Основные методы решения уравнений и неравенств в школьном курсе

1
Е.В.Бедарькова,
учитель математики
МБОУ СОШ №19 г. Белово
Основные методы решения уравнений и неравенств
в школьном курсе
В школьном курсе математики основными методами решения
уравнений и неравенств являются: разложение на множители, замена
переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов,
использование формул, графический. Кроме основных методов при решении
уравнений и неравенств используют специальные. К ним можно отнести
применение свойств функций, таких как монотонность, н6епрерывность,
четность и нечетность, выпуклость, наибольшие и наименьшие значения и
т.п. Ниже приводится описание основных методов решения.
Использование формул
При решении квадратных уравнений в школьном курсе используются
формулы корней квадратного уравнения и теорема Виета.
Чаще всего полные квадратные уравнения вида aх 2  bx  c  0 решают
с помощью формулы корней квадратного уравнения:
х
b D
, где D  b 2  4ac .
2a
Если дискриминант D>0, то уравнение имеет два корня, если D=0, то
уравнение имеет один корень, а если D<0, то уравнение не имеет корней.
Пример 1. Решить уравнение
12 х 2  7 х  1  0 .
Найдем дискриминант:
D  7 2  4  12  1  1 ,
D>0.
Применим формулу корней квадратного уравнения:
7 1
,
24
 7 1
х
,
24
1
1
х1   , х 2   .
3
4
х
1
3
1
4
О т в е т: х1   , х 2   .
Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является
четным числом, формулу корней удобно записывать в другом виде:
ax 2  2kx  c  0 ,
2
D1  k 2  ac , x 
 k  D1
a
.
Пример 2. Решить уравнение
9 х 2  14 х  5  0 ,
D1  (7) 2  9  5  4 ,
7 4
,
9
72
,
x
9
5
х1  , х2  1 .
9
x
5
9
О т в е т: х1  , х2  1 .
В школьном курсе алгебры изучается еще один способ решения
квадратного уравнения. Для решения приведенных квадратных уравнений
применяют теорему Виета: Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным
знаком, а произведение корней равно свободному члену.
x 2  px  q  0 ,
x1  x2   p и x1  x2  q .
Пример 3. Решить уравнение
х 2  х  12  0 .
Пусть х1 и х 2 - корни уравнения. Тогда
x1  x2  1 и x1  x2  12 .
Если х1 и х 2 - целые числа, то они являются делителями числа  12 .
Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что
х1  3 , х2  4 .
О т в е т: х1  3 , х2  4 .
Следующий изучаемый в школьном курсе класс уравнений – это
дробные рациональные уравнения.
При решении дробных уравнений целесообразно поступать
следующим образом:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на их общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль его общий
знаменатель.
Пример 4. Решить уравнение
2
1
4 х
 2
 2
.
х  4 х  2х х  2х
2
Преобразуем знаменатель:
2
1
4 х
.


( х  2)( х  2) х( х  2) х( х  2)
3
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель х( х  2)( х  2) .
Далее имеем:
2 х  ( х  2)  ( х  2)( 4  х) ,
2х  х  2  4х  х 2  8  2х ,
х 2  5х  6  0 ,
D  25  24  1,
5 1
,
2
х1  2 , х2  3 .
х
Если х  2 , то х( х  2)( х  2) =0; если х  3 , то х( х  2)( х  2)  0 .
О т в е т: х  3 .
С помощью формул решаются также тригонометрические уравнения
и неравенства. Применяются следующие формулы:
Уравнение sin t  a имеет решение:
t  (1) k arcsin a  k , k  Z
.
Уравнение cos t  a имеет решение: t   arccos a  2n , n  Z .
Уравнение tgt  a имеет решение: t  arctga  n , n  Z .
Пример 5. Решить уравнение
cos x 
1
.
2
По формуле
1
x   arccos  2n , n  Z .
2
1
2
Поскольку arccos 

3
, приходим к ответу
x

3
 2n , n  Z
.
О т в е т: x   
3
Пример 6. Решить уравнение
2
  x
.
sin    
2
 10 2 
Функция синус нечетна. Поэтому
2
x  
.
sin    
2
 2 10 
По формуле
Так как

х 
2
  k , k  Z .

