Двойной интеграл и его приложения

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания и варианты заданий к самостоятельной работе
РПК ”Политехник”
Волгоград
1999
УДК 517.3
Двойные интегралы: Методические указания и варианты заданий к
самостоятельной работе / Сост. Л.М.Петрова; Волгоград. гос. техн. ун-т.
Волгоград, 1999. – 36 с.
Излагаются основные определения и теоремы относящиеся к теме
“Двойной интеграл”
Приводятся примеры вычисления двойных интегралов и примеры их
применения, а также варианты заданий к самостоятельной работе
студентов по указанной теме.
Предназначены в помощь студентам всех специальностей.
Ил. 29.
Табл. 4.
Библиогр.: 2 назв.
Рецензент В.Ф.Казак
Печатается по решению редакционно-издательского
Волгоградского государственного технического университета.
©
2
совета
Волгоградский
государственный
технический
университет, 1999
§1. Двойной интеграл и его вычисление
в декартовых координатах
1. Определение двойного интеграла
Пусть z=f(x;y) - некоторая функция двух переменных, заданная на
замкнутой области R 2 .
Выполним следующие действия:
разобьем область  произвольно на n областей  1 ,  2 , ...  n
таких, что любые две из них пересекаются либо по пустому множеству,
либо по их общей границе;
в каждой области  i (внутри или на границе) выберем
произвольную точку Р i (х i , у i );
найдем произведение значения функции f(x;y) в точке Рi (хi, уi) на
площадь  i ;
сложим все такие произведения, получим сумму вида:
 f (x i ; yi ) i
 f (x i ; yi ) i .
i 1
Определение.
n
n
называется интегральной суммой для функции f(х;у) в
i 1
области .
Интегральная сумма зависит от способа разбиения области  на
части  1 ,  2 , ...  n и от выбора точек Р i (х i , у i ) на этих частях, т.е.
для функции в области  можно составить бесконечное множество
интегральных сумм.
Диаметром замкнутой области называется наибольшее из
расстояний между двумя точками границы этой области.
 i
 (  i ) - диаметр  i .
Рис.1
Шагом разбиения области  на конечное число частей называется
наибольший из диаметров областей деления =max ( i ).
Если при стремлении к нулю шага разбиения  области

интегральные суммы
n
 f (x i ; yi )  i
имеют конечный предел, то этот предел называют
i 1
двойным интегралом от функции f(x,y) по области  и обозначают
3
символами
 f (x, y)d или  f (x, y)dxdy .


Таким образом, по определению
n
 f (x, y)d = lim  f (x i ; yi )i , если
  0 i 1

этот предел существует.
§2. Достаточные условия существования двойного интеграла
Теорема 1.
Если функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области , то
двойной интеграл  f ( x, y)d существует.

Теорема 2.
Если функция z=f(x,y) ограничена в замкнутой области  и
непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий,
то  f ( x, y)d существует.

§3. Простейшие свойства двойного интеграла
Предположим,
что
все
встречающиеся
ниже
функции
удовлетворяют условиям теорем (1 или 2) существования двойного
интеграла в рассматриваемых областях.
1. Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy не зависит от обозначения

переменных.
2. Постоянный множитель  можно выносить за знак двойного
интеграла:  f ( x, y)d =  f ( x, y)d .


3. Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных
интегралов слагаемых:  (f1 ( x, y) f 2 ( x, y))d =  f1 ( x, y)d +  f 2 ( x, y)d .



ЗАМЕЧАНИЕ. Свойство 3 справедливо для любого фиксированного
числа слагаемых.
4. Если область  разбита на две, не имеющие общих внутренних
точек области  1 и  2, то
 f (x, y)d =  f ( x , y)d +  f ( x , y)d .

1
2
ЗАМЕЧАНИЕ. Свойство 4 справедливо в том случае, если область 
разбита на любое конечное число m областей  1 ,  2 , ...  m , не
4
имеющих общих внутренних точек. Свойство 4 называется свойством
аддитивности двойного интеграла.
5. Если всюду в области  функция f(x,y)0, то  f ( x, y)d 0.

6.
Если
всюду
 f1 (x, y)d   f 2 (x, y)d .

в

области
f 1 (x,y)
f 2 (x,y),
то

7. |  f ( x, y)d |   f ( x, y) d .

8.

 d   .

