УДК 539.375:51.72 АЛЕКСЕЕВ Д.В., КАЗУНИНА Г.А.

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ КЛАСТЕРОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
УДК 539.375:51.72
МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ КЛАСТЕРОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ
В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
АЛЕКСЕЕВ Д.В., КАЗУНИНА Г.А.
Кузбасский государственный технический университет, 650000, г. Кемерово,
ул. Весенняя, 28
________________________________________________________________________________
АННОТАЦИЯ. При помощи моделирования кластерной структуры элементарных повреждений
вероятностным клеточным автоматом исследовано поведение случайных процессов «число элементарных
повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений». Показано, что на временах, превышающих
T / T fin  0,7 , в поведении корреляционных функций этих случайных процессов наблюдаются особенности,
которые можно интерпретировать как предвестники перехода эволюции системы на стадию, непосредственно
предшествующую разрушению.
________________________________________________________________________________________________
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: кластеры элементарных повреждений, вероятностный клеточный автомат, кинетика
накопления повреждений.
ВВЕДЕНИЕ
Прогнозирование разрушения нагруженных материалов по характеристикам
импульсной эмиссии (электромагнитной, акустической) сталкивается со следующей
принципиальной трудностью. Случайный процесс импульсной эмиссии несет информацию о
кинетическом процессе накопления
повреждений, фиксирует образование новых, и
«прорастание» уже имеющихся повреждений, однако, характеристики импульсной эмиссии
не несут непосредственной информации о пространственном распределении элементарных
повреждений, тогда как для прогнозирования разрушения именно пространственное
распределение повреждений представляет главный интерес [12]. Кинетика накопления
повреждений также остается еще недостаточно изученной. Например, при описании
накопления повреждений до сих пор используются модели случайных процессов с
независимыми приращениями (пуассоновский, другие марковские процессы), хотя при
помощи статистики нормированного размаха Херста для импульсной электромагнитной
эмиссии нагруженных материалов установлено, что процесс накопления повреждений нельзя
считать марковским [34].
В настоящее время для исследования процесса накопления повреждений и их
пространственного распределения широко используются разнообразные методы
компьютерного моделирования, например: моделирование кластеров, случайно
размещаемых трещин - отрезков с учетом их ориентации [5, 6], проращивание затравочных
дефектов на целочисленной решетке методами случайного блуждания [7], и т. п.
В то же время, по данным акустической эмиссии известно, что микротрещины в
нагруженных материалах образуются преимущественно на мезоскопическом уровне, а их
средний размер составляет (1, 4  28, 4) 106 м, поэтому процесс перехода разрушения на
макроскопический уровень может быть описан без обращения к подробностям динамики
отдельных элементарных актов, опираясь только на геометрические характеристики
кластерной структуры. Простейшими моделями такого типа являются перколяционные
модели [5], в которых переход на стадию макроскопического разрушения характеризуется
единственным параметром  концентрацией разорванных связей. Важно, что перколяционые
кластеры повреждений имеют сложную хаотическую структуру и описываются
геометрически как фракталы  геометрические объекты с дробной размерностью [9], что
согласуется с экспериментальными исследованиями структуры поверхности разрушения
реальных материалов. Однако, как отмечено в [10], более реалистичная перколяционная
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 11, №3
283
АЛЕКСЕЕВ Д.В., КАЗУНИНА Г.А.
модель разрушения должна в идеале учитывать эффекты взаимодействия отдельных
повреждений. Попытка построения модели динамической перколяции сделана в [11,12], на
основе моделирования кинетического процесса накопления элементарных повреждений и
эволюции их кластерной структуры вероятностным клеточным автоматом, использующим
объектные алгоритмы роста и многократной маркировки кластеров, описанные в [14,15].
В настоящей работе представлены результаты исследования процесса эволюции кластеров
элементарных повреждений при помощи временных автокорреляционных функций.
