Лекция 31

1
Исследование функции на экстремум.
1.Условия возрастания и убывания функции.
2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
3.Достаточные признаки существования экстремума.
Введение.
Основным содержанием данной лекции является исследование функции
и построение графиков. Это важнейшие практические результаты
математической
теории.
Аппарат
дифференциального
исчисления
представляет возможность для создания более совершенных методов
исследования функции. С помощью производных первого и второго порядка
можно, оказывается, достаточно быстро и полно выяснить все наиболее
характерные особенности в поведении той или иной функции.
1.Условия возрастания и убывания функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в промежутке
(а, в) ,если большему значению аргумента в этом промежутке соответствует
большее (меньшее) значение функции.
Это значит, что для любых x1 и x 2 в промежутке (а, в) в случае
возрастания функции неравенству x1  x2 соответствует неравенство
y  0 ,а в случае убывания неравенство f
f( x1 )>f( x 2 ),т.е. x  0 и
( x1 )>f( x 2 ),т.е. x  0 и y  0 .
Теорема 1.(Необходимый признак возрастания (убывания) функции в
данном промежутке)
Если функция y=f(x) дифференцируема в промежутке (а, в),то при всех
значениях а<x<в её производная неотрицательна (неположительная) .
Из графика возрастающей функции видно, что касательные к кривой
наклонены к оси Ох под острым углом, а убывающей под тупым углом.
Такое
расположение
касательных
определяет
неотрицательные
2
(неположительные) значения угловых коэффициентов, что приводит к
условию tg  0 ( tg  0 ), которое равносильно y   0( y   0) .
Теорема 2.(Достаточные признаки возрастания (убывания) функции в
данном промежутке)
Если дифференцируемая в промежутке (а, в) функция y=f(x) имеет при
любом значение а<x<в положительную (отрицательную) производную, то эта
функция возрастает (убывает) в данном промежутке.
1.
2.
3.
4.
Для исследования функции на возрастание и убывание необходимо:
Найти область определения функции.
Найти её производную.
Найти значения х, при которых f x   0 .
Разбить всю область существования функции найденными значениями
х на отдельные промежутки и для каждого из них найти знак
производной: если f x   0 то на данном промежутке функция
возрастает, если f x   0 - функция убывает.
Пример. Исследовать на возрастание и
y=2 x 2  3x 2  36 x  15
1) Д(у)=R
2) y   6 x 2  6 x  36  6( x 2  x  6)
3) y   0 x 2  x  6  0; x1  3; x2  2
x
(-∞; -3)
-3
(-3; 2)
I
y
+
0
y
Возраст.
Убывающ.
убывание
2
0
функцию
(2; +∞)
+
Возраст.
2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Говорят, что функция у=f(х) имеет максимум (минимум) при x  x1 , если
для всех значений x  x1 и достаточно близких к x1 выполняется неравенство
f(x)<f( x1 );(f(x)>f( x1 ))
3
Точки кривой близки точки максимума расположены выше этой
точки( f x1   f ( x) ).
Максимум и минимум функции называются экстремумами, точка x1 точка экстремума.
Теорема 1.(Необходимое условие экстремума) Если функция, у=f(х)
дифференцируема в промежутке (а, в) , имеет в некоторой точке x 0 внутри
этого промежутка экстремум, то её производная в этой точке равна нулю, т.е
f ( x0 )  0
(1)
Теорема позволяет установить отсутствие у функции экстремума, если
производная исследуемой функции не имеет критических точек, т.е.
действительных корней.
Условие (1) означает, что в точке экстремума дифференцируемой
функции f(x) касательная параллельна оси Ох.
Функция может иметь экстремум и в точках, где производная не
существует, например, графиком такой функции имеет узлом.
Значение аргумента при которых производная равна нулю или не
существует, называются критическими.
Таким образом, если функция имеет экстремум , то он может быть
только в критических точках.
3.Достаточные признаки существования экстремума.
Из того факта ,что f x0   0 , ещё не следует,что функция f(х) имеет
экстремум при х= x 0 .
4
Из графика видно, что в точке х=0 экстремума нет, касательная
пересекает кривую. Таким образом, не для всякого критического значения
аргумента функция f(х) имеет место экстремум этой функции. Поэтому
наряду с необходимым условием дадим достаточные условия экстремума в
точке.
Теорема2. Пусть функция f(х) непрерывна в некотором интервале,
содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого
интервала, кроме, быть может самой точки x 0 .Если при переходе аргумента
слева на право через точку x 0 производная f x  меняет знак с + на -, то
функция в этой точке имеет максимум; если знак меняется с – на +, то
функция имеет минимум.
Замечание. Если для дифференцируемой функции f (x) её производная
f ( x0 )  0 , но при переходе через это значение производная сохраняет
постоянный знак, то при x  x0 функция f (x) экстремума не имеет.
Правило1. Исследования функции на экстремум.
Найти область определения функции.
Найти производную функции f (x) .
Найти критические точки.
Установить знак производной вблизи критических точек и определить
характер экстремума.
5) Вычислить значение функции в точках экстремума.
1)
2)
3)
4)
Пример. Исследовать на экстремум функцию y  x  3 ( x  1) 2
1) D( y )  R .
5

