1.4.п.4

§ 4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых
чисел.
П. 1. Наибольший общий делитель целых чисел.
По свойству делимости целых чисел: a, b  Zab  (a)(b). Поэтому при
изучении вопроса о делимости целых чисел можно ограничиться
рассмотрением только целых положительных чисел. В частности, всюду
дальше мы будем рассматривать только положительные делители целых
чисел.
Определение 1. Целое число  называется общим делителем целых чисел
a1 , a2 ,..., ak , если каждое из этих чисел делится на  ; обозначение  = ОД
( a1 , a2 ,..., ak ). Число делителей каждого числа конечное множество и число
общих делителей нескольких чисел тоже множество конечное.
Определение 2. Наибольшее из ОД ( a1 , a2 ,..., ak ) называется наибольшим
общим делителем чисел a1 , a 2 ,..., a k и обозначается d=НОД (a, b).
Определение 3. 1). Целые числа a1 , a 2 ,..., a k называются взаимно простыми,
если НОД ( a1 , a2 ,..., ak ) = 1. В частности числа a и b взаимно просты, если
НОД (a, b)=1.
2). Целые числа a1 , a2 ,..., ak называются попарно взаимно простыми, если
каждое из этих чисел взаимно просто с любым другим из них, т.е. если НОД
(ai, aj) =1, при i  j.
Свойства НОД.
10. Если a  b  q  r ,то НОД (a, b)= НОД (b, r). В частности, если ab , то НОД
(a, b)=b.
20. d=НОД (a, b) равен последнему отличному от нуля остатку rk в алгоритме
Евклида (способ последовательного деления чисел).
Доказательство. 1). Если a не делится на b, то по теореме о делении с
остатком разделим a на b:
a  b  q1  r1,0  r1  b,
2). Если b не делится на r, то b  r1  q2  r2 ,0  r2  r1.
3). Если r1 не делится на r2, то r1  r2  q3  r2 ,0  r3  r2 и т. д.
. . . . . . . . . . . .
n). Если rn-2 не делится на rn-1, то rn  2  rn 1  qn  rn ,0  rn  rn 1.
n+1). Если rn-1 не делится на rn , то rn 1  rn  qn 1, rn 1  0 .
Этот процесс последовательного деления не может продолжаться
бесконечно, так как в противном случае множество натуральных чисел
b>r1>r2>…>rn-2>rn-1>rn…
не будет иметь наименьшего числа, а это
противоречит принципу наименьшего числа.
Следовательно, НОД (a, b)= НОД (b, r) = НОД (r1, r2)=НОД (rn-1, rn)=rn.
Следствие. 1).   ОД (a, b) является делителем НОД (a, b).
Определение. (равносильное определению НОД).
d=НОД (a, b), если 1. ad , bd , то есть d=ОД (a, b).
2.   ОД (a, b) является делителем d.
Мы рассмотрели алгоритм Евклида, чтобы закончить обсуждение,
необходимо оценить сложность алгоритма Евклида в нескольких особых
случаях. Первые оценки сложности алгоритма Евклида принадлежат Ламе.
Эта теория проста и вполне доступна студенту первого курса университета,
но заставляет прибегнуть к последовательности Фибоначчи. Эта теория
также провоцирует вопрос: «существуют ли оптимальные алгоритмы
вычисления НОД?» и приводит к появлению понятий квазиевклидова кольца
и квазиалгоритма. Наконец, теорема Дирихле порождает идею плотности пар
целых простых чисел, полезная вещь для тех, кто хочет вычислить НОД
более чем двух целых чисел.
Теорема Ламе (Lame, 1844) (оценка наихудшего случая для алгоритма
Евклида). Количество делений, которое нужно выполнить для нахождения
наибольшего общего делителя двух целых чисел, не превосходит количества
цифр в меньшем числе, умноженного на пять, то есть если k – число
операций последовательного деления в алгоритме Евклида, необходимых для
НОД(a,b),то оно удовлетворяет любому из следующих условий:
3
2
1) k  5 lg a , 2) k  log 2 a .
Приведем еще одну оценку наихудшего случая для алгоритма Евклида
(Абрамов, 1979; Wilf, 1986).
Теорема. Пусть a и b - целые положительные числа и М= max( a, b) .
Количество делений, которое нужно выполнить для нахождения НОД(a,b), не
превосходит 2 log 2 M   1 .
Пример. Оценим число делений, необходимое для вычисления (144,89)
и (21,13). По теореме Ламе в обоих случаях число делений меньше, чем
5  2  10 ; используя же последнюю теорему, получаем, что число делений в
первом случае не больше 15, во втором – не больше 9; на самом деле (144,89)
вычисляется после 9 делений, а (21,13) – после 5.
2). НОД (m  a, m  b)  m  НОД (a, b).
a b
( a, b)
3). Если  =ОД (a,b), то НОД ( , ) 
, в частности,
 

