Форма входного воздействия

Московский Технический Университет
Связи и Информатики
Курсовая работа по ОТЦ на тему
«Методы анализа электрических цепей
при негармоническом воздействии»
Москва 2009
Задание:
R1 = 50 Ом
L1 = 24 мГн
С = 4 мкФ
L2 = 24 мГн
R2 = 50 Ом
Форма входного
воздействия:
U=1В
τ = 1 мс
1) Представить входное воздействие в виде линейной комбинации
единичных ступенчатых функций.
3
  10
u ( t) 
1 if t  
( 1) if   t  2 
0 if 2   t  3 
( 1) if 3   t  4 
0 if t  4 
2
1
u( t )
0
1
2
0
110
3
210
3
310
t
3
410
3
510
3
𝑈(𝑡) = 1(𝑡) − 2 ∙ 1(𝑡 − 𝜏) + 1(𝑡 − 2𝜏) − 1(𝑡 − 3𝜏) + 1(𝑡 − 4𝜏)
1, t  0
1(t )  
0, t  0
2) Определить комплексную спектральную плотность входного
воздействия, построить графики спектральных плотностей амплитуд
и фаз (амплитудного и фазового спектров), 0 ≤ ω ≤ 3π/τ

Fвх ( j )   U (t )  e  jt dt
0
Из свойства линейности преобразования Фурье следует, что комплексная
спектральная плотность сигнала U (t )  U (t ) может быть определена как

сумма комплексных спектральных плотностей
парциальных сигналов Uυ(t), т.е.
Fвх ( j )   F ( j ) . Поэтому, если сигналы Uυ(t) выбрать так, чтобы они

удовлетворяли
условию uυ(t) = aυ U(t - υτ), то с учётом теоремы запаздывания
выражение для спектральной плотности входного воздействия можно записать в
следующем виде:
Fвх ( j )  F ( j ) a  e  j

1
𝐹вх (𝑗𝜔) =
(1 − 2𝑒 −𝑗𝜔𝜏 + 𝑒 −2𝑗𝜔𝜏 − 𝑒 −3𝑗𝜔𝜏 + 𝑒 −4𝑗𝜔𝜏 )
𝑗𝜔
2 sin(   )  sin( 2  )  sin( 3  )  sin( 4   )
A( ) 
B( ) 

( 1  2 cos (   )  cos ( 2   )  cos ( 3  ) )  cos ( 4  )

F( ) 
2
A( )  B( )
2
3
F(  )
2.510
3
2.2510
3
210
3
1.7510
3
1.510
3
1.2510
3
110
4
7.510
4
510
4
2.510
0
0
3
210
3
3
410
610

3
810
 ( )  atan 
B( ) 

 A( ) 
2
1.5
1
0.5
 ()
0
 0.5
1
 1.5
2
210
0
3
410
3
610
3
810
3

3) Определить комплексную передаточную функцию цепи, построить
графики передаточных АЧХ и ФЧХ, 0 ≤ ω ≤ 3π/τ
𝒛𝑹𝟏
𝒛𝑪
i1
i3
i2
𝒛𝑳𝟏
𝒛𝑳𝟐,𝑹𝟐
Составим систему уравнений по закону Кирхгофа:
𝑖1 𝑧𝑅1 + 𝑖2 𝑧𝐿1 = 𝑈вх
𝑖3 (𝑧𝐶 + 𝑧𝐿2,𝑅2 ) = 𝑖2 𝑧𝐿1
𝑖3 𝑧𝐿2,𝑅2 = 𝑈вых
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
{
𝑧𝑅1 = 𝑅1 ; 𝑧𝐿1 = 𝑗𝜔𝐿1 ; 𝑧𝐶 =
1
;
𝑗𝜔𝐶
𝑖3 =
𝑈вых
𝑧𝐿2,𝑅2
𝑖2 =
𝑖3 ∙ (𝑧𝐶 + 𝑧𝐿2,𝑅2 )
𝑧𝐿1
𝑖1 =
𝑈вых ∙ 𝑧𝐶
𝑈вых 𝑈вых
+
+
𝑧𝐿2,𝑅2 ∙ 𝑧𝐿1
𝑧𝐿1
𝑧𝐿2,𝑅2
𝑖1 =
𝑈вх
𝑈вых ∙ 𝑧𝐶
𝑈вых
−
−
𝑧𝑅1 𝑧𝐿2,𝑅2 ∙ 𝑧𝑅1 𝑧𝑅1
𝑧𝐿2,𝑅2 =
𝑗𝜔𝐿2 𝑅2
𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2
𝑈вх
𝑈вых ∙ 𝑧𝐶
𝑈вых
𝑈вых ∙ 𝑧𝐶
𝑈вых 𝑈вых
−
−
=
+
+
𝑧𝑅1 𝑧𝐿2,𝑅2 ∙ 𝑧𝐿1
𝑧𝑅1
𝑧𝐿2,𝑅2 ∙ 𝑧𝐿1
𝑧𝐿1
𝑧𝐿2,𝑅2
H ( jw) 
( jw)3 L2 RC
2( jw)2 RLC  ( jw)3 L2C  R  jwL  jwRL  ( jw)2 L2  R( jw)3 L2C
1
H( ) 
  1 
R2  j   L2

