5. Неопределенный интеграл

95
5.
Неопределенный интеграл
5.1
Первообразная и неопределенный интеграл
К числу важных прикладных задач относятся задачи определения закона
движения частицы по известной скорости и определения скорости по известному ускорению. Подобные задачи приводят к проблеме отыскания неизвестной функции по известной производной.
Функция F  x  называется первообразной для функции f  x  на интервале
a; b , если в любой точке x этого интервала выполнено F  x  f  x .
Теорема 6.1.1. Пусть f  x  определена на интервале  a; b и F1  x  , F2  x 
– две ее первообразные. Тогда существует постоянная C  R , такая, что при
любом x  a; b выполнено F1  x   F2  x   C .
Доказательство. Рассмотрим функцию
G x   F1  x   F2  x  .
Тогда G x  дифференцируема на  a; b и ее производная равна
G  x   f  x   f  x   0 .
Пусть x – произвольная точка интервала a; b , x0 – какая-либо фиксированная точка этого же интервала (без ограничения общности можно принять x0  x ). Тогда на отрезке  x0 ; x  функция G x  удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Полагая C  G x0  , получим
G x   C  G   x  x 0   0 ,   x, x0  ,
следовательно, при любом x  a; b
G x   C , ч.т.д.
Пример. Функции F1 x   2 sin 2 x и F2  x    cos 2 x являются первообразными для функции f  x   2 sin 2 x на интервале  ;  , так как при любом


x  R выполнено 2 sin 2 x  2 sin 2 x ,  cos 2 x   2 sin 2 x . В то же время


2 sin 2 x    cos 2 x   2 sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  1.
Множество всех первообразных для функции f  x  называется неопреде-
ленным интегралом от функции f  x  :
 f  x dx  F x  C ,
где F  x  – какая-либо первообразная для f  x  , C – произвольная постоянная.
В этой записи функция f  x  называется подынтегральной функцией, f  x  dx –
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.
96
Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Замечание 6.1.1. Из определения следует, что равенство двух неопределенных интегралов
 f  x dx   g x dx
следует понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, которые отличаются
друг от друга на произвольную постоянную.
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции


f
x
dx
  F  x   C  f  x  ,





поэтому интегрирование является действием, обратным дифференцированию.
Так как
d  F  x  C  f  x dx ,
то под знаком интеграла находится дифференциал dF  x  любой первообразной
для функции f  x  . Поэтому
 dF  x   F  x   C ,
d   f  x dx   f  x dx .
Свойства неопределенного интеграла.
1. Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов:
  f  x  g xdx   f  xdx   g xdx .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
  f  xdx    f  xdx .
Универсальных правил интегрирования не существует. В процессе
нахождения первообразной используют ряд приемов, которые определяются
видом подынтегрального выражения. Целью этих приемов является приведение интеграла к табличным интегралам:
x  1

1.  x dx 
 C ,  R ,   1.
 1
dx
2.   ln x  C .
x
ax
x
 C (в частности,  e x dx  e x  C ).
3.  a dx 
ln a
4.  sh xdx  ch x  C ,  ch xdx  sh x  C .
5.  sin xdx   cos x  C ,  cos xdx  sin x  C .
97
dx
 cos2 x  tg x  C .
dx
7.  2   ctg x  C .
sin x
dx
8.  2  th x  C .
ch x
dx
9.  2   cth x  C .
sh x
dx
 arcsin x  C .
10. 
1  x2
dx
 arctg x  C .
11. 
1  x2
dx
12. 
 arsh x  C , где arsh x  ln x  1  x 2 .
1 x2
dx
13. 
 arch x  C , x  ;1  1; .
2
x 1
dx
; .
14. 
 arth x  C , x  11
1 x2
Справедливость соотношений 1...14 проверяется дифференцированием.
6.