a b
d d
d=НОД (a, b)  НОД ( , )  1 .
4). Если d=НОД (a, b), то x, y  Z , что a  x  b  y  d . В частности, НОД
(a, b)=1  x, y  Z , что a  x  b  y  1 .
Из 20 следует существование НОД чисел a и b, причем НОД (a, b)
единственен, так как если d=НОД (a, b) и d1=НОД (a, b), d  d1 и d1  d , то
по свойствам делимости d=d1 на множестве натуральных чисел.
30. Нахождение НОД (a, b) является бинарной алгебраической операцией,
обладающей следующими свойствами.
1). НОД (a, b)= НОД (b, a) – коммутативность
2). НОД (НОД (a, b),, c)= НОД (a, НОД (b, c)) – ассоциативность
40. Если НОД (a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, … НОД (dn-1,an)=dn, то dn=НОД(a1,
a2,, …, an).
Таким образом, нахождение наибольшего общего делителя нескольких
чисел сводится к нахождению наибольшего общего делителя двух чисел.
П.2. Взаимно простые числа.
Свойства.
10. a, b, c  Z (a, b)  (c, b).
(a  c, b)(c, b);
(a, b, c)  (c, b)  
(c, b)(a  c, b).
Докажем, что (a  c, b)(c, b).
Доказательство.
I.
c  (c, b) 60  (a  c)  (c, b) defОe


(c, b) 

b

(
c
,
b
)
b

(
c
,
b
)


defНef
Сл .1НОД
( a ,b ) 1
(a  c, b  c)  ОД (a  c, b  c) 

(a  c, b  c)  (a  c, b)  c(a, b)  (ac, b) 

c(a  c, b). (*)
Тогда
b(a  c, b) defОe
, (*)
НОД
(a  c, b) defНef


(a  c, b)  ОД (c, b) СЛ
.1
(c, b)(a  c, b).
c

(
a

c
,
b
)

0
2 . a, b, c  Z (a, b)  1, (a, c)  1  (a, b  c)  1.
Следствие. a, bi  Z i  1, k (a, bi )  1  (a, b1  b2  ...  bk )  1.
30. a, b  Z (a  b)c, (b, c)  1  ac.
40. a, b  Z ab, ac, (b, c)  1  a(b  c).
п.3. Наименьшее общее кратное.
Определение 1. Целое число М называется общим кратным чисел a1, a2, …, ak ,
если оно делится на каждое из этих чисел, т.е. M ai , i  1, k , обозначим
M=ОК (a1, a2, …, ak).
Определение 2. Наименьшее из ОК (a1, a2, …, ak) называется наименьшим
общим кратным этих чисел, обозначим m=НОК (a1, a2, …, ak) или m=[a1, a2,
…, ak].
В частности, наименьшее из ОК (a, b) называется НОК (a, b)=[a, b].
a b
Теорема. a, b  
.
( a, b)
Доказательство.
пустьd  ( a , b )
a  a1  d
b  b1  d
( a1 , b1 )1.
M a def 
M ak
M  ОК (a, b) defОe


