Расчет железобетонных конструкций

Лекция №_______
РАСЧЕТ ОБЫЧНЫХ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ВТОРОЙ
ГРУППЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ
При проектировании железобетонных конструкций надо обеспечить не
только их прочность (первая группа предельных состояний), но и необходимую
трещиностойкость и жесткость (вторая группа предельных состояний).
Под трещиностойкостью железобетонных конструкций понимают их
сопротивление образованию и раскрытию трещин.
В зависимости от условий работы элемента и вида применяемой арматуры к трещиностойкости нормальных и наклонных сечений железобетонных
конструкций предъявляют требования, подразделяемые на три категории:
1 к а т е г о р и я – не допускается образование трещин;
2 к а т е г о р и я – допускается ограниченное по ширине непродолжительное раскрытие трещин ( асrс,1  0,2 мм) при условии обеспечения их последующего надежного закрытия (зажатия);
3 к а т е г о р и я – допускается ограниченное по ширине непродолжительное ( аcrc ,1  0,4 мм) и продолжительное ( аcrc,2  0,3 мм) раскрытие трещин.
Под непродолжительным раскрытием трещин понимают их раскрытие
при действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, а под
продолжительным раскрытием – только от постоянных и длительных нагрузок.
Расчет по 1-й категории требований к трещиностойкости производят для
расчетных нагрузок с коэффициентом надежности по нагрузке  f  1,0 (как при
расчете на прочность), расчет конструкций 2-й и 3-й категорий требований к
трещиностойкости ведут на действие расчетных нагрузок по 2-й группе п.с. с
коэффициентом  f  1,0 (численно равных нормативным нагрузкам).
По 1-й категории рассчитывают предварительно напряженные конструкции, находящиеся по давлением жидкостей или газов (резервуары, напорные
трубы), а также эксплуатируемые ниже уровня грунтовых вод при полностью
растянутом сечении. Другие предварительно напряженные элементы в зависимости от условий работы конструкции и вида арматуры должны отвечать требованиям 2-й или 3-й категории. Все конструкции без предварительного
напряжения должны отвечать требованиям 3-й категории.
Наряду с нормальными и наклонными трещинами в конструкциях возможно образование продольных трещин. Для предотвращения их раскрытия
устанавливают специальную поперечную арматуру, кроме того, при назначении
величины предварительного напряжения в стадии обжатия вводят ограничение
 sp  (0,65... 0,85)  Rbp
(1)
1
Конструкции 1-й категории самые долговечные, коррозия арматуры для
них полностью исключается. Но для этих конструкций, при прочих равных
условиях, требуется больше арматуры, особенно напрягаемой, и как правило,
более высокие классы бетона. Поэтому чаще всего применяют самые дешевые
конструкции 3-й категории, если не позволяют условия – 2-й, и, в исключительных случаях, - 1-й.
1.
РАСЧЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН
1.1.
Расчет по образованию нормальных трещин
В основу расчета положена стадия Iа напряженно-деформированного состояния железобетонного элемента.
Предпосылки расчета:
 Считается справедливой гипотеза плоских сечений;
 Напряжения в бетоне растянутой зоны распределены равномерно и
равны величине Rbt , ser ; эпюра напряжений в бетоне растянутой зоне
может быть заменена прямоугольной;
 Наибольшее относительное удлинение крайнего растянутого волокна
принимают равной предельной растяжимости
бетона
bt ,u 
Rbt ,ser
 t  Eb
  t  0,5 
2  Rbt ,ser
Eb
;
(2)
 Эпюра напряжений в сжатой зоне остается треугольной, если отсутствуют неупругие деформации (должно соблюдаться условие (8.7,
Кудзис));
 Напряжения в напрягаемой арматуре в момент образования трещин
определяются как сумма значений предварительного напряжения (с
учетом потерь и коэффициента точности натяжения) и приращения
напряжения за счет деформаций растянутого бетона после погашения
его обжатия:
sp   sp 2   sp  2    Rbt , ser ;
(3)
 Напряжения в ненапрягаемой арматуре предварительно напряженных
железобетонных конструкций равны сумме значений сжимающего
напряжения от усадки и ползучести бетона и приращения растягивающего напряжения за счет деформаций растянутого бетона
(4)
s  (8  9 )  2    Rbt , ser .
2
 Центрально-растянутые элементы
Трещины не образуются, если выполняется условие
N  N crc ,
(5)
где N  усилие от внешней нагрузки;
N crc  усилие трещинообразования, т.е. усилие, воспринимаемое сечением при образовании трещин.
 В элементах без предварительного напряжения:
N crc  Rbt , ser  Ab   s  As  Rbt , ser  ( Ab  2    As ) ,
(6)
2  Rbt.ser  E s
где  s   s  Es  bt ,u  Es 
 2    Rbt , ser .
Eb
 В предварительно напряженных элементах:
N crc  Rbt ,ser  ( Ab  2  ( As   Asp   sp ))  P ,
(7)
где Р  усилие предварительного обжатия.
Величина N crc может быть снижена на 20-30% для учета влияния случайного эксцентриситета.