Замечание 6.1.2. Знак модуля в соотношении 2 связан с тем, что функции ln x и
ln x  не являются двумя (отличающимися на действительную константу) первообразными
1
для функции
на всем множестве действительных чисел. Можно убедиться, что
x

ln x   1x  1  1x ,
однако это соотношение справедливо только при x  0 .
Знак модуля во второй формуле можно опустить, если считать, что произвольная постоянная C может принимать значения из множества комплексных чисел. Из формул Эйлера:
e i  chi   shi   cos   i sin   1 ,
поэтому одно из значений натурального логарифма числа  1 равно i. Тогда
ln x  ln x  ln 1  x  ln x  i  ln x  ln x  i  const ,
и две функции ln x , ln x  можно считать отличающимися на константу.
По указанной причине в правых частях формул 13 и 14 записаны именно обратные
гиперболические функции, а не логарифмы модулей. Более строго:
dx
 ln x  x 2  1  C .
13. 
2
x 1
dx
1 1 x
 ln
C.
14. 
2
1 x
2 1 x
Однако запомнить формулы 13 и 14 в таком виде сложнее.
98
5.2
Замена переменной
Теорема. Пусть функция x  xt  определена и дифференцируема на
множестве t , и имеет областью значений множество x . Пусть для функции
f  x  на множестве x существует первообразная F  x 
Тогда на множестве
разная, равная F  xt 
 f  xdx  F  x  C .
t для функции f  xt x t 
существует первооб-
 f  xt x t dt  F  xt   C .
Доказательство. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
F  xt   C   Fx xt  x t   f  xt  x t  , ч.т.д.


t

Замечание 6.2.1. Если x  x t , то дифференциал dx равен x tdt . Поэтому формулу
замены переменной можно понимать как следствие инвариантности формы первого дифференциала.
При использовании формулы замены переменной для вычисления интеграла  f  x  dx следует отыскать такую функцию x  t  , для которой интеграл
 f  x t  xtdt
вычислялся бы проще, чем исходный. Однако универсального
способа замены переменной не существует.
Пример 1. Вычислить
1
dx  dt , и
2
e
2 x 1
dx . Положим 2x  1  t , тогда x 
1
 t  1 ,
2
1
1
1
1
dt   et dt  et  C  e2 x 1  C .
2
2
2
2
Пример 2. Вычислить  tg x dx . Положим t  cos x , тогда dt   sin x dx , и
e
dx   et
2 x 1
sin x dx
 dt

  ln t  C   ln cos x  C .
cos x
t
dx
Пример 3. Вычислить 
. Преобразуем интеграл к виду
cos x
dx
cos x
cos x

dx

 cos x  cos2 x  1  sin 2 x dx .
Полагая t  sin x , dt  cos x dx , получим
dx
cos x
dt
1  sin x
 cos x   1  sin 2 x dx   1  t 2  arth t  C  arthsin x  C  ln cos x  C .
 tg x dx  
Замечание 6.2.2. В простейших случаях замену переменной не выписывают явно.
Например
99
 sin 2xdx  2 sin x cos xdx  2 sin xd sin x  sin
2
xC.
Подобная запись называется внесением под знак дифференциала. Фактически, в рассмотренном примере была выполнена замена t  sin x .
5.3
Интегрирование по частям
Теорема. Пусть u x  и v  x  – дифференцируемые на множестве
 x
функции и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для
функции v  x  u x  . Тогда на множестве  x существует первообразная для
функции u x  v  x  , причем справедлива формула интегрирования по частям
 u x v  x dx  u x v x   v x u x dx .
Доказательство. Используя правило дифференцирования произведения,
получим