 M  ar , k  Z def



 Z 
b
b
M b
30 вз.пр.
k b1
k  b1 t , tZ
a  k a1  d  k a  k
a k a b t
M
a b


 Z  1  1 1  a1  t   a1  t  M  a1  b  t  M 
 t, t 
b
b1  d
b1
b1
b1
b
d
a b
a
при t=1 m 
, m  ОК (a, b) , т.к. m   b  mb
d
d
m  a
b
 m a.
d
Следовательно, m  НОК (a, b).
Следствие. 1). ОК (a, b) НОК (a, b).
Определение. m  НОК (a, b) , если 1) m  ОК (a, b).
1) ОК (a, b)m.
2). a  k , b  k   k  a, b.
 a b  a, b
3).  ,  
, где k  ОД (a, b).
k
k k 
4). a, b  b, a.
5). Если a1 , a2   m2 , m2 , a3   m3 ,..., mk 1 , ak   mn , то a1 , a2 ,..., ak   mk .
Таким образом, нахождение наименьшего общего кратного нескольких чисел
сводится к нахождению наименьшего общего кратного двух чисел.
Упражнения.
1. Пользуясь определением, установите, чему равен НОД чисел a и 0.
2. Что можно сказать о сравнительной величине остатков r1, r2, …rn в
алгоритме Евклида?
3. Почему процесс последовательного деления в алгоритме Евклида
конечен?
4. Как понимать, что НОД двух чисел является их линейной комбинацией?
5. Какая разница между понятиями:»взаимно простые числа» и «попарно
взаимно простые числа»?т Какое из этих понятий является следствием
другого? В каком случае эти два понятия совпадают?
6. Существует ли такая пара целых чисел x и y, что 6  x  8  y  1 ?
7. Найти НОД и НОК чисел:
1) 846 и 246; 4) 1001 и 6253; 7) 1232 и 1672;
2) 1960 и 588; 5) 360 и 504;
8) 132 и 22;
3) 546 и 231; 6) 2520 и 6600; 9) 861 и 456.
Примечание. В упражнениях 1, 3, 5, 7, 9 выразить НОД через исходные
числа.
8. Найти НОД и НОК чисел:
1) 315, 420 и 630; 3) 529, 1541 и 1817;
2) 420, 126 и 525; 4) 2585, 7975 и 13915.
9. Сократить дроби:
1)
1491
21120
17501
111
; 2)
; 3)
; 4)
.
2247
30720
11137
21120
10.Доказать, что если a и bвзаимно простые, то
1) НОД (a+b,a-b) равен 1 или 2;
2) НОД (a  b, a · b)=1;
3) НОД (a+b,a2+b2- a · b) равен 1 или 3.
11.Доказать, что две положительные несократимые дроби равны тогда и
только тогда, когда равны соответственно их числители и знаменатели.
12.Доказать несократимость дроби:
1)
21  n  4
16  m  5
a3  2  a
; 2) 4
; 3)
.
2
14  n  3
24  m  3
a  3 a 1
13.При каких натуральных n сократима дробь
8  n  71
?
5  n  46
14.Доказать иррациональность чисел:
1) 7 ; 2) 3 5 ; 3) log418.
15.Туристы прошли в первый день 36 км, во второй – 32 км и в третий 24 км,
причем, каждый день они были в пути целое число часов. Сколько часов
они были в пути, если их скорость выражалась целым числом километров
в час, была постоянной и наибольшей из возможных?
16.Привести к общему знаменателю следующие дроби:
а)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
;
;
; б)
;
;
; в)
;
;
.
750 1240 1675
875 1640 1975
173 1201 101
17.Две шестерни с 12 и 37 зубцами находятся в сцеплении и вращаются.
Через сколько оборотов один и тот же зубец большой шестеренки будет
попадать в данную впадину малой шестеренки?
18.В три школьных киоска отправили по одинаковому числу тетрадей. Для
одной школы отправили тетради пачками по 150 штук в каждой пачке, для
второй по 100 штук, а для третьей школы – по 200 штук в каждой пачке.
Сколько тетрадей отправили каждой школе, если число тетрадей,
отправленных всем школам, меньше 2000?
19.Сколько яблок лежит в корзине, если при раскладывании их по 2, по 3, по
4, по 5 и по 6 всегда остается одно яблоко, а при раскладывании по 7 не
остается ни одного лишнего яблока?
20.Даны чмсла: a  10  23n  2  35n , b  10  22n 1  5n 1 . При каких n
2  n 1
5 ?
НОД (a, b)= 2
21.Даны числа A  25n 3  35n  2 , Б  10  82n  52( n 1) . При каких n
НОК (a, b)= 25n  3  52n 1  7 n  2 ?
22.Решить в натуральных числах следующие системы уравнений:
 x  y  150;
1) 
 НОД ( x, y )  30;
n
 x 11
 ;
5)  y 13
 НОД ( x, y )  5;