§4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
4.1. Рассмотрим область R 2 и проведем вертикальные прямые
х=с (с=const) так, чтобы они пересекали область .
Область R 2 называется вертикально-правильной, если каждая
вертикальная прямая х=с (с=const) пересекает границу области  не
более, чем в двух точках Р 1 (х,у 1 ) и Р 2 (х,у 2 ).
Рис.2
 - вертикально-правильная, а область D не является вертикально-правильной.
Вертикально-правильную
неравенств
область

можно
задать
 a  x b;
( x )  y  ( x ),
: 
системой
(1)
где [a,b] — проекция области  на ось ОХ.
Двойной интеграл по вертикально-правильной области , заданной
системой неравенств (1), вычисляется с помощью повторного
интеграла:
b (x)
b
(x )
a ( x )
а
( x )
 f (x, y)d =  f (x, y)dxdy =  (  f ( x, y)dy)dx =  dx  f (x, y)dy .


5
Порядок вычислений
(x)
1. Вычислить внутренний интеграл
 f ( x, y)dy , в котором х является
( x )
параметром
(х постоянно). Результатом вычислений внутреннего
(x)
интеграла является некоторая функция от х
 f (x, y)dy  J(x) .
( x )
b
2. Вычислить внешний интеграл  J( x )dx.
а
4.2. Область R называется горизонтально-правильной, если
каждая горизонтальная прямая у=с (с=const) пересекает границу
области  не более, чем в двух точках Р 1 (х 1 ,у) и Р 2 (х 2 ,у).
2
Рис.3
Рис. 4
 - горизонтально-правильная область . D - не является горизонтально
правильной областью.
[c; d] - проекция  на ОУ.
Область  можно задать системой неравенств
:
 c  y  d;

( y)  x  ( y).
(2)
Двойной интеграл по горизонтально-правильной области ,
заданной системой неравенств (2), вычисляется с помощью повторного
интеграла
d  ( y)
d
 ( y)
c ( y )
c
( y)
 f (x, y)dxdy =  (  f ( x, y)dx)dy =  dy  f ( x, y)dx .

Порядок вычислений
6
 ( y)
 f ( x, y)dx , в котором y является
1. Вычислить внутренний интеграл
( y )
параметром (у постоянно). Результатом вычислений внутреннего
( y)
интеграла является некоторая функция от y
 f (x, y)dx  J( y).
( y )
d
2. Вычислить внешний интеграл  J( y)dy.
c
ЗАМЕЧАНИЕ
1. Если область  не является правильной, то ее надо разбить на
правильные области и вычислить двойной интеграл, используя свойство
аддитивности двойного интеграла
 f (x, y)d =  f ( x , y)d +  f ( x , y)d +  f ( x , y)d .

1
2
3
Рис.5
2. Если область  является правильной, но хотя бы одна из ее
границ не задается единой функцией, ее следует разбить
горизонтальными или вертикальными линиями на подобласти.
7
Рис.6
В данном случае вычисление ведется по формуле
 f (x, y)d =  f ( x , y)d +  f ( x , y)d .

1
2
8
4.4. Отработка отдельных блоков схемы
вычисления двойного интеграла
Пример № 1.
3
x2
1
x 1
Вычислить повторный интеграл  dx
 xydy .
Решение
1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную
х как параметр (т.е. const):
x2
x2
2
xy 2 x
x
1
J(x)=  xydy = x  ydy =
| = (x 4 -x 2 +2x-1) = (x 5 -x 3 +2x 2 -x).
2 x 1 2
2
x 1
x 1
2. Вычислим внешний интеграл
3
13 5
3
2
 J(x)dx  2  (x  x  2x  x)dx 
1
1
 x 6 x 4 x 3 x 2 3 182
26
1
| 



 10 
 2  57 .
=
 12
8
3
4 1
3
3
3

Вычисление можно записывать короче:
3
x2
3
x2
2
3
13 5
y2 x
3
2
 dx  xydy =  xdx  ydy =  xdx ( 2 | )= 2  (x  x  2x  x)dx 
1
x 1
1
x 1
1 x 1
1
 x 6 x 4 x 3 x 2 3
 |  57 1 .