u x  v x    v x  u x  dx  u x  v x   u x  v  x   v x  u x   u x  v  x  ,


что совпадает с производной от левой части.
Так как дифференциалы du и dv функций u x  и v  x 
равны
du  u x  dx и dv  v  x  dx , то формулу интегрирования по частям можно за-
писать в виде
 udv  uv   vdu .
Таким образом, формула сводит вопрос о вычислении интеграла
вычислению интеграла
 udv
к
 vdu . В некоторых случаях этот интеграл вычисляется
проще исходного.
Пример 1. Вычислить
 xe dx . Положим u  x , dv  e dx . Тогда du  dx ,
x
x
v  e x , поэтому
 xe dx  xe   e dx  xe  e  C .
dx
Пример 2. Вычислить  ln x dx . Положим u  ln x , dv  dx . Тогда du 
,
x
x
x
x
x
x
v  x , поэтому
dx
x ln x  x  C .
x
Пример 3. Вычислить  e x cos x dx . Имеем
 ln x dx  x ln x   x
u  e x , du  e x dx
x
x
 e cos x dx  dv  cos x dx, v  sin x  e sin x   e sin x dx ;
x
100
u  e x , du  e x dx
x
x
 e sin x dx  dv  sin x dx, v   cos x  e cos x   e cos x dx .
x
Обозначая I   e x cos x dx , получим для искомого интеграла алгебраическое уравнение


I  e x sin x   e x cos x  I ,
2I  e x  sin x  cos x  ,
откуда
e
5.4
x
cos x dx  e x
cos x  sin x
.
2
Интегрирование простейших дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (или просто дробью) называется отношение двух многочленов
N  x  a m x m  a m1 x m1 ... a 0
.
f (x) 

Q x 
bn x n  bn 1 x n 1 ... b0
Дробь называется правильной, если степень знаменателя больше степени
числителя, и неправильной в противном случае.
Простейшей дробью I типа называется дробь вида
A
P x  
.
 x  a 
Простейшей дробью II типа называется дробь вида
Mx  N
,
P x  

2
x  px  q


знаменатель которой не имеет действительных корней.
Простейшая дробь первого типа интегрируется заменой t  x  a (иначе,
внесением разности x  a под знак дифференциала):
 1 x  a 1  C,   1
 
dx


1



x

a
d
x

a

.





  x  a  
ln x  a  C,   1

Интеграл от простейшей дроби второго типа разбивают на сумму двух
p
p
интегралов, заменяя в числителе x на  x    :

2 2
p
p
M  x     N  M 

Mx  N
2 
2
dx

dx 
 2



2
x  px  q
x  px  q




101
 M
x 


x
2
p
 dx
2
 px  q


p
dx
  N  M  

2  x 2  px  q



p
 MI   N  M  I  .

2
Первый интеграл может быть взят заменой t  x 2  px  q :
1 
 1
2
 x  p
x

px

q
 C,



2
1




1



2
I
dx   t  dt  

2
x 2  px  q
 1 ln x 2  px  q ,   1
 2



 1
.

Для вычисления интеграла I следует дополнить трехчлен в знаменателе
подынтегрального выражения до полного квадрата:
2
x 2  px  q   x  a   b ,
где a и b — некоторые постоянные. Обозначив y  x  a , получим
dy
.
I  

2
y b


Если   1 , то интеграл I равен
 y 
d 
 b
1
1
y
I1 

arctg
C.

2
b  y 
b
b
  1
 b
Пусть   1. Умножив и разделив подынтегральное выражение на b, а затем прибавляя и вычитая в числителе y 2 , получим
1
b
I  
b y2  b





2
2
1 y b  y
1
1
ydy
dy  
dy  I  1   y

b
b
b
y2  b
y2  b




Второй интеграл преобразуем, интегрируя по частям. Положим
ydy
u  y , dv 
.