 x  y  8400;
 НОД ( x, y )  20;
2) 
 x  y  667;
3) 
 НОД ( x, y )  120;
 НОК ( x, y )  75;
 x  y  375;
4) 
 НОД ( x, y )  5;
 НОК ( x, y )  105;
6) 
7)
 НОК ( x, y )  224;

x 7
y  8;

НОД ( x, y )  НОК ( x, y )  84;
 x  y  60.
8) 
23.Тесты для самоконтроля.
1) Пусть НОД (a+b,2·b)=d. Укажите верные и неверные утверждения:
1.1.
d=НОД (a, b);
1.2.
d=НОД (2·a, a-b);
1.3.
d=2 · НОД (a, b);
1.4.
k  N d=k· НОД (a, b);
1.5.
d =2 · НОД (a+b, a).
2) Пусть k, k+1, k+2 – три последовательных натуральных числа. Укажите
верные и неверные утверждения:
2.1. k  N НОД (k , k  1, k  2)  1;
2.2. k  N НОД (k , k  1, k  2)  3;
2.3. k  N НОД (k , k  1, k  2)  k  (k  1)  (k  2);
k  (k  1)  (k  2)
;
2.4. k  N НОД (k , k  1, k  2) 
2
k  (k  1)  (k  2)
;
2.5. k  N НОД (k , k  1, k  2) 
3
3) Пусть НОД (a+b,НОК(a, b))=d. Укажите верные и неверные утверждения:
ab
;
2
3.2. d  НОК (a, b);
3.3. d  НОД (a, b);
a b
;
3.4. d 
НОК (a, b)
3.1. d 
3.5. d  НОД (a  b, a  b).
№ 24. Доказать, что a  b  c  a,b,c  ab, ac,bc .
№ 25. Доказать, что a ,b  a ,c  b,c  a,b  a,c  b,c  a 2  b 2  c 2 .
№ 26. Доказать, что для целых положительных чисел a1 , a2 ,..., an
a1 , a 2 ,..., a n   A , где
A
, i  1, n .
ai
d
№ 27. Доказать, что a ,b  N a  b  a,b  a,b. При каких значениях a и b
A  a1  a 2  ...  a n , Ai 
достигается равенство?
№ 28. Пусть n - натуральное число. Найти наибольший общий делитель
чисел
C n1 ,C n2 ,..., C nn1 .
№ 29. В вершинах куба записали восемь попарно различных натуральных
чисел, а на каждом его ребре - наибольший общий делитель двух чисел,
записанных на концах этого ребра. Может ли сумма всех чисел, записанных в
вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, стоящих на ребрах?
№ 30. Доказать, что a1 , a2 ,..., an  
a1  a2  ...  an  (a1 , a2 , a3 )  (a1 , a2 , a4 )  ...
(здесь
(a1 , a2 )  (a1 , a3 )  ...  (an1 , an )  (a1 , a2 , a3 , a4 )  ...
в числителе стоит произведение исходных чисел, наибольших общих
делителей их троек, пятерок и т.д., а в знаменателе – произведение всех
наибольших общих делителей пар исходных чисел, их четверок и т.д.).
№ 31. Доказать, что (n! k , n! m)  (k , m) , если k , m  n .
№ 32. а) Пусть p и q - различные простые из промежутка (1, n) . Тогда
n! p, n! q  n!2  ( p  q)n! pq .
б) если p и q - простые и ( p, q )  1 , то аналогичная формула имеет место.
2

n!
в) если же ( p, q)  d  1 , то n! p, n! q  
d

pq
n! p, q  .
d