2
  L2 C R2
  1  R1  1  R2  j   L2 

 j   L1

j   L1 
j   L2 R2 

R1
H1( )  H( )
0.4
H1(  )
0.2
0
3
210
0
410
3
610
3
3
810

 ( )  arg( H( ) )
4
3
2
1
 ( ) 0
1
2
3
4
0
3
210
410
3
610
3
3
810

4) Определить комплексную спектральную плотность выходного
напряжения (реакции) цепи, построить графики амплитудного и
фазового спектров
0 ≤ ω ≤ 3π/τ
Fвых ( j )  Fвх ( j )  H ( j )
1
Fâûõ ( ) 
j 
 1  ( 2e)
R2  j   L2
2
  L2 C R2
 j  
  1 

e
 2 j    
e
 3 j    
e
 4 j    

  1  R1  1  R2  j   L2 

 j   L1

j   L1 
j   L2 R2 

R1
F1( )  Fâûõ( )
4
F1(  )
610
4
5.45454510
4
4.90909110
4
4.36363610
4
3.81818210
4
3.27272710
4
2.72727310
4
2.18181810
4
1.63636410
4
1.09090910
5
5.45454510
0
0
210
3
410
 ( )  arg( Fâûõ( ) )
3
610

4
3
2
1
 () 0
1
2
3
4
0
210
3
410
3
610

3
810
3
3
3
810
5) Определить функцию мгновенных значений напряжений на
выходе цепи, построить график, 0 ≤ t ≤ 6τ
1
U в ых (t ) 
2

F
в ых
( j )  e jt d

6250





3


1250i 21 
( R2  p  L2) 
R1 
1
R2  p  L2 


p 1 
  p  p  R1  p  L1  p  L2 R2  solve p   1250 
3

2
p  L1 



p  L2 C R2


 1250  1250i 21 
3


M (0) 3 M ( p k ) pk t

e
N (0) k 1 N ( p) p  p
U вых (t ) 
k
Из найденных корней мы видим, что три корня комплексно сопряжённых
Если среди корней уравнения N(p)=0 имеются комплексно сопряжённые
*
корни pk и p k , то при вычислении соответствующих им слагаемых в
суммах выражений достаточно определить удвоенное значение
действительной части одного (любого) из этих слагаемых т.е.
*
M(p )

M ( pk ) pk t M ( p k ) pk t
e 
e  2Re  ' k e pk t 
*
'
N ( pk )
 N ( pk )