2
y b

Тогда v  
I 
1
1
2   1 y 2  b


 1
, поэтому интеграл I примет вид
1
y
I  1 
b
2b   1 y 2  b



y


 1

2b  1 y 2  b

 1
1
2b   1 

y
1
2

b
2  3
I  1 .
2b  1
 1
dy 

.
102
Преобразуя далее интеграл I  1 , можно получить его выражение через
интеграл I  2 . Продолжая преобразования, на  - м шаге придем к уже известному интегралу I1. Тем самым интегрирование простейшей дроби второго типа
выполнено.
Замечание 6.4.1. Полученное соотношение связывает неизвестное I  с большим порядковым номером и неизвестное I  1 с меньшим порядковым номером. Подобные соотношения называют рекуррентными.
5.5
Интегрирование дробно-рациональных функций
Для интегрирования произвольной дробно-рациональной функции следует представить ее в виде суммы простейших дробей первого и второго типов.
Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби. Для этого достаточно, пользуясь правилами деления целых чисел, разделить с остатком числитель на знаменатель.
Пусть знаменатель правильной дроби
N x
f x 
Q x 
разложен на линейные множители:
Q x   bn  x  x1 
1
 x  x2  ... x  xk 
2
k
,
где xi – действительный или комплексный корень Q(x) кратности i. Тогда
дробь f  x  можно представить в виде суммы простейших дробей первого типа:
A1
N  x
A1
A2
B1
B2



...




1
1 1
2
2 1
Q x   x  x1 
x

x
x

x
x

x
x

x
 1
 2  2
1
...
B2

D1

D2
...
 k 1
Dk
.
k
x

x
x

x
x

x
 k  k
k
где A1, A2, ... D k – некоторые коэффициенты, действительные или комплексные.
Для разложения привлекают метод неопределенных коэффициентов –
записывают правую часть с буквенными коэффициентами в числителях, умножают обе части на знаменатель Q x  и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях. Решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, находят коэффициенты разложения.
x  x2
Замечание 6.5.1. Наиболее сложным шагом может оказаться разложение знаменателя
на произведение двучленов  x  xi  . Это связано с тем, что для многочленов степени выше
четвертой не существует методов отыскания корней в радикалах. Для многочленов третьей и
четвертой степеней подобные методы существуют, однако весьма громоздки.
103
Если знаменатель Q x  имеет мнимые корни, то разложение выполняют
на сумму простейших дробей первого и второго типов:
N  x
N  x


Q x  b  x  x 1  x  x 2 ... x  x r x 2  p x  q 1 ... x 2  p x  q s
n

1
A1
 x  x1 
1


A2

x
2
r
...
1 1
 x  x1 
M 1 x  N1
2
x
 p1 x  q1

1
U 1 x  V1
2
 ps x  q s


s
A1
x  x1
x


...
 p1 x  q1
x

r

...
1 1
U 2 x  V2
2
1
D1
 x  xr 
M2 x  N2
2
1
 ps x  q s



D2
s
s
...
r 1
 x  xr 
M 1 x  N 1
x 2  p1 x  q1
...
s 1

Dr
x  xr

...
U s x  Vs
x 2  ps x  q s
.
Все коэффициенты в разложении являются вещественными. Разложение
можно выполнить методом неопределенных коэффициентов.
Таким образом, интеграл от любой дробно-рациональной функции сводится к интегралам от простейших рациональных дробей первого и второго
типов. Следовательно, такой интеграл всегда выражается в конечном виде
через сумму рациональных функций, логарифмов и арктангенсов.
x3
Пример 1. Вычислить  2
dx .
x 3
Подынтегральное выражение содержит неправильную дробь. Выполняя
деление, получим x 3  x x 2  3  3x . Следовательно,




2
x3
3x 
3 d x 3 1 2 3

2
 x 2  3 dx    x  x 2  3 dx   xdx  2  x 2  3  2 x  2 ln x  3  C .
x 3
Пример 2. Вычислить  3
dx .
x x
N x
x 3
 3
Здесь требуется разложить дробь
на простейшие. Решая
Q x  x  x
уравнение x 3  x  0 , находим: x1= 0, x2 = 1, x3= –1. Все корни знаменателя оказались действительными, поэтому в разложении будут только простейшие дроби первого типа. Общий вид разложения:
x3
A
B
C
 

.
x x  1 x  1 x x  1 x  1
Умножая обе части на Q x   x x  1 x  1 , получим:
x  3  A x  1 x  1  Bx x  1  Cx x  1 .
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, придем к системе уравнений:
104
A  B  C  0

.
B  C  1
 3   A

Решая ее, найдем: A = 3, B = –1, C = –2. Искомое разложение имеет вид:
x 3 3
1
2
,
 