 (1) k arcsin  

2 10
2



2

   , имеем:
arcsin  

4
 2 
х 
 

 (1) k     k ,
2 10
 4
 2n ,
nZ .
4
x

5
 (1) k 1

2
 2k , k  Z .
О т в е т: x 

5
 (1) k 1

2
 2k , k  Z .
Разложение на множители
Данный способ чаще всего применяется при решении уравнений
третьей или четвертой степени.
Пример 7. Решить уравнение
х 3  8х 2  х  8  0 .
Разложим левую часть уравнения на множители:
х 2 ( х  8)  ( х  8)  0 ,
( х  8)( х 2  1)  0 ,
( х  8)( х  1)( х  1)  0 .
Отсюда найдем, что данное уравнение имеет три корня:
х1  8 , х2  1 , х3  1 .
О т в е т: х1  8 , х2  1 , х3  1 .
Замена переменной
Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить,
введя новую переменную.
Пример 8. Решить уравнение
( х 2  5 х  4)( х 2  5 х  6)  120 .
Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать
получившееся выражение в многочлен стандартного вида, то получится
уравнение
х 4  10 х 3  35 х 2  50 х  96  0 ,
для которого трудно найти способ решения.
Однако можно воспользоваться следующей особенностью исходного
уравнения ( х 2  5х  4)( х 2  5х  6)  120 : в его левой части переменная х входит
только в выражение х 2  5 х , которое встречается в уравнении дважды. Это
позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной.
Обозначим х 2  5 х через у :
х 2  5х  у .
Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной у :
( у  4)( у  6)  120 ,
которое после упрощения примет вид:
у 2  10 у  96  0 .
Решив данное уравнение, найдем его корни:
5
у1  16 ,
у2  6 .
Теперь производим обратную замену, получаем:
х 2  5х  6
х 2  5 х  16
или
х 2  5 х  16  0
х 2  5х  6  0
D  39  0
x1  1
и
x2  6
корней нет
О т в е т: x1  1, x2  6 .
Метод введения новой переменной легко позволяет решать уравнения
четвертой степени, имеющие вид ах 4  bx 2 c  0 (биквадратные уравнения).
Пример 9. Решить уравнение
9 х 4  10 х 2  1  0 .
Введем замену: х 2  у . Получаем квадратное уравнение с переменной
у:
9 4  10х 2  1  0 .
Решив его, найдем, что
у1 
1
,
9
у2  1 .
Обратная замена:
х2 
1
x1   ,
3
1
9
или
x2 
1
,
3
х2  1
x3  1 ,
x4  1 .
Итак, заданное уравнение имеет четыре корня:
1
1
x1   , x 2  , x3  1 , x4  1 .
3
3
1
1
О т в е т: x1   , x 2  , x3  1 , x4  1 .
3
3
Способы подстановки и сложения
Способ подстановки заключается в следующем:
1) из одного уравнения системы (все равно из какого) выразить одно
неизвестное через другое, например у через х ;
2) полученное выражение подставить в другое выражение системы,
получится одно уравнение с одним неизвестным х ;
3) решив это уравнение, найти значение х ;
4) подставив найденное значение х в выражение для у , найти
значение у .
Пример 10. Решить систему уравнений
6
 х 2  у 2  5,

 ху  6.
Воспользовавшись тем, что х  0 , выразим из второго уравнения
переменную у через х :
у
6
.
х
Подставляем в первое уравнение вместо у выражение
6
. Получим
х
уравнение:
2
6
х     5.
 х
2
Решив его, найдем, что
x1  3 ,
По формуле у 
x2  3 .
6
находим соответствующие значения у :
х
у1  2 ,
у2  2 .
Значит, система имеет два решения:
x1  3 , у1  2 , x2  3 , у 2  2 .
О т в е т:  3;2 , 3;2 .
Для решения системы двух линейных уравнений способом
алгебраического сложения нужно:
1) уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
2) складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно
неизвестное;
3) подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной
системы, найти второе неизвестное.
Пример 11. Решить систему уравнений
4 х  3 у  14,

