9 кл., математика-2011, вариант 2

Математика
Вариант 2-1
Математика
Часть 2
Вариант № 2
При выполнении заданий 19 – 23 используйте бланк ответов № 2.
Укажите сначала номер задания, а затем запишите его решение.
Инструкция по выполнению работы
Работа состоит из двух частей. В первой части 18 заданий, во
второй – 5. На выполнение всей работы отводится 4 часа (240 минут).
Время на выполнение первой части ограничено – на нее отводится 90
минут; по истечении этого времени ответы на задания первой части
работы сдаются.
Первая часть работы включает 8 заданий с выбором одного
верного ответа из четырёх предложенных и 10 заданий с кратким
ответом, требующих написать ответ в виде числа, последовательности
цифр или формулы. Ответы на эти задания укажите сначала на листках
с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1 .
Для заданий с выбором ответа в бланке ответов № 1 справа от
номера выполняемого задания поставьте знак «  » в клеточку, номер
которой соответствует номеру выбранного задания. Если требуется
соотнести некоторые объекты (например, графики, обозначенные
буквами А, Б, В, и формулы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4), то
впишите в таблицу под каждой буквой соответствующую цифру и
перенесите в бланк ответов № 1 получившуюся последовательность
цифр.
Для исправления ответов к заданиям с выбором ответа
используйте поля бланка № 1 в области «Замена ошибочных ответов».
В случае записи неверного краткого ответа зачеркните его и запишите
рядом новый:
Вариант 2-2
19
При каких y расстояние между точками A (4; y ) и B (9;  3) равно 13?
20
4  x 2 ,
Построить график функции y  
 x  4,
если x  0
.
если x  0
С помощью графика решить неравенство y  0 .
21
Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 100, а
сумма первых 10 членов этой прогрессии равна 10. Найдите
наименьший положительный член прогрессии.
22
При каких значениях параметра a произведение  корней
уравнения x 2  2ax  2a 2  4a  3  0 принимает наибольшее
Все необходимые вычисления, преобразования и прочее
выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нем
можно проводить нужные линии, отмечать точки, выполнять
дополнительные построения.
Задания второй части выполняются на бланке № 2 с записью
хода решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо
лишь указать его номер.
Желаем успеха!
значение ? В ответе запишите значения a и  max .
23
На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист
проходил круг на 1 минуту быстрее второго и через полчаса
обогнал его ровно на круг. На сколько процентов скорость первого
велосипедиста больше скорости второго?
Математика
Вариант 2-3
Математика
Вариант 2-4
Часть 1
1
1) 4,536 кг
2) 4536  10 3 кг
В какое из нижеприведенных выражений можно преобразовать произведение
7
1 фунт равен 453,6 г. Как эта величина записывается в метрах?
( x 2  4)  ( x  2) .
4) 4536  10 2 кг
3) 0,4536 кг
1) x 3  2 x 2  8
2
Из полной 3-литровой банки отлили 1 л молока. Сколько примерно процентов
3) x 3  2 x  8
молока осталось в банке?
1) 0,67%
3) 67 %
2) 0,33%
Представьте выражение
Числа x и y отмечены точками на числовой прямой.
0
1
x
x
, x  y, x  y
y
x
3) x  y,
, x y
y
x  y,
x
.
y
Решите уравнение
9
x 2  6x  8
0.
x4
Ответ: ______________
x
, x y
y
x
4) x  y, x  y,
y
2) x  y,
1)
3b 2  9  2b 2
в виде суммы дробей.
3b
Ответ: ___________________
y
Расположите в порядке убывания числа x  y,
4) ( x  2) 2 ( x  2)
4) 33 %
8
3
2) ( x  2) 2 ( x  2)
10
2
Парабола, изображенная на рисунке задается уравнением y  x  3 x .
Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите
x
x 3