МОДЕЛЬ: КЛАСТЕРНАЯ СТРУКТУРА И СЦЕНАРИИ
Для моделирования кинетического процесса накопления повреждений использовалась
модель, описывающая конфигурацию элементарных повреждений на целочисленной
решетке. Каждый узел решетки может находиться в двух состояниях  неповрежденном
(свободном) или поврежденном (оккупированном). Элементарные повреждения,
локализованные на соседних узлах, объединяются в кластеры по правилу, определяемому
только геометрией решетки. Текущая конфигурация элементарных повреждений образует
фрактальную кластерную структуру, определяемую числом кластеров и их
характеристиками: числом элементарных повреждений в кластере («массой»),
среднеквадратичным радиусом и локальной плотностью. Эволюция кластерной структуры
повреждений осуществлялась при помощи дискретных временных шагов (циклов), в ходе
которых узлы решетки переходят в поврежденное состояние по правилу, контролируемому
некоторым набором из трех вероятностей: повреждения «свободного» узла решетки;
прорастания периметра кластера на соседние «свободные» узлы; слияния пары
сблизившихся кластеров. Поведение этих вероятностей и определяет конкретный сценарий
моделирования. Эти вероятности могут быть постоянными на протяжении всего процесса
(статические сценарии моделирования), либо изменяться от цикла к циклу (динамические
сценарии). При этом зависимость этих вероятностей образования повреждений на свободных
узлах от внешнего механического напряжения моделировалась при помощи формулы
Журкова
  ( x , t ) 
p ( x , t )  p (T ) exp 
.
 kT 
Кроме того, в так называемом внутреннем динамическом сценарии вероятность
прорастания периметров кластеров на соседние узлы зависела и от безразмерного
среднеквадратичного размера кластера, согласно закону концентрации напряжения вблизи
фронта трещины [13]
 

4
p R 2  p0 exp  av  R 2   .

 kT 
Эволюция кластерной структуры в отдельном цикле осуществлялась при помощи
следующих шагов: путем построчного сканирования свободных узлов решетки
осуществлялась их оккупация с соответствующей вероятностью; периметры кластеров,
образованных в ходе предыдущих шагов проращивались по механизму Хаммерсли – Лиса Александровица; проводилось слияние кластеров, сблизившихся на критическое расстояние.
По завершении этих шагов старая кластерная структура уничтожалась, а по набору всех
оккупированных узлов решетки формировалась новая кластерная структура по алгоритму
многократной маркировки Хошена – Копельмана. При этом происходило обновление всех
характеристик кластерной структуры. В результате каждый временной цикл давал по одной
точке в два основных временных ряда: «число возникших элементарных повреждений»;
«число и числовые характеристики кластеров элементарных повреждений». По полученным
таким образом реализациям этих временных рядов вычислялись их необходимые
характеристики (функции распределения кластеров, статистика нормированного размаха
Херста, корреляционные функции и т.п.). Конечной стадией эволюции являлась
 
284
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 11, №3
МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ КЛАСТЕРОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
конфигурация, в которой образуется кластер, соединяющий противоположные стороны
решетки. Образование соединяющего кластера интерпретировалось как разрушение блока,
а число циклов, необходимых для образования соединяющего кластера, отождествлялось
с временем разрушения.
КИНЕТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Моделирование проводилось на решетке размером 256 256 . Полученные выходные
характеристики случайных процессов усреднялись по десяти реализациям. Наблюдаемая
временная зависимость числа кластеров носит универсальный характер для всех
рассмотренных сценариев (однородный статический, внутренний динамический, внешний
динамический) и имеет вид асимметричного колокола, который наиболее удобно
представлять в нормированных координатах: «число кластеров» / «максимальное число
кластеров» - «число циклов» / «полное число циклов» (рис. 1).
1,2
1
2
3
1,0
N/Nmax
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
T/Tfin
1 - однородный статический; 2 - динамический внешний; 3 - динамический внутренний
Рис. 1. Кинетические кривые числа кластеров элементарных повреждений
для различных сценариев моделирования
Полученная кинетическая зависимость числа кластеров четко разбивается на три
участка: накопление кластеров по квадратичному закону до времени T / T fin  0, 45 ; линейное
убывание числа кластеров вплоть до момента образования соединяющего кластера, начиная
с T / T fin  0,55 ; узкую переходную зону между этими двумя режимами. Как квадратичный,
так и линейный участок кинетической кривой характеризуются высокими значениями
коэффициента детерминации R 2 . Для однородного статического сценария квадратичный
участок аппроксимируется уравнением n  7,65 t 2  5,51 t , ( R 2  0,99 ), а линейный участок
- уравнением n  1, 44 t  1, 71 , ( R 2  0,99 ). При этом временные протяженности
квадратичного и линейного участков примерно одинаковы, а положение максимума числа
кластеров достигается при значениях T / T fin  0,36 . Для динамического внутреннего
сценария начало линейного спада несколько сдвинуто в сторону больших времен,
квадратичный участок кинетической кривой описывается уравнением n  3,83 t 2  3,9 t ,
( R 2  0,99 ), а линейный участок - уравнением n  1,58 t  1,98 , ( R 2  0,99 ). В то время как
для однородного статического и внешнего динамического сценариев число узлов,
оккупированных за цикл, возрастает незначительно, для внутреннего динамического
сценария число оккупированных за цикл узлов растет от цикла к циклу, а скорость этого
роста резко увеличивается перед образованием соединяющего кластера (рис. 2).
