Секреты листа Мебиуса

МОУ «Будаговская средняя общеобразовательная школа»
Тема:
Выполнил: Шалыгин Иван
Ученик 5 класса
Руководитель: Калаш Г.В.
Учитель математики
Будагово 2012 год
1
ЭПИГРАФ:
В трёхмерном пространстве
Мы с вами живём,
Гуляем, играем и в школу идём
Так больше узнать бы о нём не мешало
Исследовать всё
О пространстве сначала.
Всё что вокруг, нам привычно и мило.
Путь нам в науку служанка открыла.
Лента с ошибкою сшита была,
Смысл для потомков она обрела.
Так Мёбиус – лист для науки нашёл,
Раздел в математике свой приобрёл.
Ветвь, что поверхности тел изучает
С тех пор топологией все величают.
Как мухе на ленте с пути не свернуть?
Увы, предстоит, бесконечный ей путь.
2
Содержание
I. Лист Мёбиуса
1.Содержание……………………………………………………………………………………………………..3
2.Введение .……………………………………………………………………………………………………….4
3.Историческая справка……………………………………………………………………………………..5
4.Топология – "Геометрия положения"….....……………………………………………………….5
II. Исследование
Эксперименты с бумагой:
1. Закрашивание поверхности Листа Мёбиуса…………………………………7
2. Разрезание Листа Мёбиуса: …………………………………………………………….8
а) вдоль листа на две равные части…………………………………………..……….9
б) при операции перекручивания ленты…………………………………………10
в) нескольких лент склеенных под прямым углом…………………………11
г) несколько разрезов вдоль листа на 3; 4; 5; частей .…………………….12
3. По результатам экспериментов заполнить таблицы….………………..12
4. Сделать выводы, полученные по результатам проведенных
исследований……………………………………………………………………………………12
5. Фокусы с лентой Мёбиуса……………………………………………………………..13
6. Эксперименты с веревкой и жилетом. …………………………………………14
III. Практическое применение ленты Мёбиуса ……………………………………….15
IV Заключение……………………………………………………………………………………………….16
V. Список использованной литературы……………………………………………………..17
VI. Приложение…………………………………………………………………………………………….18
Практическое занятие кружка математики по исследованию Ленты Мёбиуса
в 5 классе (фотографии и кадры видеозаписи, сделанные Шалыгиным
Иваном)……………………………………………………………………………………………………………17
3
Введение
Общая характеристика проекта:
1. Проект «Геометрия в пространстве» продолжительный (Рассчитан на вторую и
третью четверти)
2. Проект познавательный, исследовательский. (Исследование и эксперимент,
систематизация и практическое применение).
3. Проект групповой (Работа на заседаниях кружка с учащимися 5 класса)
4. Проект расширенный. (Проводится в рамках школы с последующей
защитой раздела проекта в форме реферата и презентации на районной
конференции «За страницами учебника математики»)
5. По результатам раздела проекта по теме: «Секреты листа Мёбиуса»
подготовил реферат и выступил руководитель IV группы Шалыгин Иван.
Цель работы:
1. Познакомиться с новым разделом математики – «Топологией», с
её основными понятиями и задачами, выполнить в практических
целях исследования и сделать для себя открытия.
2. Сформировать
первое
представление
о
Листе
Мёбиуса.
Познакомиться с основными приёмами математического подхода
к окружающему миру.
3. Научиться
проводить
исследования,
описывать
результаты, заполнять таблицы и выполнять
полученные
чертежи и рисунки
моделей полученных в ходе эксперимента.
4. Научиться делать аргументированные выводы, генерировать идеи по
разрешению ситуаций, применять знания к решению новых задач и
проблем.
5. Провести практические эксперименты.
6. Установить, связь рассмотренного материала с жизнью.
4
Историческая справка
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка
любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел
мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не
приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот
день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса. На
пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в
хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана,
что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три
раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно
уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна
правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту,
профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это
же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”
Открытая поверхность получила математическое обоснование и
имя в честь описавшего ее математика и астронома.