3
x  x x x 1 x 1
поэтому
x 3
dx
dx
dx
x3
dx

3


2

ln
 x3  x
 x  x  1  x  1  x  1 x  1 2  C .
Замечание. 6.5.2. Если знаменатель дроби не имеет кратных и мнимых корней, то разложение можно выполнить, не записывая систему уравнений. В рассмотренном примере:
x  3  A x  1 x  1  Bx x  1  Cx x  1 .
Положим x  0 , тогда в правой части останется только одно слагаемое:
 3  A,
откуда A  3 ; полагая x  1 , получим 1  3  2 B , откуда B  1 ; полагая x  1 , получим
 1  3  2C , откуда C  2 .
Пример 3. Вычислить
dx
 x 3  3x 2  4 x  2 .
Непосредственной проверкой можно убедиться, что значение x=1 является корнем знаменателя. Разделим знаменатель на двучлен  x  1 :

x 3  3x 2  4 x  2
x3  x2

x 1
x2  2 x  2
 2 x2  4 x  2
 2 x2  2 x

2x  2
2x  2
0
Частное от деления x 2  2 x  2 не имеет вещественных корней, поэтому
разложение будем искать в виде
1
A
Bx  C
.

 2
3
2
x  3x  4 x  2 x  1 x  2 x  2
Приводя к общему знаменателю, получим:
1  Ax 2  2 Ax  2 A  Bx 2  Cx  Bx  C .
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, придем к
системе уравнений:
105
A  B  0

 2 A  B  C  0 ,
2 A  C  1

из которой A=1, B=-1, C=1.
Искомый интеграл равен сумме:
dx
dx
1 x
 x 3  3x 2  4 x  2   x  1   x 2  2 x  2 dx .
Первый интеграл берется линейной заменой:
dx
 x  1  ln x  1  C .
Второй интеграл может быть взят заменой t  x 2  2 x  2 . С учетом
dt
dt  2 x  2dx , 1  x dx   , получим
2
1 x
1 dt
1
dx




ln x 2  2 x  2  C .
 x2  2x  2

2 t
2
Окончательно:
dx
 x 3  3x 2  4 x  2  ln
5.6
x 1
2
x  2x  2
C.
Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. Метод Остроградского
Пусть
f  x   an x n  an1x n1 ...a0
– многочлен с вещественными коэффициентами.
Лемма 1. Если число  (действительное или комплексное) является для
f  x  корнем кратности k:
f  x    x      x  ,     0 ,
k
то это же число  является корнем кратности k – 1 для многочлена f  x  .
Лемма 2. При дифференцировании кратности всех корней уменьшаются
на единицу: если для многочлена f  x  справедливо представление
f  x    x  1 
k1
 x  2 
k2
... x   m 
km
,
то для многочлена f  x  справедливо представление
f  x    x  1 
k1 1
 x  2 
k2 1
... x   m 
 x ,
k m 1
в котором   x  – многочлен, среди корней которого нет чисел 1 ,  2 , ...,  m .
В приложениях встречается задача выделения кратных корней: по данному многочлену f  x  построить многочлен
106
F  x    x  1  x   2 ... x   m  ,
имеющий только однократные корни, совпадающие с корнями f  x  .
В силу леммы 2 искомый многочлен F  x  равен
F x 