Изгибаемые элементы
Трещины в бетоне растянутой зоны не образуются, если выполняется
условие:
M  M crc ,
(8)
где M  момент от внешних сил;
M crc  момент трещинообразования, т.е. момент, воспринимаемый сечением при образовании трещин в бетоне растянутой зоны.
Нормы допускают определение величины M crc для предварительно
напряженных элементов при оценке образования нормальных трещин по упрощенной схеме  по методу ядровых моментов.
Изгибающий момент M crc , вызывающий образование трещин в предварительно напряженном элементе, можно представить состоящим из двух слагаемых: момента M 1 , уменьшающего напряжения обжатия до нуля (погашает
действие предварительного обжатия), и момента M 2 , повышающего напряжения в том же волокне от 0 до Rbt , ser :
M crc  M1  M 2 .
(9)
Очевидно, что при отсутствии предварительного напряжения первое слагаемое отсутствует.
При воздействии момента M 1 предполагается упругая работа во всем сечении, эпюра напряжений принимается треугольной как в сжатой, так и в растянутой зоне (рис. 1). Поэтому момент можно выразить формулой сопротивления материалов:
3
где
W

M1  Wred  bp  P   red  e0 p   P  r  ered   M rp ,
 Ared

P

e
P
0p
bp 

 сжимающие напряжения
Ared
Wred
(8)
в бетоне;
M rp  момент сил обжатия относительно более удаленной (верхней) ядровой точки;
r  расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны.
В изгибаемых и внецентренно сжатых сечениях эпюра в сжатой зоне приближается к трапеции вместо принятой в расчете треугольной. В связи с этим
влияние пластических деформаций учитывается в расчете введением уменьшением ядрового расстояния при помощи коэффициента  . В конечном итоге величину r определяют по формуле
W
,
r     red
Ared 

  1,6  b, max / Rb, ser , причем 0,7    1,0 .
(8)
здесь коэффициент
В этой формуле b, max  максимальные напряжения в бетоне сжатой зоны,
вычисляемые как для упругого элемента приведенного сечения;
Rb, ser  сопротивление бетона осевому сжатию.
При определении M 2 принимают эпюру нормальных напряжений в сжатой
зоне треугольной, а в растянутой – прямоугольной с напряжением, равным
Rb, ser . Такая эпюра учитывает наличие в растянутой зоне пластических деформаций и близко соответствует опытным данным. В этом случае
M 2  W pl  Rbt , ser ,
(9)
где W pl - упругопластический момент сопротивления приведенного железобетонного сечения относительно растянутой грани сечения. Он определяется
по формуле
W pl  Wred   ,
(10)
здесь  - коэффициент, учитывающий влияние неупругих деформаций бетона. Определяется в зависимости от формы сечения по таблице. Для прямоугольного сечения  = 0,75.
Окончательно условие трещинообразования для изгибаемых элементов
железобетонных конструкций примет вид
M  M crc  Rbt , ser  W pl  M rp .
Рис.1. Распределение напряжений при действии усилия
(Рис.7.1,б - Попов, Чарыев)
4
M1
Рис.2. Распределение напряжений в предварительно напряженном
элементе ЖБК при образовании трещин (Стр.77 Габрусенко)
1.2.
Расчет по образованию начальных трещин
Начальные трещины появляются в предварительно напрягаемых элементах в стадии изготовления в зоне, растянутой от действия усилия предварительного обжатия. Эта зона в стадии эксплуатации будет работать как сжатая,
но начальные трещины, которые в этой стадии уже закрылись, заметно снижают сопротивление элементов образованию трещин на величину
M crc    M crc ,
(11)
Коэффициент  определяется по формуле   1,5  0,9 /    1   m   0 ,
где  m 
и
 p   W sup
Rbt
, ser
pl
 0,45
P1  e0 p  rinf  M r
Asp  As
y0