=
 12
8
3
4 1
3

Пример № 2.
4

Вычислить повторный интеграл
2
y
dy 
0x
y3
2
y
2
dx .
Решение
1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную
у как параметр (т.е. const):
y
y
y 2
xy 2
dx = y 
J(y)= 
= y  arctg |  y (arctg 1- arctg 0)=
.
2
2
2
2
4
y
y
x

y
x

y
0
0
0
y3
3
dx
3 1
2. Вычислим внешний интеграл.
9
4
y 2
y 3 4
 4 2
dy

y
dy

|  6 .
 4

4
12
2
2
2
Вычисление можно записывать короче:
y
4
4
y3
dx
1
xy
3
3
 dy  x 2  y 2 dy   y dy  x 2  y 2   y dy( y arctg y 0| ) 
2
0
2
0
2
4 2
y 3 4
=  y dy 
|  6.
4 2
12 2
4
y
Пример № 3
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f (x; y)dxdy по области , где  ограничена линиями: у=2-х2; у=2х-1.

Решение
1. Построим область .
Рис.7
2. Область  является вертикально-правильной, поэтому вычисляем
двойной интеграл по формуле
b
(x )
a
( x )
 f (x; y)dxdy =  dx  f ( x, y)dy.

3. Определим внешние и внутренние пределы интегрирования.
Спроецируем область  на ось ОХ, получим а=-3, b=1.
Проведем прямые параллельные оси ОУ и найдем уравнения линии
входа в область  и линии выхода из области : увх=2х-1 и увых=2-х2.
Таким образом,
1
2 x 2
2
2 x 1
 f (x; y)dxdy =  dx  f (x, y)dy.

Пример № 4.
10
Расставить пределы интегрирования в
 f (x; y)dxdy по области , где

 ограничена линиями у =2х и у=х-4.
2
Решение
1. Построим область .

Область
d
c
( y )
 f (x; y)dxdy =  dy

является
( y)
Рис.8
горизонтально-правильной,
поэтому
 f ( x, y)dx.
2. Определим внешние и внутренние пределы интегрирования.
Спроецируем  на ось ОУ, получим с=-2; d=4.
Проведем прямые  параллельно оси ОХ и определим уравнения
линии входа в область  и выхода из нее.
Линия входа в область  задается функцией у 2 =2х. Выразим
y2
переменное х: хвхода= .
2
Линия выхода из области  задается функцией у=х-4. Выразим
переменное х: хвыхода=у+4.
y 4
4
Таким образом,
 f (x; y)dxdy =  dy

2
 f ( x, y)dx.
2
y /2
Пример № 5
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f (x; y)dxdy по области , где  ограничена линиями у=(х+1)2; у=(х-1)2;

у=0.
Решение.
1. Построим область .
11
Рис.9
2. Область  является вертикально-правильной, но две ее границы
заданы разными функциями: у=(х+1)2 и у=(х-1)2, поэтому
 f (x; y)dxdy =  f (x; y)dxdy +  f (x; y)dxdy =
1

0
( x 1)
1
0
=  dx
2
2
1
( x 1) 2
0
0
 f (x, y)dy +  dx  f (x, y)dy .
ЗАМЕЧАНИЕ
Область  является также и горизонтально правильной и тогда
1
1 y
0
1 y
 f (x; y)dxdy =  dy  f ( x, y)dx.

Пример № 6.
Вычислить двойной интеграл
 (2x  y)d
по области , заданной

неравенствами : х+у0; 2y-х0; у1.
Решение
1. Построим область : х+у0; 2y-х0; у1.
Рис.10
интегрирования
2. Расставим пределы
и вычислим двойной
интеграл.
Область  является горизонтально-правильной и вертикальноправильной,
но
целесообразно
выбрать
формулу
12
d
 ( y)
 f (x; y)d =  dy  f (x, y)dx ,

c
так как иначе придется вычислять два
( y)
двойных интеграла.
1
2y
1
0
y
0
2y
 (2x  y)dxdy   dy  (2x  y)dx   dy((x  yx ) |y) 

1
1
2
  dy(4 y  2 y  y  y )  6 y dy  2 y
2
2
2
2
0
2
3
0
1
|  2.
0
Пример № 7.
Вычислить двойной интеграл
2
y
 e dxdy по области , заданной

неравенствами 0х1; ху1.
Решение
1. Построим область .
Рис.11
2. Область  является правильной, тогда
 e

y2
1
1
0
x
2
dxdy   dx  e y dy .
Вычислить этот интеграл в указанном порядке невозможно, так как
2
y
 e dy не выражается в элементарных функциях. Изменим
порядок интегрирования:
13
 e

1
e
y2
y2
1
y
2
dxdy   dy  e y dx 
0 0
1 2
y
y
dy  dx   e
0
0
y
1
0
0
2
dy( x | )   ye y dy 
0
1 1 y2
1 y2 1 1
2
e
d
(
y
)

e |  (e  1).

