компл.числа

i
-1
Урок 1
Определение комплексных чисел и арифметические операции
над ними
Как известно не всякий многочлен с действительными коэффициентами имеет корни
среди действительных чисел, например, многочлен x2 + 1 не имеет действительных корней.
Поэтому возникла необходимость "пополнить" множество действительных чисел таким
образом, чтобы, по крайней мере, любой квадратный трехчлен, а еще лучше, любой
многочлен имел корни. С этой целью и ввели, так называемые комплексные числа.
Определение 1. Комплексным числом называется упорядоченная пара
действительных чисел (x, y), причем первое из них – x – называется
действительной частью комплексного числа, а второе – y – мнимой частью.
Арифметический корень
x 2  y 2 называют модулем комплексного числа.
Будем обозначать само комплексное число буквой z,
действительную часть – x обозначим
то есть положим z = (x, y),
Rez ("Re"– начало латинского
слова
"realis"–
действительный), мнимую часть y – Imz ("Im" – начало латинского слова "imajinarius"–
мнимый), а модуль комплексного числа – z. Заметим, что и действительная и мнимая
части комплексного числа это действительные числа. Если Rez = 0, то число называют чисто
мнимым. Если дано комплексное число z = (x, y), то комплексное число z = (x, –y) называется
комплексно сопряженным комплексному числу z и обозначается z .
Определение 2. Два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются
равными, если равны их действительные и мнимые части, то есть если
x1 = x2 и y1 = y2.
Все множество комплексных чисел обозначают обычно С. Заметим, что это множество
совпадает с R2.
Определим теперь для комплексных чисел арифметические операции.
Определение 3. Суммой комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2)
называется комплексное число, равное (x1 + x2, y1 + y2).
Определение 4. Произведением комплексных чисел z1= (x1, y1) и z2 = (x2, y2)
называется комплексное число, равное (x1x2 – y1y2, x1y2 + x2y1).
Обозначают сумму и произведение обычным образом: соответственно z1 + z2 и z1z2.
Правило сложения
здесь вполне естественное. Очевидно, все свойства операции
сложения действительных чисел сохраняются и для комплексных чисел.
Операция умножения комплексных чисел на первый взгляд определена несколько
искусственно. Однако легко проверить, что и для нее сохраняются все свойства операции
умножения действительных чисел, а также распределительный закон.
Чтобы удобнее было выполнять арифметические операции над комплексными
числами, введем новую форму их записи.
Для этого,
во-первых,
заметим, что, при
сложении и умножении комплексных чисел, у которых мнимые части равны нулю, снова
получаются
комплексные
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
определений.
числа
и
с
мнимой
частью,
(x1, 0)(x2, 0)=(x1x2, 0).
Это
равной
следует
нулю,
то
непосредственно
есть
из
Таким образом, комплексные числа вида (x, 0) можно отождествить с
действительными числами и вместо (x, 0) писать просто x. Во-вторых, среди комплексных
чисел особую роль играет число (0, 1). Его называют мнимой единицей и обозначают
буквой i.
Это число замечательно тем,
что ii = (–1, 0), то есть i2 = – 1.Кроме того
(0, 1)(y, 0) = (0, y), то есть iy = (0, y) и, следовательно, любое комплексное число z = (x, y)
можно представить в виде: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy. Таким образом мы пришли к
новой форме записи комплексного числа z = (x, y): z = x + iy, которая называется
алгебраической (иногда пишут x + yi).
Такая форма записи комплексного числа удобна тем, что арифметические операции
над комплексными числами теперь можно формально выполнять так, как это делается с
обычными алгебраическими выражениями, только надо помнить, что i2 = – 1. Например,
(2 + 3i) + (–5 + 6i) = – 3 + 9i; (2+3i)(–5+6i) = – 10 – 15i + 12i + 18i2 = 28 – 3i.
В частности, при этом сохраняются формулы сокращенного умножения. Например,
если z = x + iy, то z2 = x2 + 2ixy + (iy)2 =x2 –y2 + 2xyi;
если z = x + iy и z = x – iy , то z  z = x2 – (iy)2 = x2 + y2 = z2.
Отметим, что комплексное число 0 + i0 = 0 играет ту же роль среди комплексных
чисел, что и обычный 0 среди действительных чисел, то есть
(x + iy) + (0 + i0) = x + iy,
и для любого комплексного числа z = x + iy существует противоположное комплексное
число –z = – x – iy такое, что z + (–z) = 0. Это позволяет естественным образом определить
операцию вычитания комплексных чисел:
z1 – z2 = z1 + (– z2).
Например, (2 + 3i) – (5 + i) = –3 + 2i.
Точно так же комплексное число 1 + i0 = 1 играет среди комплексных чисел роль
единицы, то есть
(x + iy)(1 + i0) = x + iy,
и для любого комплексного числа z = x + iy  0 существует обратное число 1/z такое, что
z(1/z) = 1. Можно непосредственно проверить, что
1
z
x
y
 2  2 i 2 .
z z
z
z
Это позволяет определить операцию деления комплексных чисел, положив
 1 zz
z1
 z1     1 22 .
z2
 z2  z2
Пример 1. Найти частное
2  3i
.
3  4i
Решение. Для отыскания частного данных комплексных чисел умножим и разделим
числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю, то есть на (3 + 4i):
2  3i (2  3i)(3  4i) 18  i 18 1




i.
3  4i
25
25 25
32  4 2
Ответ:
2  3i 18 1

 i.
3  4i 25 25
В заключение отметим ряд свойств комплексно сопряженных чисел, которые легко
получить исходя из соответствующих определений.
1)
z z ,
2
2) zz  z , z  z
3) z  z
4) z1  z 2  z1  z 2 ,
5) z1z 2  z1  z 2 ,
z  z
6)  1   1 , если z2  0.
 z2  z2