 х  2 у  2.
(1)
1) Оставляя первое уравнение без изменений, умножим второе
уравнение на 4:
4 х  3 у  14,

4 х  8 у  8.
( 1 )
2) Вычитая из второго уравнения системы ( 1 ) первое уравнение,
11у  22 ,
находим
у  2 .
3) Подставляя у  2 во второе уравнение системы (1), находим
х  2  (2)  2 ,
7
х  2.
О т в е т: х  2 , у  2 .
Переход от равенства функций к равенству аргументов
Данным методом можно решить некоторые показательные и
логарифмические уравнения и неравенства.
Пример 12. Решить уравнение
5х
2
 2 х 1
 25 .
2
 2 х 1
 52 .
Перепишем его в виде
5х
Корнями этого уравнения являются такие числа х , для которых
х 2  2х  1  2 .
Решив его, находим корни уравнения:
x1  1,
x2  3 .
О т в е т: x1  1, x2  3 .
Пример 13. Решить неравенство
0,573 х  4 .
Пользуясь тем, что 0,5 2  4 , перепишем заданное неравенство в виде
0,5 73 х  0,5 2 .
Показательная функция у  0,5 х убывает (основание 0,5 меньше 1).
Поэтому данное неравенство равносильно неравенству
7  3х  2 ,
откуда
x  3.
О т в е т:  ;3 .
Пример 14. Решить неравенство
log 1 5  2 x   2 .
3
Число
2
равно
log 1 9 . Поэтому данное неравенство можно
3
переписать в виде
log 1 5  2 x   log 1 9 .
3
3
Логарифмическая функция с основанием
R ,
так как
1
определена и убывает на
3
1
 1 . Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие
3
числа x , для которых выполнено условие
0  5  2x  9 ,
откуда
 2  x  2,5 .
8
Итак, множество решений заданного неравенства есть интервал
 2;2,5 .
О т в е т:  2;2,5 .
Графический метод
В основе графического метода лежит нахождение точек пересечения
графиков функций левой и правой частей уравнения. Обычно данный метод
применяется тогда, когда графики обеих частей уравнения достаточно просто
строятся и легко находятся точки пересечения этих графиков.
Пример 15. Решить уравнение
х2 
6
.
х
С помощью графиков можно найти приближенные значения корней
6
. Построим в одной координатной плоскости графики
х
6
функций у  х 2 и у  .
х
уравнения х 2 
Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки
пересечения есть то значение переменной х , при котором выражения х 2 и
6
х
принимают равные значения. Значит, абсцисса
графиков функций у  х 2 и у 
точки пересечения
6
является корнем уравнения
х
х2 
6
. Из
х
рисунка видно, что приближенное значение корня равно 1,8.
О т в е т: 1,8.
9
Метод интервалов
Неравенства второй степени с одной переменной в школьном курсе
решают методом интервалов. Пусть функция задана формулой вида
f ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  xn ) ,
где x - переменная, а x1 , x 2 ,…, x n - не равные друг другу числа. Числа x1 , x 2
,…, x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые
область определения разбивается нулями функции, знак функции
сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
( x  x1 )( x  x2 ) ( x  xn )  0
,
(*)
( x  x1 )( x  x2 ) ( x  xn )  0 ,
где x1 , x 2 ,…, x n - не равные друг другу числа.
Пример 16. Решить неравенство
(5 х  1)(5  х)  0 .
Приведем неравенство к виду (*). Для этого в первом двучлене
вынесем за скобки множитель 5, а во втором -1, получим:
1

 5 х   х  5  0 .
5

Разделив обе части неравенства на -5, будем иметь:
1

 х   х  5   0 .
5

1
Отметим на координатной прямой нули функции f ( x)   х  х  5 ,

т.е. точки

1
5
5
и 5, и укажем знаки функции в образовавшихся
промежутках.
Мы видим, что множество решений неравенства состоит из чисел

1
5
и 5 и чисел, заключенных между ними, т. е. представляют собой
1
промежуток  ;5 .
 5 
1
О т в е т:  ;5 .
 5 