f  x
D f  x  , f  x 

,
где D f  x  , f  x  – наибольший общий делитель многочленов f  x  и f  x  –
многочлен, который делится на любой другой делитель многочленов f  x  или
f  x  (следует заметить, что наибольший общий делитель многочленов опре-
делен с точностью до постоянного множителя). Таким образом, задача выделения кратных корней сводится к задаче нахождения наибольшего общего делителя.
Для решения последней задачи используют процесс, называемый алгоритмом Евклида. Пусть f  x  и g  x  – произвольные многочлены. Без ограни-
чения общности можно считать что степень g  x  не выше степени f  x  . Разделим f  x  на g  x  с остатком:
f  x   g x  q x   r1  x  ,
тогда степень остатка r1  x  окажется меньше степени делителя g  x  . Поэтому
многочлен g  x  можно разделить на остаток r1  x  :
g x   r1  x  q1  x   r2  x 
При каждом делении степень остатка снижается по крайней мере на единицу. Поэтому, продолжая деление дальше, на некотором шаге получим нулевой остаток:
rk  x   rk 1  x  qk 1  x   rk  2  x  , k  1, m  1;
rm1  x   rm  x  qm  x  .
Последний ненулевой остаток rm  x  является искомым наибольшим об-
щим делителем многочленов f  x  и g  x  .
Вернемся к вопросу интегрирования дробно-рациональной функции. Материал пп. 6.4 и 6.5. позволяет заключить, что интеграл от правильной дроби
N  x
имеет вид:
Q x 
N  x
N1  x 
N2  x
dx


dx ,
 Q x
Q1 x   Q2  x 
(*)
107
Если все корни знаменателя Q x  являются однократными, то после интегрирования в правой части могут быть только логарифмы и арктангенсы –
функции, не являющиеся рациональными.
N1  x 
В случае кратных корней появляется рациональное слагаемое
.
Q1  x 
Остроградским был предложен метод отыскания этого слагаемого, не требуюN  x
щий ни интегрирования дроби
, ни разложения знаменателя Q x  на проQ x 
стейшие множители.
Пусть разложение знаменателя Q x  имеет вид
Q x    x  x1 
1
 x  x 2 
2
... x  xr 
r
x
2
 p1 x  q1

1

... x 2  ps x  q s

s
.
Пользуясь результатами пп. 6.4. и 6.5 можно установить, что знаменатель
Q1 x имеет те же корни, что и Q x , однако их кратность на единицу меньше
Q1 x    x  x1 
1 1
 x  x2  1... x 2  ps x  qs 
2
s 1
,
поэтому Q1 x можно найти как наибольший общий делитель Q x и Q x :
Q1 x   DQ x , Q x  .
Знаменатель Q2  x  имеет те же корни, что и Q x , однако их кратность
равна единице:
Q2  x    x  x1  x  x2 ... x  xr  x 2  p1x  q1 ,


поэтому отыскание знаменателя Q2  x  сводится к задаче отделения кратных
корней:
Q x 
Q x 
.
Q2  x  

DQ x , Q x  Q1 x 
Далее следует учесть, что степени числителей N1 x и N 2  x  на единицу
меньше степеней соответствующих знаменателей (все дроби в правой части являются правильными). Для отыскания числителей пользуются методом неопределенных коэффициентов – записывают разложение (*) с неизвестными
коэффициентами, дифференцируют его и приравнивают коэффициенты при
соответствующих степенях.
dx
Пример. Вычислить 
2 .
x2  1




Здесь знаменатель Q x   x 2  1
2
уже разложен на простейшие множи-
тели, поэтому знаменатели дробей в правой части разложения (*) можно найти,
не прибегая к отделению кратных корней:
Q1 x   Q2  x   x 2  1.
108
Запишем разложение с неизвестными коэффициентами:
dx
Ax  B
Cx  D
 x 2  1 2  x 2  1   x 2  1 dx .


Дифференцируя его, получим
A x 2  1  2 x Ax  B Cx  D
1
.
 2
2 
2
x 1
x2  1
x2  1





Умножая обе части на x 2  1

2


и приравнивая коэффициенты при одина-
ковых степенях, придем к системе уравнений
C  0
 A  D  0

,


2
B

C

0

 A  D  1
1
откуда B  C  0 , A  D  . Искомый интеграл равен
2
dx
1 x
1 dx
1 x

 x 2  1 2  2 x 2  1  2  x 2  1  2  x 2  1  arctg x  C .