Топология – "Геометрия положения"
С того момента, как немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус
обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги,
начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией.
Топология в основном изучает поверхности тел, и она находит
математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак
между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку
макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет
отверстие, хотя во всех других отношениях они различны.
5
Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Слово это
придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета,
который почти в тоже время, что и его Лейпцигский коллега, предложил в
качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам,
единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная.
Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую
фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать –
делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом
он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались
неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы,
ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые
не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается
катастрофы – "взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют
"геометрией непрерывности”. Она известна и под именем "резиновая
геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры
на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму,
следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии,
например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога
глубоко безразлично.
Какие же необычные свойства фигур изучает топология? До сих пор речь
шла всего об одном свойстве – односторонности. Если двигаться по
поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ,
то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндра),
попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать
по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в
начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки.
Другими свойствами, которые изучает топология, являются непрерывность,
связность, ориентированность.
Например, непрерывность – это ещё одно топологическое свойство.
Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то
6
убедитесь, что масштаб аэрофлотом далеко не выдержан – скажем,
Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всётаки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно
связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И, поэтому,
тополог может, как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее
бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с
топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника,
потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая
непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с
любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не
придётся переползать через край "ленты”. Разрывов нет – непрерывность
полная.
Эксперименты с бумагой.
Чтобы сделать лист Мёбиуса надо взять достаточно вытянутую
бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув
один из них. Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы идти
по ней вечно.
Мы рассмотрим сейчас несколько опытов с поверхностями и
отверстиями, полученными из бумажной полоски. Удобнее всего
использовать полоски длиной примерно 30 – 40 см и шириной 3см. Прежде
всего, склеим два кольца – одно простое и одно перекрученное.
7
Кольца, конечно, очень похожи; но что получится, если провести
непрерывную линию по одной из сторон кольца? Когда Мёбиус сделал это
на перекрученном кольце, он обнаружил, что линия прошла по обеим
сторонам, хотя его карандаш не отрывался от бумаги. Означает ли это, что
наше кольцо имеет только одну сторону?
Испытай теперь свои кольца.
1. Закрась полностью только одну сторону каждого из них.
Сколько у них поверхностей?
Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса — кусок за куском,
не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист
Мёбиуса!
Чем же интересен этот лист? А тем, что у листа Мёбиуса — всего одна
сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой
мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера)
– две стороны.
8
2. Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную
линию вдоль него, пока не придёшь снова в отмеченную точку.
Сколько краёв имеет лента Мёбиуса?
Неожиданность номер два: граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из
двух частей, как у обычного кольца.
Испытаем кольца, разрезая их на две части вдоль.
Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец
получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца.
Запиши результаты дальнейших перекручиваний и разрезаний в таблицу.
Несколько перекручиваний.
9
А что получится, если сделать полный оборот?
Сколько краёв имеет получившееся кольцо?
Сколько поверхностей?
А что получится, если разрезать его пополам вдоль?
Проведём несколько исследований с перекручиванием на пол-оборота.
На полный оборот, на полтора оборота.
Опишем свойства и сделаем эскизы получившихся результатов.
Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если
попробовать разрезать ленту пополам по линии, равноудалённой от краёв,
вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое
больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники
называют "афганская лента". Если теперь эту ленту разрезать посередине,
получатся две намотанные друг на друга. Другие интересные комбинации
лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более
полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя
полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез
ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры,
названные парадромными кольцами.
Запишем результаты
перекручиваний и разрезаний в таблицу
исследований.
Таблица исследований № 1
С одной лентой
№
п/п
Число
полуоборотов
1
0
Результат одного
разрезания
пополам вдоль
Два кольца
Свойства
2
1
Одно кольцо
Кольцо вдвое
длиннее
3
2
Два кольца
Кольца той же длины
сцеплены друг с
другом
4
3
Одно кольцо
Кольцо вдвое
длиннее связано
узлом
Кольца вдвое уже
той же длины
10
Эскиз
Выводы:
Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два
раза (т.е. 4 полуоборота на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже
двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется
непременно перевернуть ленту на другую сторону.