 2 при x  3 .
3
2
2
4
Найти значение выражения
соответствующее ей утверждение.
Ответ: __________
5
6
Из формулы
H
gt
2
 x 2  3x  y  0
 x  y  5
1) Система имеет одно решение
 x 2  3x  y  0
 x  1  0
2) Система имеет два решения
 x 2  3 x  y  0
 y  x  0
3) Система не имеет решений
А) 
2
выразите время t .
Ответ: __________
Б) 
Какое из данных выражений нельзя преобразовать к виду 12500 ?
В) 
1)
(10 5 ) 2
2 5
8
5
2) 55  2 2
3)
53  2 5
4)
53  10 2
А
Ответ:
Б
В
Математика
11
Вариант 2-5
Математика
16
Из прямоугольного листа картона, одна сторона которого в 2 раза
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при
температуре окружающего воздуха
больше другой, склеили коробку. Для этого по углам этого листа вырезали
Вариант 2-6
. На оси абсцисс откладывается время
в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура
квадраты со стороной 5 см. Пусть x см - длина меньшей стороны листа
двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут
картона. Требуется найти размеры листа картона, если объём коробки равен
двигатель нагревался до температуры
.
5 дм 3 . Какое уравнение соответствует условию задачи?
12
1)
2 x  10 x  10   5  50
2)
2 x  10 x  10   5  5000
3)
2 x  5x  5  5  5000
4) 10 x 2  75 x  125  50
Из геометрических прогрессий, заданных формулой общего члена, выберите
ту, для которой выполняется условие b4  2 .
3
2
n
1) bn  2   
2n
2) bn 
3 n2
3) bn 
3n
2n
2
3
n
4) bn  27   
Ответ: _____________
13
3  2 x  5 (1  x)  4
Решите систему неравенств: 
3  2 ( x  1)  x  5
17
Ответ: _______________________
14
Парабола задана уравнением y  3 
Одновременно бросают 2 кости. С какой вероятностью сумма очков на
верхних гранях будет равна 7 ?
Ответ: _____________
1
( x  1)2 .
2
Найдите координаты вершины параболы.
Ответ: ______________
Записан возраст (в годах) преподавателей кафедры: 24, 25, 25, 27, 42, 45, 48,
49, 50, 52, 53. На сколько лет отличается среднее арифметическое этого
набора чисел от его медианы?
Какая из данных прямых не пересекает график функции y  x  1 ?
Ответ: _____________
18
15
1) y  4
2) y  x  2
3) y   x
4) y  x  1
Математика
Вариант 2-7
Математика
Ответы к заданиям части 1
Номер задания
Правильный ответ
1
2
3
4
5
3
3
2
-2,5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2H
g
19
Вариант 2-8
При каких y расстояние между точками A (4; y ) и B (9;  3) равно 13?
//Ответ: -15; 9.
//Решение. Запишем уравнение для квадрата расстояния между точками. Получим:
25  ( y  3) 2  169

3
2
b 3

3 b
-2
3, 1, 2
2
2
2 x4
 1; 3
Баллы
2
1
0
20
2
8
1
6
 y  3  12
 y  3  12


 x  15
x  9 .

Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, оба его шага выполнены. Получен верный ответ.
Ход решения верный, но получен один из двух верный ответ.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
4  x 2 ,
 x  4,
если x  0
.
если x  0
Построить график функции y  
С помощью графика решить неравенство
y  0.
//Ответ: x  [4; 2] .
На 5 лет
//Решение.
4
3
2
1
Решения и критерии оценивания к заданиям части 2
Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в
следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него
должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно
обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть
произвольным.
Если решение ученика удовлетворяет этим требованиям, то ему
выставляется полный балл, которым оценивается это задание: № 19 – 2 балла, №20 и
21 – 3 балла, № 22 и 23 – 4 балла. Если в решении допущена описка или ошибка, не
влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и
позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то
учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного.
-4
Баллы
3
2
0
-2
2
4
Критерии оценки выполнения задания
График построен верно. Неравенство решено верно (графически или
аналитически)
График построен верно. При решении неравенства допущена ошибка или
описка, в результате чего получен неверный ответ.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Математика
21
Вариант 2-9
Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 100, а сумма
первых 10 членов этой прогрессии равна 10. Найдите наименьший
Математика
Вариант 2-10
убывает на отрезке [3;  1] , следовательно, достигает своего наибольшего
значения на левом конце отрезка при a  3 . Тогда  max   ( 3)  9 .
положительный член прогрессии.
Баллы
4
//Ответ: 0,6.
//Решение. Составим систему, соответствующую условиям задачи. Получим:
2a  19 d