20
2
0 2
4.5. Задания к § 4
1. Вычислить двукратные (повторные) интегралы:
2
3
2
0
5x
г)  dx

0
0
1
б)  dy  ( x  2 y)dx ;
а)  dx  ( x  2xy)dy ;
0
5
y2
0
2
в)
 
0
0
v u
dv e v du ;
0
4  x  y 2 dy .
e  1 506
;
.
15
2
Ответы: 26; -11,2;
2. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
4
4
0
1 x 2
2
2
y
y
1
x 1
1
1
y
 dx  udy ;
а)  dy  f ( x, y)dx ; б)
г)  dy  zdx ; д)
1

2
1
2x 2
0
x
в)  dx
4
2
2
y2
0
2x x 2
dy  dx ; e)  dx
 qdy ;
 dy .
Ответы:
4
x
2
2
1
y 1
0
 1 y 2
б)  dy
а)  dx  f ( x, y)dy ;
1
2
2
2
1
1
2
1
x
1
x
0
г)  dx  zdy   dx  zdy ; д)  dx
2
1 1 1 y
е)  (
0

0
dx 
2

 x
2
0
0
1
4
1
1
 x
dy   dx

2
2
dx)dy   dy dx .
1 1 y2
1
0
14
y
в)  dy  qdx   dy
 udx ;
x
1
 dy ;
2 y
 qdx ;
0
3. Вычислить двойной интеграл
 (x y)dxdy ,
где область D -
D
треугольник, ограниченный прямыми х=0; у=0; х+у=3.
Ответ: 9.
4. Вычислить двойной интеграл
неравенствами y 
Ответ:

xdxdy
2
Dx y
2
, если область D задана
x
; ух; 0х2.
2

1
 2arctg .
2
2
5. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным
указанными линиями
a)
ydxdy ;
y=0; y= 2ax  x 2 ;
 sin( x  y)dxdy ;
y=0; y=x; x+y=/2;
 x
2
D
б)
D
в)
 x
2
( y  x )dxdy ; x=y2; y=x2.
D
Ответы:
6.
4 5
a;
5
1/2; -1/504.
Вычислить двойной интеграл
 xy
2
dxdy , если  ограничена

линиями у =2рх и х=р/2 (р>0).
2
p5
Ответ:
.
21
7.
Вычислить
двойной
интеграл
 (x
2
 y 2 )dxdy ,
D
параллелограмм со сторонами у=х, у=х+а, у=а, у=3а (а>0).
Ответ: 14а4.
§5. Замена переменных в двойном интеграле
15
если
D-
5.1. Пусть функции х=х(u,v) и y=y(u,v) взаимно - однозначно
отображают область G в плоскости UOV в область  в плоскости ХОУ ,
причем эти функции в области G непрерывно дифференцируемы, и
якобиан J(u,v)0:
x x
J(u,v)= u v 0.
y y
u v
Тогда  f ( x, y)dxdy   f ( x (u, v), y(u, v) J dudv .

G
Как правило, к новым переменным в двойном интеграле переходят
для упрощения уравнений границ области .
5.2. Наиболее распространенным случаем является переход к
полярным координатам: x=cos, y=sin. Якобиан этого отображения
равен
x
J= u
y
u
x
x
v = 
y
y

v
поэтому
x
 cos   sin 
=
=(cos2+sin2)=,
y sin   cos

 f (x, y)dxdy   f ( cos ,  sin )dd .

G
Расстановка пределов в полярных координатах.
Область  называется радиально-правильной, если каждый радиуслуч, выходящий из полюса, пересекает границу области  не более, чем
в двух точках: 1(,1) и 2(,2), 12, причем в точке 1 луч “входит “ в
область , а в точке 2 “выходит” из области .
Рис.12
Рис. 13
Область  - радиально-правильная.
Область  - радиальнонеправильная.
16
Множество всех точек “входа” (“выхода”) образуют внутреннюю
(внешнюю) границу области .
На рис.12 =1() - внутренняя граница, =2() - внешняя граница
области .
Двойной интеграл по области в полярных координатах по области 
сводится к повторному интегралу.

 2 ()

1 ()
 f (x, y)dxdy   d  f ( cos,  sin )d .