Свойства этой
поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль
посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных
между собой. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы
обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь
рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему
сцеплены вместе. Если взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани,
повернуть один из концов полоски на три полных оборота, т.е. на 540
градусов, сшить оба конца. Затем взять ножницы и аккуратно разрезать
полоску посередине, затем разрезать ещё раз, то получается три одинаковых
кольца, сцепленных между собой.
Несколько лент
Мы поразимся тому, что получится, если разрезать двойное кольцо.
Приготовьте два кольца: одно обычное и одно Мёбиусово. Склейте их под
прямым углом, а затем оба
разрежьте вдоль.
Таблица исследований № 2
№
п/п
Количество
колец
1
Два кольца
расположенные
перпендикулярн
о друг другу.
Результат
разрезания
вдоль каждой
ленты
Три кольца
Свойства
Два кольца той же
длины, третье вдвое
длиннее. Два кольца
меньшей длины
переплетены в паре
третьим кольцом
11
Эскиз
Дополнительный вопрос
Несколько разрезов
Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два
кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое.
Таблица исследований № 3
№
п/п
Количество
разрезов
1
Три части
Результат
разрезания вдоль
каждой ленты
Два кольца
Свойства
Одно кольцо той же
длины, второе вдвое
длиннее сцеплены
друг с другом
12
Эскиз
2
Четыре
части
Два кольца
Оба кольца вдвое
длиннее разрезанного,
сцеплены друг с
другом. Одно из колец
переплело другое
3
Пять частей
Три кольца
Два кольца вдвое
длиннее
переплетены друг с
другом и сцеплены
вместе в пару
третьим коротким
кольцом
первоначальной
длины
Выводы:
Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у
вас окажется весьма "затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по
размеру, но разных по ширине.
Фокусы с лентой Мёбиуса.
Физики, утверждают, что все оптические законы основаны на
свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это
своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли
секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего
двойника!
В силу своих необычных свойств лента Мёбиуса широко
используется на протяжении последних 75 лет фокусниками. Если
попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв,
вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое
больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники
называют «афганская лента».
На основе исследований проведённых нами с кольцами из
перекрученной ленты можно показать серию фокусов.
Вот один из них:
Вручаем зрителю три больших бумажных кольца, каждое из
которых получилось путём склеивания концов бумажной ленты.
(Таблица исследований 1). Зритель разрезает ножницами кольца вдоль
ленты посередине, пока не вернётся в исходную точку. В результате из
первого получится два отельных кольца. Из второго – одно кольцо, но
вдвое длиннее, а из третьего – два кольца, сцепленные друг с другом.
13
Если трижды перекрученную ленту продеть сквозь перстень склеить
концы, а затем разрезать её вдоль посередине, то получим одно большое
кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня.
Аналогично для фокусов можно использовать таблицы исследований
2 и 3.
Эксперименты с веревкой и жилетом.
Фокусы с лентой Мёбиуса являются частью топологических фокусов,
для проведения которых необходимы гибкие материалы, которые не
изменяются при непрерывных преобразованиях: растяжениях и сжатиях.
Для выполнения экспериментов необходимы шарф, жилет, веревки.
Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью
экспериментов ищем выход из сложившейся ситуации.
Эксперимент 1.
Проблема завязывания узлов.
Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это
можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди.
Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите
поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки
будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь
топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус
и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При
разведении рук узел только перемещается с рук на платок.
Эксперимент 2.
Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу
жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны
вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации
этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину
владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому
что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не
измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять
правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении.
Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется
вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и, не
расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что
жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно
заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот
эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить
14
шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 40, чтобы обеспечить
свободу движений, и руки сцепить впереди.
Эксперимент 3.
Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за
руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца.
Необходимо, не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта
кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо
одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и
снять петлю через кисть руки.
