Моделирование траектории полета космических аппаратов».

Лабораторная работа № 10
«Моделирование траекторий космических аппаратов с помощью
компьютера»
Цель работы: смоделировать на компьютере орбиты искусственных
спутников Земли, траектории полётов космических аппаратов к Луне, и
простейшие траектории межпланетных перелётов. Сделать фотографии
орбит.
Оборудование: компьютер.
Немного теории
1.
Орбиты искусственных спутников Земли
При рассмотрении кинематики периодического движения такого, как
вращение Земли и других планет вокруг Солнца, движение спутников
планет, мы предполагали, что их скорости вращения известны. Теперь нам
предстоит рассчитать эти скорости, полагая, что единственной силой,
удерживающей планеты вблизи Солнца в Галактике, является сила
гравитационного притяжения. Начиная с некоторой скорости V1, названной
первой космической ( или круговой) скоростью, тело удаляется от Земли.
становясь ИСЗ, оно движется вокруг неё по круговой орбите.
Первая космическая ( круговая ) скорость-минимальная скорость,
которую надо сообщить телу у поверхности Земли ( или небесного тела),
чтобы тело могло двигаться вокруг Земли ( или небесного тела) по круговой
орбите.
Например: движение «стационарного» спутника «Экран», постоянно
находящегося над определённой точкой земного экватора происходит по
круговой орбите. Он обеспечивает передачу телевизионных программ в
малонаселённые районы Сибири, где нет приёмных станций системы
«Орбита».
Если начальная скорость тела превысит круговую скорость, то тело
удаляется от Земли на большое расстояние, однако сила гравитации удержит
его вблизи Земли. При этом тело, оставаясь спутником Земли, движется по
эллиптической орбите, вытянутой вдоль направления, перпендикулярно
направлению начальной скорости.
Например: движение спутников типа «Молния», запускаемых по
весьма вытянутым орбитам с апогеем над Северным полушарием на высоте
около 40000 км. Вдали от Земли спутник движется значительно медленнее,
чем вблизи от неё, и большую часть своего периода обращения находится
над территорией нашей страны, регулярно обеспечивая радиосвязь и
телевизионное вещание .
Скорость, с которой тело способно вырваться в космическое
пространство, преодолев притяжение Земли, т.е. удалиться от Земли на
бесконечно
большое
расстояние
–
вторая
космическая
скорость
При запуске ракеты с поверхности Земли со скоростью большей
второй космической, ракета преодолевает гравитационное притяжение
Земли, имея на бесконечно большом расстоянии от неё определённую
скорость. В этом случае ракета движется по гиперболической траектории.
Возможные траектории ракеты при
разной горизонтальной начальной скорости
показаны на рисунке. Строго говоря,
движение тел со скоростью, меньше первой
космической, происходит по эллипсу, у
которого фокус находится в центре Земли.
Фактором, препятствующим гравитационному
притяжению тел, является их скорость и
соответственно
кинетическая
энергия.
Планеты и кометы Солнечной системы
движутся по эллиптическим орбитам вокруг
основного
центра
гравитационного
притяжения Солнца.
Параболическая скорость – это скорость, с которой тело, двигаясь по
незамкнутой кривой, будет бесконечно удаляться от центрального тела.
Скорость движущегося тела по мере удаления стремится к нулю.
2.
Полёты космических аппаратов (К. А.) к Луне.
Для достижения Луны пригодны скорости, превышающие вторую
космическую скорость (11,2 км/с), однако полёты к Луне возможны и с
меньшими скоростями (10,9 км/с – 11,9 км/с), при которых космический
аппарат движется по очень вытянутой эллиптической орбите. При расчёте
траектории полёта космического аппарата необходимо учитывать движение
Луны по своей орбите, иначе аппарат может пройти мимо Луны. Контроль за
полётом космического аппарата осуществляется с Земли радиометодами. В
случае отклонения от расчётной траектории аппарату необходимо сообщить
некоторый дополнительный импульс путём включения его двигателя. Нельзя
полагать, что весь путь к Луне К А пролетает со скоростью запуска, т.е. 11
км/с. Притяжение Земли всё время уменьшает эту скорость, значение
которой при входе К А в зону лунного притяжения снижается до 0,2 – 0,5
км/с. Затем лунное притяжение снова разгоняет аппарат, и при подлёте к
Луне его скорость возрастает до 2,5 – 3.0 км/с. При мягкой посадке на
лунную поверхность эта скорость гасится тормозными двигателями аппарата.
Таким образом время полёта к Луне составляет не 10 часов ( как было бы при
скорости 11км/с), а 2,5 – 3 суток. При выводе аппарата на окололунную
орбиту (создание искусственного спутника Луны) Скорость снижается
тормозным двигателем до 1,6 – 2,0 км/с в зависимости от выбранной орбиты.
Принципы осуществления полётов к Луне
показаны на рисунке
.
3.
Траектории межпланетных перелётов.
Мы знаем, что скорость движения Земли по орбите составляет 29,8
км/с (30 км/с).Если геометрическая сумма скоростей К А и скорости Земли
будет больше указанного значения, то К А пойдёт по внешней орбите
относительно земной орбиты, т. Е. аппарат полетит в сторону внешней
планеты. Если эта сумма будет меньше, то в сторону внутренней планеты.