Замечание. Точек “ входа” в область может не быть , если начало
луча =const (полюс) уже лежит в области . В этом случае уравнение
внутренней границы =0.
Для области  на рис.14
верно

 ()

0
 f ( x, y)dxdy   d  f ( cos,  sin )d .

Рис.14
Замечание. Если область не является радиально-правильной, то ее следует
разбить (например, радиальными прямыми) на
несколько подобластей,
каждая из которых является радиально-правильной

 2 ()

 3 ( )

1 ()

1 ()
 f (x, y)dxdy   d  f ( cos,  sin )d +  d  f ( cos,  sin )d .

17
Рис. 15
5.3 Примеры
Пример 1. Вычислить двойной интеграл

xy
2
2
Dx y
x 2 +y 2 2x, y0.
D задана неравенствами x 2 +y 2 4,
dxdy , где область
Решение
1. Построим область D.
Рис.16
2. Выразим уравнение границ области D в полярных координатах:
а) x2+y2=4  2=4  =2;
б) x2+y2=2x  2=2cos  =2cos ;
в) y=0  sin=0  =0 или = при 0.
3. Подынтегральная функция в полярных координатах имеет вид
 cos   sin  cos  sin 
xy
f(x,y)=
=
=
.

2
x 2  y2
4. Расставляем пределы и вычисляем двойной интеграл.
Область D не является радиально-правильной,
разбиваем ее на две области D1 и D2.
 f (x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy 
D
D2
D1
18
поэтому

2
2
cos   sin 
cos   sin 
  d
d   d 
d 



0
0
2 cos 

2
2

2

2

2
0
0
  d(cos  sin )  d   d(cos  sin )
2
2 cos 
 d 

2

 2  (cos  sin )d   (cos  sin )( 2  2 cos)d 

2
0

2

1
 2  (cos  sin )d  2  (cos  sin   cos2   sin 2)d 
2

0
2

 2(sin   cos) |  2(sin   cos 

2

2
 1
1

 sin 2  cos 2) |  3   1,43.
2 4
4
2
0
5.4. Наряду с обычными полярными координатами, применяются
также обобщенные полярные координаты:
x  a cos


y

b

sin


x2
a
2

y2
b
2
=2.
В этих координатах уравнение эллипса
x2
2

y2
2
=1 превращается в =1.
a
b
Якобиан для этой системы координат равен
a cos  a sin 
J=
=ab(cos2+sin2)=ab.
b sin  b cos
x 2 y2
Вычислить  x dxdy , где область D ограничена эллипсом
=1.

4
9
D
2
Решение
x  2 cos ;
y  3 sin .
1. Перейдем к обобщенным полярным координатам 
19
В новых
неравенств
координатах
область
будет
задаваться
системой
0    2;

0    1.
2. Якобиан J=ab=6.
3. Подынтегральная функция
f(x,y)=x2=42cos2.
4. Вычисляем интеграл:
 x
2
1
0
0
3
2
dxdy   d 24  cos d  24
D
2
2
в
2
новых
2
 cos
0
координатах
равна
1
d 3d =
0
2
2
2 1
2
4 1
1  cos2
2
=24  cos d( | )  6  cos d  6 
d  3( |  sin 2 | )  6.
4 0
2
0 2
0
0
0
0
2
5.5. Кроме полярных координат, иногда прибегают к другим
криволинейным координатам, если в них уравнения границ области
значительно упрощаются.
Пример № 3. Вычислить двойной интеграл
 x
y 2 dxdy по области D,
D
ограниченной линиями xy=1; xy=4; y 
Решение
1. Построим область D XOУ.
x
; y=2x; (x, y>0).
2
Рис.17
2. Введем новые координаты:
u=xy; v=y/x.
В этих координатах границы области будут:
x
y 1
1
xy=1  u=1 ;
y   v ;
2
x 2
2
20
Рис.18
y
 2  v  2.
x
То есть в
координатах u и v область D представляет собой
прямоугольник со сторонами параллельными новым координатным
осям:
1
1u4;  v  2 (см. рис. 18).
2
3. Вычислим якобиан отображения.
Выразим x и y через u и v :
uv  y 2

u
u  xy

x 
(по условию x>0, y>0).
v  y  u
v
2 

x

v
 y  uv
x

Найдем частные производные х’u , x’v , y’u , y’v :
u
1
x’u=
;
x’v=;
2v v
2 uv
xy=4  u=4 ;
y  2x 
v
u
;
y’v=
.
2 uv
2 uv
Найдем якобиан отражения:
y’u=
1
u

