ЕГЭ по математике В 9. В 9. 1. На рисунке изображен график

ЕГЭ по математике В 9.
В 9. 1. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (−6;5).
В какой точке отрезка [−5;−1] f(x) принимает
наименьшее значение?
Решение. На отрезке [−5;−1] производная
функции принимает положительные значения,
следовательно, функция на этом отрезке строго
возрастает и минимальное значение принимает
в левом конце отрезка, то есть в точке −5. Ответ: -5
В 9. 2. На рисунке изображен график производной
функции y = f(x), определенной на интервале (–9;4).
Найдите количество точек, в которых касательная
к графику функции f(x)параллельна прямой y=2x−17
или совпадает с ней.
Решение. Если касательная параллельна прямой
y=2x−17 (или совпадает с ней), то ее угловой
коэффициент равен угловому коэффициенту
этой прямой, т.е. 2. Но угловой коэффициент
касательной к графику функции есть производная
этой функции в точке касания.
Следовательно, надо найти количество точек,
в которых производная равна 2, что нетрудно,
если дан график этой производной (см. рис.) Ответ: 2.
В 9. 3. На рисунке изображен график функции у = f(x),
определенной на интервале (-7; 5).
Определите количество целочисленных значений
аргумента, при которых производная функции f(x)
отрицательна.
Решение. Производная отрицательна там, где функция
убывает, то есть график функции идет вниз.
По условию задачи, нас интересуют пересечения графика
с вертикальными линиями сетки. Таких точек на рисунке 4 .
А именно: -5, -2, 2, 3. Ответ 4.
ЕГЭ по математике В 9.
В 9. 4. На рисунке изображен график
функции у = 𝑓 ! (х), определенной
на интервале (-8; 8).
Найдите количество точек
экстремума функции f(x),
принадлежащих отрезку [−4; 6]
Решение. На рисунке изображен
график производной.
Экстремумам функции соответствуют
точки, в которых производная
обращается в 0 и при этом меняет знак.
На отрезке [-4, 6] таких точек две. Ответ 2.
В 9. 5. На рисунке изображен график
функции у = 𝑓 ! (х), определенной
на интервале [−8; 4].
Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой у = 5 – х
или совпадает с ней.
Решение. На рисунке изображен
график производной.
Касательная к графику
функции f(x)параллельна прямой кx+b в тех точках, где значение производной равно к.
В данном случае к = -1.
Точек, в которых значение производной равно -1 (т.е. где график производной пересекает
горизонталь y=-1) на рисунке 3. Ответ 3.
В 9. 6. На рисунке изображен график
производной функции y = f (x),
определенной на интервале (–8; 3).
Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой y = -20.
Решение. На рисунке изображен график
производной. Касательная к графику
функции f(x) параллельна прямой
кx+b в тех точках, где значение
производной равно к. В данном случае к = 0 [b = -20, но это для решения не важно].
Точек, в которых значение производной равно 0 (т.е. где график производной пересекает ось
абсцисс) на рисунке 2. Ответ 2
ЕГЭ по математике В 9.
В 9. 7. На рисунке изображен график
производной функции y = f (x),
определенной на интервале (–9; 9).
Найдите количество точек минимума
функции f(x) на отрезке [−6; 8]
Решение. На рисунке изображен
график производной.
Минимумам функции соответствуют
точки, в которых производная
обращается в 0 и при этом меняет знак с минуса на плюс. На отрезке [-6, 8] такая точка одна. Ответ 1
В 9. 8. На рисунке изображен график
производной функции y = f (x),
и касательная к нему в точке с
абсциссой х0 .
Найдите значение производной
функции f (x) в точке х0 .
Решение. Значение производной с
точке х0 совпадает с тангенсом
угла наклона (он же – угловой
коэффициент) касательной в точке х0 .
Эта касательная изображена на рисунке.
Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной
решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-5, -5) и (1, -2) соответственно (точки
перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются
противоположными вершинами, имеют «длины» 1 – (-5) = 6 (горизонтальная) и
(-2) – (-5) = 3 (вертикальная).
Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны положительна, т.к. большему значению абсциссы
соответствует большее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = 3/6 = 0,5 Ответ 0,5.
В 9. 9. На рисунке изображен график
производной функции y = f (x), и касательная
к нему в точке с абсциссой х0 .
Найдите значение производной
функции f (x) в точке х0 .
Решение. Значение производной с точке х0
совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой
коэффициент) касательной в точке х0 .
Эта касательная изображена на рисунке.
Вычисление углового коэффициента облегчается тем,
что касательная проходит через два узла
целочисленной решетки. Эти точки имеют
координаты (-4, -4) и (4, -6) соответственно
(точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс).
Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – (-4) = 8
(горизонтальная) и (-6) – (-4) = -2 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к.
большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты.
Тангенс угла наклона касательной t = (-2)/8 =- 0,25. Ответ - 0,25.
В 9. 10. На рисунке изображен график
функции у = 𝑓(х), определенной
на интервале (−6; 8).
Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой у = х + 7
или совпадает с ней.
Решение. На рисунке изображен график
производной. Касательная к графику
функции f(x)параллельна прямой ax+b
в тех точках, где значение производной
равно a. В данном случае a = 1. Точек, в которых значение производной равно 1 (т.е. где график
производной пересекает горизонталь y=1) на рисунке 4. Ответ 4.
В 9. 11. На рисунке изображен
график производной функции f (x),
определенной на интервале (-14; 9)
Найдите количество точек
максимума функции
f (x) на отрезке [−12; 7]
Решение. На рисунке изображен
график производной.
Максимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет
знак с плюса на минуса. На отрезке [-12, 7] таких точек три. Ответ 3.
В 9. 13. На рисунке изображен
график производной функции f (x),
определенной на интервале (-10; 8)
Найдите количество точек
экстремума функции
f (x) на отрезке [−9; 7]
Решение. На рисунке изображен
график производной.
Экстремумам исходной функции
соответствуют точки, в которых
производная обращается в 0.
На отрезке [-9, 7] таких точек четыре. Ответ 4.
Пояснение. Это точки -8, -3, 3 и 5. В точках -8 и 3 слева от точки (то есть, при меньших значениях x) значение
производной положительно, а справа от точки (то есть, при больших значениях x) значение производной
отрицательно. Значит, до точки функция растет, а после точки - убывает. Таким образом, точки -8 и 3 - это
точки максимума. Аналогично можно понять, что точки -3 и 5 - точки минимума.