 1,4
h  y0 A  A  A'  A'
sp
s
sp
s


здесь y0 - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до крайнего волокна бетона, растянутого внешней нагрузкой.
Расчет на образование нормальных трещин в стадии эксплуатации таким
образом производится по формуле
M    M crc ,
(12)
где коэффициент   1   .
Проверка на образование начальных трещин производится из условия
 p   W sup ,
P1  e0 p  rinf   M r  Rbt
(13)
, ser
pl
где M r  момент от собственного веса. Знак «плюс» принимается, когда
направления этого момента и момента от усилия P1 совпадают, знак «минус» когда направления противоположны (рис. 3).
 p
Rbt , ser при классе бетона, численно равном передаRbt
, ser  значение
точной прочности Rbp .
Wplsup и rinf  пластический момент сопротивления относительно растянутой (верхней) грани и расстояние от центра тяжести приведенного сечения
до ядровой точки, наиболее удаленной от стороны, растянутой усилием P1 .
5
Рис.3. Схема усилий и эпюра напряжений в предварительно напряженном элементе ЖБК при образовании начальных трещин
(Стр.10 Пособия п/н, черт.40)
1.3.
Расчет по образованию наклонных трещин
Расчет по образованию трещин, наклонных к продольной оси, выполняют как для сплошного упругого тела, т.е. в предположении отсутствия нормальных трещин. Поскольку наклонные трещины образуются в бетоне в условиях плоского напряженного состояния, в расчетах трещиностойкости следует
принимать во внимание не только главные растягивающие, но и главные сжимающие напряжения. Двухосное напряженное состояние сжатие-растяжение
снижает способность бетона сопротивляться растяжению в направлении, перпендикулярном направлению сжатия.
Трещиностойкость наклонного сечения может считаться обеспеченной,
если главные растягивающие напряжения удовлетворяют эмпирическому условию
 mt   b 4  Rbt , ser ,
(14)
где  b 4  коэффициент, учитывающий влияние двухосного напряженного состояния на прочность бетона
 b4 
1   mc / Rbt , ser
0,2    B
 1,
(15)
здесь   коэффициент, принимаемый для тяжелого бетона – 0,01;
B  класс бетона по прочности на сжатие, МПа.
Значение   B принимают не менее 0,3.
Главные растягивающие  mt и сжимающие  mc напряжения в бетоне
определяются как для упругого материала по формуле
x   y
 x   y 2  2
(10)