2v v  1 ( 1  1 )  1  0 при 1  v  2 .
J= 2 uv
v
u
2
4 v v
2v
2 uv
2 uv
4. Выразим подынтегральную функцию f(x,y)=xy2 через u и v:
3 1
u
f(x,y)=xy2=
uv  u 2 v 2 .
v
5. Расставляем пределы по u и v и вычисляем интеграл:
2 3 1
4 3
2
1
1
dv
2
2
2
 xy dxdy   du  u v 2v dv  2  u du  v 
D
1 1/ 2
1
1/ 2
4
2
4
3
2
4
3
2
4
3
2
5
2 4
1
1
1
1 2u
u
(
2
u
|
)

u
(
2

)
du

(
2

)
u
du

(
2

)
|



21
1/ 2
2
2 1
2 5 1
1

2
5 2
2
(25  1) 
2  31 31 2

.
5
5 2
5.6. Задание к § 5
21
  sin dd ,
1. Вычислить двойной интеграл
D
кривой сектор , ограниченный линиями p=a, =
a2
Ответ:
.
2.
2. Вычислить двойной интеграл
3. Вычислить двойной интеграл

, и =.
2
  sin dd ,
если область D есть
D

полукруг 2acos, 0 .
2
2a 2
Ответ:
.
3
если область D есть
  sin dd , если область D
D
заключена между линиями =2+cos и =1.
Ответ: 0.
4. Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить
dxdy
двойной интеграл 
, где область D-круговое кольцо,
2
2
D x y
заключенное между окружностями x2+y2=1; x2+y2=4.
Ответ: 2.
5. Вычислить двойной интеграл
 
2
dd , если область 

ограничена:
a) окружностями =a, =2a;
б) первым завитком спирали =a и полярной осью;
в) кривой =asin 2.
14a 3 4 4 a 3
Ответы:
,
,0.
3
3
6. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной
интеграл:
a)  xy 2 dxdy , если область R ограничена линиями: x2+(y-1)2=1 и
R
x2+y2=4y;
б)
x
 e
2
 y2
dxdy , если область D: x 2 +y 2 a 2 .
D
Ответы: 0; (1  e  a ) .
7. Вычислить следующие интегралы, переходя к подходящей
системе
2
22
координат:
a)  (3xy)dxdy, где область D ограничена прямыми:
D
2x+y=1; 2x+y=5; x-3y=2; x-3y=4.
Ответ: 204/49.
б)
 xydxdy, где область D ограничена линиями
p
y= x ; y= 3x ; x=1; x=4.
Ответ: 7.
в)
 (x
2
 y 2 )dxdy, где область R задана неравенствами:
R
x 2 y2

 1; x  0.
25 4
Ответ: 145.
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
6.1. Основные формулы приложения двойного интеграла
1. Площадь области DR2 выражается формулой S=  dxdy в
D
декартовых координатах и S=  dd в полярных координатах.
D
2. Объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
z=f(x,y) (f(x,y)0) , снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической
поверхностью, вырезающей на плоскости OXY область D (см. рис. 19)
находится по формуле V=  f ( x, y)dxdy .
D
23
Рис. 19
3. Площадь поверхности P, заданной уравнением z=f(x,y) и
проецирующейся на плоскость OXY в область DR2 (см. рис. 20),
S(P)   1  (f x ) 2  (f y ) 2 dxdy .
вычисляется по формуле:
D
Рис. 20
4. Масса плоской пластины D с плотностью (x,y) равна
m=   ( x, y)dxdy .
D
5.
Координаты центра масс PC(xc,yc) плоской пластины D
плотностью (x,y) вычисляются по формулам:
1
1
x c   x( x, y)dxdy; y c   y ( x, y)dxdy.
m D
mD
с
6. Моменты инерции пластинки DR2 относительно координатных
осей OX и OY выражаются формулами:
J x    ( x, y) y 2 dxdy; J y    ( x, y) x 2 dxdy .
D
D
6.2. Примеры применения двойного интеграла к решению
геометрических и физических задач
Пример № 1.
Найти площадь области, ограниченной линиями:
3
2
3
y =x ; y =8(6-x) .
Решение
Построим данные полукубические параболы.
2
Точки пересечения
кривых
А и С
найдены
путем
реше
24
совместного
ния уравнений y2=x3
и
y2=8(6-x)3.
Рис. 21
Фигура симметрична относительно оси OX и ее площадь S равна
удвоенной площади криволинейного треугольника OBC:
2
8
1
6 y 3
2
2
8
2
1
S  2  dxdy 2 dy  dx  2 (6  y 3  y 3 )dy 
2
2
OBC
0
0
y3
8
2
5
8
3
9
2
 2 (6  y 3 )dy  2(6 y  y 3 ) |  38 (кв.ед.).
2
10
5
0
0
Пример № 2. Найти площадь области D, ограниченной линиями
=acos; =bcos; b>a>0.
Решение
Построить данные линии (окружности) в полярной системе
координат.
25
Рис. 22
Найдем площадь S , ограниченную линиями области D по формуле
 / 2 b cos 
S   dd  2
D
2
 2  d
2
0
/2
 dd  2  d  d 
ABO
0
a cos 
b2  a 2 / 2
|  (b  a )  cos d 
 (1  cos 2)d 
2
a cos 
0
0
b cos 
2
2
/ 2
2
/ 2
b2  a 2
1