5.7

Интегрирование дробно-линейных иррациональных выражений.
Интеграл от дробно-рациональной функции всегда может быть взят в конечном виде. Поэтому интегрирование различных классов выражений часто
сводится к отысканию замен, которые позволяют представить подынтегральное
выражение в виде дробно-рациональной функции. Говорят, что данные замены
рационализуют подынтегральное выражение.
Пусть подынтегральное выражение является рациональным относительно
переменной интегрирования x и радикалов от x:
 R x, k x , m x ,... dx .


Пусть также n – наименьшее общее кратное среди всех k, m, .... Тогда интеграл может быть взят заменой x=un. Действительно, dx=nun-1du и интеграл
приводится к интегралу от рациональной функции:
n r
r
n1
 R u , u 1 , u 2 ,... nu du .


Аналогично решается вопрос об интегрировании дробно-рациональных
ax  b
выражений – выражений, рациональных относительно функции
и ее
px  q
радикалов:
 ax  b ax  b ax  b 
R
  px  q , k px  q , m px  q ... dx .
109
Интеграл указанного вида может быть взят заменой
ax  b
aq  bp
nun1du ,
 un , dx 
2
px  q
a  pun


где n – наименьшее общее кратное среди k, m, ....
dx
Пример. Вычислить интеграл 
.
2
3
 x  1 x  1
3
dx
 x  1 x  1 2
Положим u 
3
 3
x 1
 x  1 x  1
3
dx   3
x  1 dx
.
x 1 x 1
x 1
6u2du
u3  1
; тогда x  3
, dx  
2 :
x 1
u 1
u3  1


u3  1 6u2
du
.
I   u
du  3 3
3
2
2u u 3  1
u 1


Исходный интеграл рационализован.
5.8
Подстановки Эйлера.
Пусть подынтегральное выражение рационально относительно квадратного корня из квадратичной функции от x:
 R x,

ax 2  bx  c dx .
Пусть a>0. Первой подстановкой Эйлера называется замена:
ax 2  bx  c  u  ax .
Возводя обе части последнего равенства в квадрат, придем к уравнению,
линейному относительно x: bx  c  u2  2 aux , откуда:
au2  bu  c a
u2  c
au2  bu  c a
2
du .
, ax  bx  c 
, dx  2
x
2
2 au  b
2 au  b
2 au  b


Подставляя последние выражения в исходный интеграл, приведем его к
интегралу от рациональной функции.
Пусть c>0. Второй подстановкой Эйлера называется замена:
ax 2  bx  c  xu  c .
После возведении в квадрат вновь придем к уравнению, линейному относительно x: ax  b  xu2  2 cu . Тогда:
2 cu  b
cu2  bu  a c
cu2  bu  a c
2
, ax  bx  c 
, dx  2
du .
x
2 2
a  u2
a  u2
au


Подставляя найденные выражения в исходный интеграл, выполним рационализацию подынтегрального выражения.
110
Пусть трехчлен под знаком радикала имеет вещественные корни  и .
Тогда он может быть разложен на линейные сомножители:
ax 2  bx  c  a x    x    .
В этом случае подынтегральное выражение может быть рационализовано
третьей подстановкой Эйлера:
ax 2  bx  c  u x    ,
при которой:
 a  u2
,
x
u2  a
ax 2  bx  c 
a     u
a     u
, dx  2
.
2
2 du
2
u a
u a


Можно показать, что первой и третьей подстановок Эйлера достаточно
для рационализации подынтегрального выражения при всех возможных значениях a, b и c. Поэтому интегралы от квадратичных иррациональностей всегда
берутся в конечном виде.
dx
Пример. Вычислить интеграл 
.
1  x2
Выражение под знаком радикала имеет вещественные корни   1 ,   1 .
Используя третью подстановку, получим:
4udu
u
u2  1
2
1  x  u1  x  , x  2
, dx 
, 1  x2  2 2
,
2
2
u 1
u

1
u 1


du
1 x

2
arctg
u

C

2
arctg
 C.
1 x
u 1
1  x2
Полученный результат отличается от известного только по форме.