III. Практическое применение ленты Мёбиуса
Самое удивительное ее свойство - то, что она односторонняя, ее нельзя
раскрасить двумя красками, а насекомые, ползающее по ней, обойдут обе
стороны, не пересекая край. Это свойство нашло практическое применение:
запатентовано множество устройств, например, ремень для заточки,
красящая лента для печатающих устройств, ременная передача и другие
технические решения. Свойство односторонности листа Мёбиуса было
использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде
листа Мёбиуса, то его поверхность изнашивается вдвое медленнее, чем у
обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию
Свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в
швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани
Пружинный механизм детских заводных игрушек чаще всего выходит
из строя, потому, что дети нередко пытаются заводить пружину, когда она и
так закручена до предела. Кольцевая перекрученная пружина может стать
"вечным двигателем" для детских игрушек.
Еще один пример возможного использования нового механизма щелевой затвор фото- или кинокамеры (не цифровой). В традиционных
конструкциях после спуска затвора необходимо закрыть щель шторки
затвора, а затем только вернуть его в исходное положение, одновременно
15
взведя пружину. Иначе кадр засветится при прохождении щели затвора в
обратном направлении. Устройство затвора получается весьма сложным.
Применение ленты Мёбиуса позволило упростить конструкцию, повысило
ее надежность, долговечность и быстродействие.
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид
листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных
изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для
магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты
с "двух сторон” не меняя их местами.
Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские
горки”. Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь,
наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит
памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная
лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа
Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных
рисунков оставил Мауриц Эшер.
IV.
Заключение
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно,
но оно очень популярно и в наши дни.
Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная
затем в кольцо, сразу, же превращается в загадочную ленту Мебиуса и
приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и
пространств изучает специальный раздел математики – Топология. Наука эта
настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах. Но кто
знает, может быть со временем, мы станем знаменитыми топологами и
совершим замечательные открытия. И быть может, какую-нибудь
замысловатую поверхность назовут нашими именами.
Работая вместе с ребятами моей группы над проектом «Секреты листа
Мёбиуса» я узнал много нового и интересного:
научился находить
литературу по предложенной учителем теме в
библиотеке, читать и выбирать нужный материал;
пользоваться статьями в интернете, подбирать нужные иллюстрации для
реферата, строить таблицы и заполнять их;
выполнять исследования «листа Мёбиуса» (делать нужное число поворотов
склеивать и разрезать); получившиеся кольца фотографировать и вносить в
таблицу;
составлять презентацию и снимать на видео эксперименты;
выступать на конференции и показывать фокусы.
Всё это довольно сложно и требует много времени, но очень интересно.
16
«Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно
демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и
логикой»
Р. Курант.
17
Литература
1. Гарднер М «Математические чудеса и тайны», Москва, «Наука» 1986г
2. Громов А.С. «Внеклассные задания по математике 8-9 класс» Москва,
Просвещение
3. Н. Лэнгдон, Ч.Снейп
«С математикой в путь» Москва, Педагогика,
1987г
4. Научно – популярный журнал "Квант" 1975 год №7, 1977год №7.
5. Савин А.П. « Энциклопедический словарь юного математика», М,
Просвещение, 1985г
6. Якушева Г.М «Большая энциклопедия школьника. Математика»,
Москва, «СЛОВО», Эксмо, 2006г
7. w.w.w.Rambler.ru
18
Приложение
Лабораторная работа «Лист Мёбиуса» на занятиях математического кружка
19
Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса — кусок за куском, не
переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса!
20
Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную
линию вдоль него, пока не придёшь снова в отмеченную точку
21
Испытаем кольца, разрезая их на две части вдоль.
22
Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец
получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца.
23
Запишем результаты перекручиваний и разрезаний в таблицу
исследований.
24
Оба кольца вдвое длиннее разрезанного, сцеплены друг с другом. Одно из
колец переплело другое
25
Одно кольцо той же длины, второе вдвое длиннее сцеплены друг с другом
26
Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт
неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
27