Таблица интегралов для Функций, содержащих a+bx в целой степени и... a2+x2; a2-x2; a+bx2

Таблица интегралов для Функций, содержащих a+bx в целой степени и функции, содержащие:
a2+x2; a2-x2; a+bx2
Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (а+bx)
Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (а^2+x^2)
Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (а^2-x^2)
Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (x^2-a^2)
Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из многочлена
Таблица интегралов для других алгебраических функций.
Таблица интегралов для функций, которые содержат в себе показательные и тригонометрические
функции
Таблица интегралов для функций, которые содержат в себе показательные и тригонометрические
функции.
Талица интегралов для функций, содержащих логарифмические функции.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на
множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а
вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к
привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.
Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a =
x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем
произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел
интегральных сумм ΘR при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е.
(1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение
интеграла по Риману.
a – нижний предел.
b – верхний предел.
f(x) – подынтегральная функция.
λR - длина частичного отрезка.
σR – интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.
λR - максимальная длина част. отрезка.
Определение интеграла на языке , δ:(по "Коши") Число I – называется определённым интегралом
от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b
]: λR < δ, выполняется неравенство: |I- σR | = |∑n-1i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I
= ∫abf(x)dx
[править]
Геометрический смысл
Определённый интеграл как площадь фигуры
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми
x = a и x = b и графиком функции f(x).
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо
ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только
начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше
начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.
В общем виде определенный интеграл записывается так:
Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы
интегрирования.
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой
.
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой
.
Отрезок
называется отрезком интегрирования.
Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному
интегралу.
Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка,
предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что
определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая
популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти
число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы НьютонаЛейбница:
Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на
протяжении всего урока.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию
внимание, что константа
(неопределенный интеграл). Обратите
в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение
является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла,
по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись
применения формулы Ньютона-Лейбница.
? Подготовка для
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию:
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию:
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность
, то есть, находим число.
Готово.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например, интеграла
не существует, поскольку отрезок интегрирования
не входит в
область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть
отрицательными). А вот менее очевидный пример:
так как в точках
,
отрезка
. Такого интеграла тоже не существует,
не существует тангенса.