(  sin 2) |  (b 2  a 2 )(кв.ед.).
2
2
4
0
Пример № 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
(x 2 +y 2 ) 2 =8a 2 xy; x 2 +y 2 =a 2 (a>0, x 2 +y 2  a 2 ).
Решение
Площадь фигуры, ограниченной данными линиями, проще
вычислить, переходя к полярным координатам.
Найдем уравнение линий в полярной системе координат:
а) (x2+y2)2 =8a2xy.
Положим, в данном уравнении x=cos, y=sin:
(2cos2 +2sin2)2=8a22cossin
4=4a22sin2 или p2=4a2sin2 или =2a sin 2 (лемниската)
б) x2+y2=a2 (a>0)
2=a2  =a (окружность с центром в точке O и радиусом равным a).
Построим кривые в полярной системе координат.
Рис. 23
Рис. 24
Искомая площадь S=2S1.
см. рис.23
В свою очередьS1=2S3+2S4.
см. рис. 24.
Для нахождения S3 и S4 необходимо знать пределы . Для этого
решим систему
a

1
1
1
1
 2a sin 2  a  sin 2 =  sin 2     arcsin .

2
4
2
4
  2a sin 2
26
a2
S3=  d d 
2
1
1
arcsin 0
/ 4
2
S4 

1
2
a
4
1
1
arcsin
2
4
a2  1
1
 d  2 ( 4  2 arcsin 4 ) ;
1
1
arcsin
/ 4
2
2a sin 2
 d
 d 
0
0
1
1
arcsin
2
4

0
4
1
1
arcsin
2
4 2
 d
0
2
2a sin 2
|

0
1
4a 2 sin 2d  (2a 2 cos 2)
2
1
1
arcsin
2
4
|

0
1
1
1
15
 a 2 (cos(2  arcsin )  1)  a 2 (cos arcsin  1)  a 2 (
 1) 
2
4
4
4
15
 a 2 (1 
)(кв.ед).
4
1
1
1
15
Замечание сos arcsin  1  (sin arcsin ) 2  1  ( ) 2
.
4
4
4
4
 1
1
15
).
Таким образом, S1=2S3+2S4=a2(  arcsin )  2a 2 (1 
4 2
4
4
Площадь
 1
1
15

1
)  a 2 (  arcsin  4  15 ).
S=2S1=2a2 (  arcsin )  4a 2 (1 
4 2
4
4
2
4

1
Ответ: S=(4- 15   arcsin )  a 2 (кв.ед.).
2
4
Пример № 4. Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями y=x2; y=1; x+y+z=4; z=0.
Решение
Данное тело представляет вертикальный цилиндр, который сверху
ограничен частью плоскости z=4-x-y, а снизу - частью плоскости XOY,
заключенной между параболой y=x2 и прямой y=1 (см. рис. 25).
27
Рис. 25
Рис. 26
Объем тела
ХОУ.
V
Проекция тела на плоскость
1
y
0
 y
 f ( x, y)dxdy   (4  x  y)dxdy   dy  (4  x  y)dx 
OAB
OAB
1
x2 y
68
  dy((4  y) x  ) |  2 (4  y) ydy 
(куб.ед.).
2
15

y
0
0
1
Пример № 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z=4-x2-y2; 2z=2+x2+y2.
Решение
Тело изображено на рис. 27.
Рис. 25
Линия пересечения L поверхностей определяется системой уравнений:
z=4-x2-y2 и 2z=2+x2+y2. Исключим из системы этих уравнений переменное z:
 z  4  x 2  y 2
x 2 y2
 1

 4  x 2  y2  x 2  y2  2 .

