;2;1) ? 5. Составить уравнение сторон АВ и АС в треугольнике АВС: А(1;2), В(0;-3), С(2;6). 6. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной данной прямой 3х-2у-5=0. 7. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если она образует с положительным направлением оси 0х угол α=300. Вариант 8 1. Дано: a3;2;1 и b4;5;2 . Найти косинус угла между векторами 2a и b. 3c , если c2;3;1. d 0;5;1 . Найти скалярное 2. Найти модуль вектора 3. Дано c1;2;4 и произведение d (2c d ) . 4. Дано p 2; q 4; ( p, q) 60 0 . Найти скалярное произведение 3q p q . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(0;1), N(2;-3). 6. Составить уравнение прямых, проходящих через точку P(-2;3) перпендикулярно осям координат. 7. При каком значении k прямые L1 и L2 перпендикулярны, если L 1 : у=-5х+1; L2: у=kх-6. 25 Вариант 9 1. Дано: a3;1;5 и b0;4;2 . Найти косинус угла между векторами 3a и (1/2) b . 2. Найти модуль вектора 3. Дано m 2i j 4k произведение 3n (m n) . 2c , если c i 2 j 3k . и n 3i 2 j k . Найти скалярное 4. Дано p 4; q 3; ( p, q) 180 0 . Найти скалярное произведение p q 2 p . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно ему, если А(1;3), В(2;5). 6. Составить уравнение стороны АВ в треугольнике АВС: А(-2;-1), В(0;4), С(3;-2). 7. Составить уравнение медианы АК в треугольнике АВС таком же, что и в предыдущем задании. Вариант 10 1. Дано c 3; d 4; (c, d ) 90 0 . Найти скалярное произведение 2c d c 2d . 2. Дано m2;1;4 и n 2i j k . Найти скалярное произведение m n (m 2n) . 3. При каком значении β вектор a(3;1;6) будет перпендикулярен вектору b( ;2;0) ? 4. Даны вектора c2;1;0 и d 3;1;4 . Найти модуль вектора c 2d . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-2;1), В(3;-4). 6. Определить угол между прямыми L 1 : у=3х+4; L2: 2х+у-5=0 7. В треугольнике АВС: А(2;-1), В(-3;-2), точка пересечения высот М(-1;1). Составить уравнение стороны АС. 26 1.Дано Вариант 11 c 3; d 4; (c, d ) 60 0 . Найти скалярное произведение d c 2d . 2.Дано a2;1;4 и b 3i 3k . Найти скалярное произведение 2a b (a b) . 3. При каком значении m и n вектор c(3;n;2) будет коллинеарен вектору d mi 3 j 2k ? 4. Даны вектора c2;1;3 и b 1;1;4 . Найти модуль вектора 3c b . 5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой 3х-2у+7=0. 6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если она образует с положительным направлением оси 0х угол α=450. 7. Определить угол между прямыми L 1 : у=3х+4; L2: у=-2х+1. Вариант 12 1. Дано a 2; b 3; (a, b) 60 0 . Найти скалярное произведение 3a a 2b . 2. Дано a2;1;1 и b i 2 j 3k . Найти скалярное произведение a b (2a b) . 3. При каком значении α вектор a(2;1;0) перпендикулярен вектору b(2 ;1;3) ? 4.Даны вектора a2;0;1 и b3;1;4.Найти модуль вектора 2a 3b . 5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой 3х-у5=0. 6. Составить уравнение высоты ВD в треугольнике АВС: А(2;-1), В(-3;2), С(5;4). 7. Составить уравнение стороны АВ в треугольнике АВС таком же, что и в предыдущем задании. 27 Вариант 13 1.Дано a 3i j k и b 5i 4 j . Найти скалярное произведение 2a (a 2b) . 2. Даны вектора c5;3;2 и d 1;2;4 . Найти модуль вектора c 2d . 3. При каком значении α и β вектор вектору c(2; ;3) будет коллинеарен d 3i j k ? 4. Дано: p3;1;2 и q4;2;1 . Найти косинус угла между ними. 5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой 5х-7у+1=0. 6.Доказать, что прямые L1║L2, L1: 10х-4у-1=0; L2: у=(5/2)х-1/4. 7. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если она образует с положительным направлением оси 0х угол 300. Вариант 14 1. При каком значении m вектор вектору a(5;m;20) будет коллинеарен b2;4;8 ? 2. Будет ли вектор c(2;1;1) перпендикулярен вектору d (2;4;3) ? 3. При каком значении α равны между собой модули векторов p(3; ;0) ; q(0;5;0) . 4. Дано: a 5i 2 j 4k ; b i 3 j . Найти a (b 3a) . 5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой 5х-2у+7=0. 