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 11, №3
285
АЛЕКСЕЕВ Д.В., КАЗУНИНА Г.А.
Сравнительный анализ автокорреляционных функций временного ряда «число
кластеров» показывает, что для всех рассмотренных режимов моделирования характер
корреляционной функции числа кластеров носит универсальный колебательный характер:
начальный участок положительной корреляции длительностью T / T fin  0, 2 сменяется
участком отрицательной корреляции, длительностью T / T fin  0,5 . Длина участков
отрицательной корреляции возрастает по мере приближения системы к моменту образования
соединяющего кластера. При этом во всех сценариях моделирования при T / T fin  0, 7
у корреляционной функции числа кластеров появляется второй участок положительной
корреляции (рис. 2).
1,3
1
1,1
0,9
2
3
4
0,7
0,5
0,3
0,1
-0,1 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-0,3
-0,5
T/Tfin
Рис. 2. Сравнительное поведение кинетических кривых числа оккупированных ячеек (1),
числа кластеров элементарных повреждений (2), корреляционных функций
числа оккупированных ячеек (3) и числа кластеров элементарных повреждений (4)
для динамического внутреннего сценария моделирования
В то же время корреляционная функция случайного процесса «число элементарных
повреждений» существенно зависит от сценария моделирования. Для однородного
статического сценария, характеризуемого нулевыми значениями вероятностей прорастания
периметров и слияния кластеров, характерно отсутствие долговременных корреляций на
начальных этапах эволюции системы при малой плотности элементарных повреждений
(рис. 3). Однако по мере приближения к разрушению на корреляционной функции числа
оккупированных ячеек появляется протяженные участки положительной и отрицательной
корреляции, свидетельствующие о возникновении в системе долговременных корреляций.
Аналогично ведет себя такая корреляционная функции и для динамического внешнего
сценария, тогда как для динамического внутреннего сценария наличие долговременных
корреляций обнаруживается уже на начальном этапе эволюции системы.
Поскольку корреляционные функции случайного процесса «число элементарных
повреждений» (импульсов эмиссии) являются экспериментально наблюдаемыми
характеристиками процесса накопления повреждений, в них и следует искать особенности,
характеризующие переход к необратимому разрушению. Сравнение корреляционных
функций этого процесса с корреляционными функциями процесса «число кластеров
элементарных повреждений», показывает (рис. 2, 3), что середина участка отрицательной
корреляции процесса «число элементарных повреждений» соответствует появлению второго
участка положительной корреляции процесса «число кластеров» и началу линейного участка
кинетической кривой числа кластеров, которые и характеризуют начало перехода к
необратимому разрушению.
286
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 11, №3
МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ КЛАСТЕРОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
1,2
1
1
0,8
0,6
2
0,4
0,2
0
0,00
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
-0,2
-0,4
-0,6
a)
T/Tfin
1,2
1,0
1
0,8
2
0,6
0,4
0,2
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
-0,2
-0,4
b)
T/Tfin
1,2
1
1
0,8
2
0,6
0,4
0,2
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,2
-0,4
-0,6
T/Tfin
c)
a) T / T fin  0,13 ; b) T / T fin  0, 7 ; c) T / T fin  1, 0
Рис. 3. Сравнение корреляционных функций случайных процессов «число элементарных
повреждений» (1) и «число кластеров элементарных повреждений» (2)
для однородного статического сценария моделирования
ВЫВОДЫ
Показано, что кинетическая кривая числа кластеров имеет три явно выраженных
участка: накопление кластеров по квадратичному закону, линейный спад и узкая переходная
зона.