dx
 2
2
Замечание 6.8.1. Для вычисления интеграла
 R x ,

ax 2  bx  c dx
можно в подкоренном выражении выделить полный квадрат. При этом будет получен один
из следующих интегралов:
(a)
R y , a 2  y 2 dy
 
 R y ,
 R y ,
a2  y2
y2  a2

dy
dy
(b)
(c)
Интеграл (a) берется тригонометрической подстановкой y  a sin t . Интегралы (b) и
(c) берутся гиперболическими подстановками y  a sh t и y  a ch t , соответственно.
5.9
Интегрирование дифференциальных биномов.
Дифференциальным биномом называется выражение вида:


p
x m a  bx n dx ,
где a и b – произвольные постоянные; m, n, p – рациональные числа.
111
Если p целое, то обозначая через q наименьшее общее кратное знаменаq
телей дробей m и n, придем к выражению, рациональному относительно x . В
этом случае интеграл


p
m
n
 x a  bx dx
q
может быть взят заменой u  x .
Пусть p  Z и имеет вид p 
число. Выполним замену:

m1
, где   ,   Z . Пусть также
– целое

n
u   a  bx n .
Тогда:
1
1
1
 u  a  n
  u  a  n  1
x
 , dx  
 u du .
n b 
 b 
m1
Обозначив q 
 1 ( q  Z ), придем к интегралу:
n
 x a  bx 
n p
  u  a 
q

n 
 u   1du .
b 
Подынтегральное выражение рационализовано.
m1
Пусть
 p — целое число. Обозначим u=xn; исходный интеграл
n
можно записать в виде:
p
 a  bz  pq
m
n p
 x a  bx dx    z  z dz .
Поэтому подынтегральное выражение может быть рационализовано заm

dx 

меной u   ax n  b .
Таким образом, если целым оказывается одно из чисел: p,
m1
или
n
m1
 p , то интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарn
ных функциях. Можно показать, что во всех остальных случаях указанный интеграл в конечном виде не берется.
5.10 Интегрирование выражений, рациональных относительно тригонометрических функций.
Пусть требуется найти интеграл вида:
 Rsin x,cos xdx .
Подынтегральное выражение может быть рационализовано заменой:
112
x
u  tg ,
2
которую называют универсальной тригонометрической подстановкой.
Действительно:
x
2 tg
x
x
x
x
2  2u ,
sin x  2 sin cos  2 tg cos2 
2
2
2
2 1  tg 2 x 1  u 2
2
x
1  tg 2
1  u2
2 x
2 x
2 x
2 x
2
cos x  cos
 sin
 cos  1  tg  

,
2
2
2
2  1  tg 2 x 1  u 2
2
2du
,
x  2arctg u , dx 
1  u2
поэтому:
 2u 1  u2  2du
R
sin
x
,cos
x
dx

R



  1  u2 , 1  u2  1  u2 .
Таким образом, интегралы указанного вида всегда берутся в конечном
виде, выражаясь через рациональные и тригонометрические функции, логарифмы и арктангенсы.
Универсальная тригонометрическая подстановка зачастую приводит к
сложным выкладкам. В отдельных случаях интегралы удается взять при помощи более простых замен. Так, если sinx и cosx входят в подынтегральное выражение только в четных степенях, то удобной оказывается замена u=tgx. Если
требуется взять интеграл вида
m
n
 sin x cos xdx ,
то при нечетном m удобна замена u=cosx, при нечетном n – замена u=sinx. Последний интеграл может быть также взят многократным интегрированием по
частям.
Пример. Используя универсальную тригонометрическую подстановку,
вычислить интеграл I   cos xdx .


1  t 2  2t 2
1  t 2 2dt
1 t2
 cos xdx   1  t 2 1  t 2  2 1  t 2 2 dt  2 1  t 2 2 dt 


dt
t 2 dt

 2 
 2
1 t 2
1 t 2










  2 arctg t  2 t tdt

2

1 t 2






2

113
x
t
dt 
2t

2  C  sin x  C .
 2 arctg t 


C

2

2
2
x

1 t
1 t  1 t
1  tg 2
2
2 tg