N '( p )
k
N ( p ) 
( R2  p  L2)
2
p  L2 C R2
p0  
 p   1 

  p  p  R1  1  R2  p  L2 



p  L1 
p  L2 R2 
 p  L1
R1
p1  1250 
6250
1250i 21
3
q ( p ) 
3
1
 d N(p ) 


 dp

q( p1)  0.327i
q( p0)  0.5
u1( t)  q( p0)  e
p0 t

 2Re q( p1)  e
p1 t

u0( t) 
u1( t) if t  
( u1( t)  2 u1( t   ) ) if   t  2
( u1( t)  2 u1( t   )  u1( t  2 ) ) if 2  t  3
( u1( t)  2 u1( t   )  u1( t  2 )  u1( t  3 ) ) if 3  t  4
( u1( t)  2 u1( t   )  u1( t  2 )  u1( t  3 )  u1( t  4 ) ) if t  4
1
u0( t )
u( t )
0
1
3
210
0
410
3
610
3
t
6) Определить L-изображение входного воздействия
U вх ( p)  U ( p) a e  p

𝑈вх (𝑝) =
1
(1 − 2𝑒 −𝑝𝜏 + 𝑒 −2𝑝𝜏 − 𝑒 −3𝑝𝜏 + 𝑒 −4𝑝𝜏 )
𝑝
7) Определить операторную передаточную функцию цепи,
нарисовать ее нуль-полюсную диаграмму и операторную схему
замещения цепи.
H( p ) 
1
R2  p  L2
2
p  L2 C R2
  1 

  1  R1  1  R2  p  L2 

 p  L1

p  L1 
p  L2 R2 

R1
Эта функция не имеет нулей и имеет 3 полюса:
p1= -2.083*103
p2= -1.25*103+1.909i*103
p3= -1.25*103-1.909i*103
8) Определить L-изображение реакции цепи, перейти от Lизображения реакции цепи к оригиналу, построить график функции
мгновенных значений напряжения на выходе цепи, 0 ≤ t ≤ 6τ
U вых ( p)  U вх ( p)  H ( p)
Uvih 
1  ( 2e)
R2  p  L2
2
p  L2 C R2
 p
  1 

e
 2 p  
e
 3 p  
e
 4 p  
  1  R1  1  R2  p  L2 

 p  L1

p  L1 
p  L2 R2 

R1
1
Uâûõ ( t )
u( t )
0
1
0
3
3
210
410
t
610
3
9) Определить переходную и импульсную характеристики цепи,
построить их графики 0 ≤ t ≤ 6τ
h(t ) 
H ( p)
p
h (t )  H ( p)
1
h ( p ) 
R2  p  L2
2
p  L2 C R2
 p   1 

  p  R1 p   1  R2  p  L2 

 p  L1

p  L1 
p  L2 R2 

R1
0.4
0.2
h( t )
0
 0.2
 0.4
0
3
210
410
3
3
610
t
Импульсная характеристика hδ(t) является реакцией цепи на входное
воздействие в виде δ-функции, изображение которой равно 1.
h (t ) 
d
h(t )
dt
100
50
h( t )
0
 50
 100
0
3
210
410
3
3
610
t
10) Пользуясь интегралом Дюамеля, рассчитать реакцию цепи на
заданное входное воздействие, построить график функции
мгновенных значений напряжений на выходе цепи 0 ≤ t ≤ 6τ
Реакцию цепи на входное воздействие
 f (t ) ïðè t  0
U âõ (t )  
 0 ïðè t  0
Где f(t) – функция времени, можно определить с помощью интеграла
Дюамеля:
t
U âûõ (t )  f (0)h(t )   f ( )h(t   )d
0
Заданная функция входного воздействия кусочно-непрерывная, имеет
пять интервалов непрерывности:
u ( t) 
1 if t  
( 1) if   t  2 
0 if 2   t  3 
( 1) if 3   t  4 
0 if t  4 
Uâûõ ( t) 
h ( t) if t  
( h ( t)  h ( t   ) ) if   t  2
( h ( t)  h ( t   )  h ( t  2 ) ) if 2  t  3
( h ( t)  h ( t   )  h ( t  2 )  2 h ( t  3 ) ) if 3  t  4
( h ( t)  h ( t   )  h ( t  2 )  2 h ( t  3 )  h ( t  4 ) ) if t  4
1
Uâûõ ( t )
u( t )
0
1
0
3
3
210
410
610
3
t
11) Сравнить результаты, полученные при анализе цепи различными
методами.
Расчет цепи произведен тремя методами. Результаты анализа при
различных методах совпадают.