Установлено, что корреляционная функция для случайного процесса «число
кластеров» на конечной стадии эволюции имеет универсальный характер типа «затухающего
колебания» с одним отрицательным и двумя положительными участками, в то время как
корреляционная функция случайного процесса «число элементарных повреждений» имеет
лишь по одному участку положительной и отрицательной корреляции.
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 11, №3
287
АЛЕКСЕЕВ Д.В., КАЗУНИНА Г.А.
Сопоставление эволюции корреляционной функции случайного процесса «число
элементарных повреждений» (импульсов эмиссии) с кинетической кривой числа кластеров
показало, что прохождение корреляционной функции через локальный минимум можно
рассматривать как качественный критерий перехода эволюции ансамбля повреждений на
стадию, непосредственно предшествующую разрушению.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Томилин Н.Г., Дамаскинская Е.Е., Куксенко В.С. Формирование очага разрушения при деформировании
гетерогенных материалов (гранитов) // ФТТ. 1994. Т. 36, № 10. С. 31013112.
2. Веттегрень В.И., Куксенко В.С., Томилин Н.Г. и др. Статистика микротрещин в гетерогенных
материалах (граниты) // ФТТ. 2004. Т.46, № 10. С. 1793  1796.
3. Алексеев Д.В., Егоров П.В Персистентность накопления трещин при нагружении горных пород и
концентрационный критерий разрушения // Докл. АН. 1993. Т.333, № 6. С. 779  780.
4. Алексеев Д.В., Егоров П.В., Иванов В.В. и др. Херстовская статистика временной зависимости
электромагнитной эмиссии при нагружении горных пород // ФТПРПИ. 1993. № 5. С. 45  49.
5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 2. М. : Мир, 1990. 400 с.
6. Мартынюк П.А., Шер Е.Н., Башеев Г.В. Статистическое моделирование кинетики разрушения твердого
тела при растяжении // ФТПРПИ. 2000. № 4. С.69  80.
7. Nishiuma S., Miyazima S. Dynamic scaling for crack growth in a medium containing many initial defects //
Physica A. 2000. V 278, № 3–4. P. 295  303.
8. Федер Е. Фракталы. М. : Мир, 1991. 260 с.
9. Гиляров В.Л. Фликкер-эффект, фрактальные свойства разрушающихся материалов и проблема
прогнозирования разрушения // ФТТ. 1994. Т.36, № 8. С. 2247 2251.
10. Штремель М.А., Авдеенко А.М., Кузько Е.И. О развитии вязкого разрушения как самоорганизации с
вырождением размерности // ФТТ. 1995. Т.37, № 12. С.3751  3754.
11. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным
клеточным автоматом // ФТТ. 2006. Т.48, №2. С. 255 – 261.
12. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных
материалах: моделирование вероятностным клеточным автоматом // ФТПРПИ. 2006. №1. С. 49 – 60.
13. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Том 1, 2 / Под ред. Ю.Мураками. М. : Мир,
1990. 1014 с.
14. Алексеев Д.В. Компьютерное моделирование физических задач в Microsoft Visual Basic. М. : СолонПресс, 2004. 508 с.
15. Алексеев Д. В. Компьютерное моделирование на Microsoft Visual Basic.Net с примерами из физики,
хаотической динамики и фрактальных кластеров. М. : Солон-Пресс, 2008. 567 с.
________________________________________________________________________________________________
SIMULATION OF KINETICS CLUSTERS OF DAMAGE IN LOADED MATERIALS
Alekseev D.V., Kazunina G.A.
Kuzbass state technical university, Kemerovo, Russia
SUMMARY. The kinetic dependences of damage number, damage cluster number and evolution of time correlation
functions were researched with a probabilistic cellular automaton in loaded materials. It was shown, that by meaning
T / T fin  0, 7 the behavior of time correlation functions observes peculiarity, that can be interpreted as presage of
transition evolution of system to the stade preceding destruction.
KEYWORDS: the damage clusters, the probabilistic cellular automaton, the kinetics of damage accumulation.
________________________________________________________________________________________________
Алексеев Дмитрий Валентинович, доктор технических наук, профессор КГТУ, е-mail: adv.kvm@kuzstu.ru
Казунина Галина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент КГТУ,
тел. (3842) 58-06-86, е-mail: kga.math@kuzstu.ru, gt-kga@yandex.ru
288
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 11, №3