S  1
 20  100
 20
2

S  2a1  9d  10  10
 10
2

2a1  19 d  10

2a1  9d  2

d  0,8
.

a1  2,6
Выпишем формулу общего члена an  a1  d (n  1)  2,6  0,8(n  1)  0,8n  3,4
17
 n  5 . Таким
4
образом, первый положительный член есть a5  2,6  4  0, 8  0, 6 .
и решим неравенство a n  0 , т.е. 0,8 n  3,4  0
Баллы
3
2
0
 n
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены. Получен верный ответ.
Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена одна
вычислительная ошибка и ответ отличается от правильного.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
3
0
23
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно. Получен верный
ответ.
Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна
вычислительная ошибка или описка, и ответ отличается от правильного.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист проходил круг
на 1 минуту быстрее второго и через полчаса обогнал его ровно на круг. На
сколько процентов скорость первого велосипедиста больше скорости второго?
//Ответ: на 20%.
//Решение. Пусть L (м) - длина кольцевой трассы, v1 ( м / мин ) - скорость первого
велосипедиста, v 2 ( м / мин ) - скорость второго велосипедиста. Тогда за полчаса
первый велосипедист пройдет путь 30 v1 ( м ) , а второй 30v 2 ( м) .
22
При каких значениях параметра a произведение  корней уравнения
x 2  2ax  2a 2  4a  3  0 принимает наибольшее значение ?
В ответе запишите значения a и  max .
//Ответ: a  3 ;  max  9 .
//Решение. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда дискриминант
неотрицателен, т.е.
D
 a 2  2a 2  4a  3  (a 2  4a  3)  0  a [3;  1] .
4
Пусть x1 и x 2 - корни уравнения. Согласно теореме Виета произведение корней
  x1  x 2  2a 2  4a  3 . Функция   2a 2  4a  3  2a  12  1 монотонно
Разность этих путей равна длине трассы L . L  30v1  30v 2 . Первый
L
, а второй – за время
v1
L
L
L
. Разность времен составляет 1 минуту, т.е.
t 2 ( мин) 
  1.
v2
v 2 v1
30v1  30v 2 30v1  30v2
Подставляя значение L , получим уравнение:

 1.
v2
v1
велосипедист проходит 1 круг за время t1 ( мин) 
Произведя почленное деление в левой части равенства, получим уравнение:
Математика
Вариант 2-11
30v1 30v2
v

 60  1 . Обозначив отношение скоростей 1  k , придем к
v2
v1
v2
равнению 30k  61 
находим k1 
30
 0 или 30k 2  61k  30  0 . Решая это уравнение,
k
5
6
, k 2  . Поскольку скорость первого велосипедиста больше
6
5
v
6
скорости второго, то k  1 и мы выбираем значение k  1  . Нам нужно найти,
v2
5
на сколько процентов скорость первого велосипедиста больше скорости второго,
поэтому разность скоростей надо поделить на скорость второго и умножить на
100%.
v1 
6
v2
5
 v1  v2 
1
v2
5

v1  v2 1

v2
5

1
 100 %  20 % .
5
Таким образом, скорость второго лыжника на 20% меньше скорости первого.
Баллы
4
3
0
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно. Получен верный
ответ.
Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна ошибка в
вычислениях или в преобразованиях, с ее учетом дальнейшие шаги
выполнены правильно.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.