2
3
1
2) y   1  ( x  1) 3  1 
33 x  1
33 x  1  2
2
8
19
3
3

0
;
3
x

1

2

0
;
x

1


;
x

1


;
x

3
27
27
33 x  1
33 x  1
y  - не существует при x  1.
3) y   0; 1 
4)
2
2
 0;
x (-∞; 19 ) 19
27
I
y
y
+
↑
27
(
0
19
; 1) 1
27
↓
31
27
max
0
1
(1; +∞
+
↑
min
31
27
1
19
27
1
Достаточные условия существования экстремума можно проверить и с
помощью второй производной, если исследуемая функция дифференцируема
не менее двух раз.
Теорема3. Если для дифференцируемой функции f (x) в некоторой
точке x 0 её первая производная f ( x0 )  0 , а вторая производная существует и
f ( x0 )  0 , то, если 1) f ( x0 )  0 , то f ( x 0 ) - минимум функции f (x) ; 2) если
f ( x0 )  0 , то f ( x 0 ) - максимум функции f (x) .
Правило2. Исследование функции на экстремум.
1)
2)
3)
4)
5)
Найти D( y )
Найти y 
Найти x , при которых y   0
Найти y 
Найти знак второй производной в критических точках.
Пример. Исследовать функцию y  x 3  6 x 2  9 x  5 на экстремум.
1) D( y )  R
2) y   3x 2  12 x  9  3( x 2  4 x  3) ;
6
3) y   0; x 2  4 x  3  0; x1  1; x2  3 .
4) y   6 x  12
 y (1)  максимум
y (1)  6  12  6  0
 y (1)  9;
5)
 y (3)  минимум
y (3)  18  12  6  0
 y (3)  5
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на
отрезке функции.
Теория экстремумов функции имеет многочисленные практические
применения.
Пусть функция непрерывна на отрезке a; b. Тогда на этом отрезке
функция f (x) достигает наибольшего и наименьшего значений (на основании
свойств непрерывных функции). Функция может достигать своего
наименьшего или набольшего значения внутри отрезка, или на концах
отрезка.
Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной
на отрезке функции.
1) Найти все максимумы и минимумы функции на отрезке.
2)Найти значения функции на концах отрезка, т.е. f (a), f (b) .
3)Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее
Пример. На отрезке  3;  найти наименьшее и наибольшее значение
2

3
функции y  x 3  3x  3 .
1) y  3x 2  3; y  0; 3x 2  3  0; x1,2  1 .
y   6 x; y (1)  6  0 y max (1)  5
y(1)6  0; ymin (1)  1.
3 15
2) y (3)  15; y ( ) 
2
8
3
2
1) Итак. y (3)  15; y (1)  5; y (1)  1; y ( ) 
15
- следовательно
8
y наиб  y max (1)  5; y наим  y(3)  15 .
Заключение.
Из самых различных областей науки и техники возникает большое
количество практических задач, решение которых связано с исследованием
функций и, в частности, с нахождением наибольших и наименьших значений.
Вместе с тем рассматриваемые в лекции вопросы будут неоднократно
встречаться и при дальнейшем изучении математического анализа.
Следует обратить особое внимание на практическую сторону вопроса, то
есть на методику исследования функций, построения графиков и решения
задач.