xy ,
2
2
здесь  x  M  y  P  нормальное растягивающее напряжение в беI
Ared
 mt ( mc) 
тоне на площадке, перпендикулярной продольной оси элемента от внешней
нагрузки и усилия предварительного обжатия P ;
6
 y   y ,loc   yp  нормальное напряжение в бетоне на площадке,
параллельной продольной оси элемента, от местного действия нагрузки (значение  y,loc ) и усилия напряжения хомутов и отогнутых стержней (значение
 yp ).
 y,loc   y 
F ,
bh
F  величина сосредоточенной силы или опорной реакции
Q S red  касательное напряжение в бетоне от поперечной силы Q.
 xy 
I red b
Расчет главных напряжений и оценка сопротивления элемента производятся в центре тяжести его приведенного сечения производятся в центре тяжести его приведенного сечения.
Если к элементу предъявляются требования 1-й и 2-й категорий трещиностойкости, необходимо дополнительно произвести проверку на образование наклонных трещин в местах примыкания сжатых полок к стенке элемента
таврового и двутаврового сечений.
При расчете элементов с предварительно напряженной арматурой, на
концах которой отсутствуют анкеры, то в расчетах учитывается снижение
предварительных напряжений арматуры  sp и 'sp по длине зоны их передачи
l p путем умножения на коэффициент  s5 (см. СНиП 2.03.01-84*, табл. 24, п.5).
7
2.
РАСЧЕТ ПО РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИН
Расчет по раскрытию трещин производят по стадии II напряженнодеформированного состояния элементов на действие нагрузок с коэффициентом надежности по нагрузке  f  1.
Цель расчета сводится к определению теоретической величины раскрытия трещин acrc и сравнения её с допускаемой acrc  , при которой обеспечивается нормальная эксплуатация зданий, коррозионная стойкость арматуры и
долговечность конструкций (таблицы 1 и 2 СНиП 2.03.01-84*).
Если теоретическая величина оказывается больше допускаемой, то увеличивают усилие предварительного обжатия бетона, повышают класс бетона
или увеличивают поперечные размеры сечения.
Расчет производят для нормальных и наклонных сечений элементов, работающих на центральное и внецентренное растяжение, изгиб или внецентренное сжатие (в случае больших эксцентриситетов) и к трещиностойкости
которых предъявляют требования 2-й и 3-й категорий трещиностойкости.
Из-за неоднородности структуры бетона по длине элемента расстояния
между трещинами могут отклоняться от средних значений в меньшую или
большую сторону примерно в 1,5 раза. Это препятствует разработке точных
аналитических методов определения ширины раскрытия трещин.
Ширина раскрытия нормальных трещин acrc есть разность средних
удлинений арматуры и растянутого бетона на участке между трещинами lcrc .
acrc   sm  lcrc  bt , m  lcrc
Средняя деформация растянутого бетона  bt, m мала по сравнению со
средней деформацией арматуры  sm , поэтому обычно в расчетах ей пренебрегают, тогда
acrc   sm  lcrc .
Представим средние деформации арматуры в виде  sm   s   s ,
где  s - коэффициент, учитывающий работу бетона на участке между трещинами (неравномерность напряжений в растянутом бетоне) (Рис. 4).
Тогда ширина раскрытия трещин на уровни оси растянутой арматуры

acrc   sm  lcrc   s   s  lcrc   s  s  lcrc ,
Es
здесь  s и  s - напряжения и деформации в арматуре в сечении с трещиной.
Расстояние между трещинами lcrc может быть найдено из условия, что
разность усилий в арматуре в сечении с трещиной и в сечении, в котором
должна появиться следующая трещина, должны уравновешиваться силами
сцепления арматуры с бетоном на этом участке
 s1  As   s 2  As      u  lcrc ,
8
где  - коэффициент полноты эпюры сцепления (эпюры сдвигающих
напряжений);
 - максимальное напряжение сцепления арматуры с бетоном;
u    d - периметр сечения арматуры.
Рис.4. К определению ширины раскрытия нормальных трещин в растянутом железобетонном элементе (Стр.127 Попов, Чарыев)
2.1.
Расчет по раскрытию нормальных трещин
Нормы рекомендуют определять усредненную ширину раскрытия нормальных трещин на уровне центра тяжести растянутой арматуры по эмпирической формуле

acrc    l    s  20  3,5  100   3 d мм,
Es
Таким образом, ширина раскрытия нормальных трещин зависит от
напряжения в растянутой арматуре, коэффициента армирования сечения, вида и
диаметра арматуры, длительности действия нагрузки.
Следовательно, для уменьшения ширины раскрытия трещин следует
уменьшать диаметр арматуры, увеличивая её количество, и применять арматуру
периодического профиля.
В зависимости от длительности действия нагрузки и требований категорий трещиностойкости ширину трещин acrc1 и a crc 2 определяют по следующей
схеме (Рис.5):
 ширину непродолжительного раскрытия трещин acrc1 определяют от
суммарного действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок при коэффициенте l  1,0 ;
acrc1  a1  a2  a3
 ширину продолжительного раскрытия трещин acrc 2 определяют от суммарного действия постоянных и длительных нагрузок при коэффициенте
l  1,0 .
acrc 2  a 2
9
Рис.4. К определению ширины раскрытия нормальных трещин.
График «нагрузка - ширина раскрытия трещин» (Стр.129 Попов, Чарыев)
Нагрузки: П - постоянные; Д - длительные; К - кратковременные
10