6. Составить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка MN перпендикулярно ему, если M(2;-1), N(5;-2). 7. Составить уравнение медианы АD в треугольнике АВС: А(2;1), В(-3;-1), С(4;-3). 28 Вариант 15 c(2;4;8) будет 1. При каком значении m вектор коллинеарен вектору d i m j 4k ? 2. Будет ли вектор c(7;2;4) перпендикулярен вектору d (0;2;1) ? 3. При каком значении α равны между собой модули векторов p(1;3;0) ; q( ;2;0) . 4. Найти cos( 2m, n) , если m(3;1;4) ; n 2i 5 j 6k . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(0;2), В(1;2). 6. При каком значении k прямые L1 и L2 перпендикулярны, если L 1 : 3х-у+2=0; L2: у=kх+1. 7. Найти угловой коэффициент прямой 3х-2у-7=0. Вариант 16 1. При каком значении m вектор вектору a(2; m;4) будет коллинеарен b 3;12;6 ? 2. Будет ли вектор c(1;2;3) перпендикулярен вектору d (2;3;1) ? 3. При каком значении k равны между собой модули векторов p 3i j ; q k i 8 j ? 4. Дано: c 2i j ; d 4i 5 j k . Найти 3c (c 2d ) . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(0;2), В(-3;0). 6.Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой х=3. 7. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой у=2. 29 Вариант 17 1.Дано: p2;4;0 и q 6;2;2 5 . Найти косинус угла между ними. 2. При каком значении α и β вектор вектору a( ;1; ) будет коллинеарен b 4i 3 j k ? 3. Дан вектор a 2i 3 j 4k . Найти модуль вектора 3a . 4. Дано p 2; q 3; (a, b) 45 0 . Найти скалярное произведение p 5q 3 p 2q . 5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой -2х3у+7=0. 6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если она образует с положительным направлением оси 0х угол 600. 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А отрезка АВ перпендикулярно ему, если А(2;-1), В(-3;-2). Вариант 18 1.Дано: p 3i j 4k и q 4i j 3k . Найти косинус угла между ними. 2. При каком значении α и β вектор a 2i j 4k будет коллинеарен вектору b 6i 8 j k ? 3. Дан вектор a 3i 2 j 4k . Найти модуль вектора 2a . 4. Дано: a 3i 2 j 4k ; b i 3 j . Найти 2a (a 2b) . 5. Определить взаимное положение прямых L1 и L2, если L 1 : 2х+3у+6=0; L2: 4х+6у-5=0. 6. Определить тангенс угла между прямыми L 1 : 3х-у+1=0; L2: х+у5=0. 7. Найти координаты точки пересечения прямых L 1 : х+у-4=0; L2: 2х+у-7=0. 30 Вариант 19 1.Дано: p 2i 3 j 4k и q i j k . Найти косинус угла между векторами 2 p и q. 2. При каком значении α и β вектор p ;1;4будет коллинеарен вектору q(2;3; ) ? 3. Даны вектора c2;1;4 и d 0;3;5 . Найти модуль вектора c 2d . 4. При каком значении α вектор p(3; ;0) перпендикулярен вектору q(6;8;1) ? 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;3), В(2;-3). 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3;-1) и имеющую такой же угловой коэффициент, как и прямая 2х-у-6=0. 7. Доказать, что прямая L1 перпендикулярна прямой L2, если L 1 : 2х-3у+1=0; L2: 3х+2у-7=0. Вариант 20 1. Даны вектора a2;1;1 и b3;0;4 .Найти модуль вектора a 2b . 2. Даны вектора c3;8;4 и d 0;2;16 . Будут ли они перпендикулярны? 3. При каком значении m и n вектор c3;m;2 будет коллинеарен вектору d ni 2 j 4k ? 4. Найти cos(m,2n) , если m 2i j 4k ; n i 2 j 3k . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если она образует с положительным направлением оси 0х угол α=-600. 6. Определить взаимное положение прямых L1 и L2, если L 1 : у=(2/5)х-2; L2: 2х-5у+9=0. 7. Найти координаты точки пересечения прямых L 1 : 3х+у-3=0; L2: х-у-5=0. 31 Литература 1 Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов.- М.: Наука, 1991.- 420 с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений.М.: Высшая школа, 1997.-250 с. 3. Богомолов Н. В. Математика.- Москва: Дрофа, 2006.- 396 с. 4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1-М.: ОНИКС 21 век,2003.-304 с. 5. Омельченко В. П. Математика.- Ростов н/Д: Феникс, 2007.-380 с. 6. Циркунов А.Е. Справочник по математике. -С.-П.: Питер, 2000.160с. 7. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. -М.: Просвещение, 1992.- 328 c. 32