Простейшие (Полуэллиптические) траектории полёта с Земли к планетам
показаны
на
рисунке:
Большие оси этих траекторий проходят через Солнце, которое лежит в одном
из их фокусов. Перигелии и афелии траекторий лежат на орбитах Земли и
планеты. На практике такие траектории перелётов оказываются
невыгодными, т. К. небольшая ошибка в скорости запуска приводит к
значительному отклонению К А от расчётной траектории. Наиболее
выгодными оказываются траектории, несколько отличающиеся от
простейших. Они обычно и реализуются при запусках К А. Примерная
продолжительность перелёта К А вычисляется по третьему закону Кеплера,
а затем уточняется для конкретной траектории. Зная продолжительность
перелёта можно указать взаимное расположение Земли и планеты в моменты
старта К А и его сближения с планетой. Продолжительность перелёта К А
«Венера» составляла около 3 – 4 месяцев во всех, совершённых за последние
годы полётах. Полёт «Кьюриосити» на Марс продолжался ? месяцев.
Задание 1.
Смоделировать на компьютере орбиты искусственных спутников
Земли.
Задание 2.
Смоделировать траектории полётов космических аппаратов к Луне. \
Задание 3.
Смоделировать на компьютере простейшие траектории межпланетных
перелётов.
Модель расчета траектории
Траектория полета КА определяется численным интегрированием системы
дифференциальных уравнений движения точки в невращающейся геоэкваториальной
геоцентрической системе прямоугольных координат в поле притяжения Земли, Луны и
Солнца с учетом главной гармоники С20. Эта система уравнений имеет вид:
dr / dt = V, dV / dt = - E r / r3 + aE + aM + aS.
(5.1)
Здесь r, v – радиус-вектор и вектор скорости КА, r = |r|, aE , aM , aS – возмущающие
ускорения, вызванные нецентральностью поля тяготения Земли, притяжением Луны,
Солнца
[19].
Интегрирование
системы
(5.1)
производится
методом
ИПМ
им.
М.В.Келдыша РАН [20], с определением координат Луны и Солнца по JPL – эфемеридам
DE403. При этом используется среднее равнодействие и средний геоэкватор стандартной
эпохи J2000.0. Расчет ведется с двойной точностью.
Характеристики «обходного» полета к Луне
Приведем некоторые характеристики двух из полученных автором траекторий
«обходного» полета от Земли к Луне. Для одной траектории (T1) осуществляется довольно
быстрый захват КА Луной, для другой (T2) сравнительно долгий.
На рис. 6 - 10 приведены характеристики первого варианта. Рис. 6 дает проекцию
геоцентрической траектории на плоскость XY. Отлет от Земли (r0  6578 км) происходит
1.1.1997 г. КА отлетает от Земли на расстояние rmax  rmax  1,54106 км. После этого КА
летит к Луне, при этом перигейное расстояние под влиянием Солнечной гравитации
увеличивается до r  480 тыс. км, большая полуось достигает значения a  890 тыс.км,
затем уменьшается. После подлета КА к Луне на расстояние   182 тыс. км в течение ~
2,6 сут его селеноцентрическая скорость V уменьшается от ~ 0,4 км/с до 0 при   105
тыс. км. Далее, в течение ~ 14 сут. происходит эволюция окололунной эллиптической
орбиты. Через ~ 130,5 сут. полета КА приходит в периселений конечной орбиты, для
которой rf = 1838 км, rf = 75072 км, аf = 38455 км, i = 900,  = -450 (относительно
геоэкваториальной селеноцентрической системы координат). Полет является полностью
пассивным после отлета от Земли. Основные характеристики траекторий этого типа
приведены в третьем столбце таблицы 1 (стр. 9).
Рис. 6. Геоцентрическая траектория Т1 полета от Земли к Луне
в проекции на плоскость XY.
Задание 3.
Смоделировать на компьютере простейшие траектории межпланетных
перелётов.
Примечание:
Для корректного выполнения данной лабораторной работы нам потребуется
компьютерная программа - Баллистический редактор "Орбита 1.2". Скачать
данную программу можно по этой ссылке. Предупреждение: данная
программа работает исключительно на 32-разрядной операционной системе
семейства Windows.
1)Установив и запустив программу, мы можем наблюдать данное окно
2)Нажав на кнопку «Сфера», из режима карты переходим в режим
глобуса, как показано на картинке
3)Далее, используя инструмент «Двигать курсором» а также с помощью
кнопок увеличения/уменьшения настройте желаемый вид
4)Затем, выбрав нужную вам орбиту, отключите инструмент «Двигать
курсором» нажав на него еще раз, и кликните мышкой по значку
понравившейся вам орбиты. При правильной работе, откроется окно
«Протокол баллистической траектории», в котором при желании можно
указать интересующие вас параметры, как показано на картинке.
5) После проделанных изменений нажмите «ОК», и увидите построенную
вами
орбиту,
для
удобства
откорректируйте
вид
на
орбиту.
6) После всего этого нажмите кнопку «Пуск времени» и наслаждайтесь
просмотром.
Для предоставления отчетов по проделанной лабораторной работе , следует
делать своевременные «Скриншоты».