2
2
2
2
2z  2  x  y
Итак, уравнения L имеет вид х2+у2=2.
28
В
пространстве
уравнение
x2+y2=2
представляет
собой
цилиндрическую поверхность, которая проходит через линию L и
проецирует ее на XOY.
Рис.28
Проекция тела на ХОУ.
Объем тела можно вычислить как разность двух объемов:
V=V11
3
V2=  (4  x 2  y 2 )dxdy   (2  x 2  y 2 )dxdy   (2  x 2  y 2 )dxdy .
2
2


Чтобы упростить вычисление интеграла, перейдем к полярным
координатам. Полагая x=cos, y=sin и заменяя dxdy на dd,
получим
2
3
3 2
2
V   (2  p )dd   d  (2  3 )d 
2
20
0
3 2
4 2 3 2
2
  d(  ) |   d  3(куб.ед.).
20
4 0 20
Пример № 6
Найти площадь части конуса z= x 2  y 2 , вырезаемой сферой
29
x2+(y-2)2+z2=4.
Решение
Рис.29
Рис.30
Найдем проекцию линии пересечения конуса и сферы на плоскость
XOY, для чего приравняем z в обоих уравнениях:

z2  x 2  y2
 4  x 2  ( y  2) 2  x 2  y 2  x 2  y 2  2 y 
 2
2
2
z  4  x  ( y  2)
 0  x 2  ( y  1) 2  1.
Проекцией линии пересечения конуса и сферы на XOY является
окружность
радиуса R=1, с центром в точке C(0;1). Область D
изображена на рис. 30.
S=  1  (z x ) 2  ( x y ) 2 dxdy .
D
Найдем
zx  ( x 2  y 2 )x 
x
x y
2
2
, zy  ( x 2  y 2 )y 
y
x y
2
2
;
x2
y2
2( x 2  y 2 )
1  (zx )  (zy )  1  2


 2.
x  y2 x 2  y2
x 2  y2
2
2
S=  2dxdy  2  dxdy  2S(D)  2     2 (кв.ед.).
D
D
30
Замечание
 dxdy  S(D)
(площадь области D).
D
6.3. Задание к § 6
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
x+y=6.
1
Ответ:
(кв.ед.).
6
линиями
x=4y-y2;
2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-x
;y =4x+4.
64
Ответ:
(кв.ед.).
3
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=a2; x+y
5a
=
(a>0).
2
2
Ответ: (
15
 2 ln 2)a 2 (кв.ед.).
8
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
=1, =
Ответ:
2
cos  (вне окружности =1).
3
1
(3 3  ) (кв.ед.).
18
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:
а) (x 2 +y 2 ) 2 =-2a 2 (x 2 -y 2 ); x 2 +y 2 =a 2 (x 2 +y 2 a 2 ).

Ответ: а 2 ( 3  ) (кв.ед.).
3
2
2 2
б) (x +y ) =8a 2 xy; x 2 +y 2 =a 2 (а>0, x 2 +y 2 a 2 ).

15
Ответ: а 2 (4  15   arccos
) (кв.ед.).
2
4
6. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями
y 2 =4x+ 4; y 2 =-2x+4 (плотность (x,y)=const).
2
Ответ: ( ,0 ).
5
7. Определить центр тяжести площади, ограниченной кардиоидой
=a(1+cos).
31
Ответ(
5a
,0 ).
6
8. Найти центр тяжести площади, ограниченной одной петлей
кривой =asin2.
128а 128а
Ответ: (
).
,
105  105 
9. Найти центр тяжести площади, ограниченной
линиями
y= 2x  x 2 ; y=0.
4
Ответ: (1,
).
3
10. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями
y= 4 x ; x+y=3; y=0 относительно оси OX.
Ответ: 2,4.
11.
Вычислить массу квадратной пластинки со стороной
а,
плотность которой в любой точке пропорциональна
квадрату
расстояния этой точки от одной из вершин квадрата.
2a 4 k
Ответ:
.
3
12. Вычислить площадь части поверхности цилиндра
содержащейся между плоскостью XOY и конусом x2+y2=z2.
Ответ: 8a2(кв. ед.).
13. Вычислить площадь параболоида
между
цилиндром y2=x и плоскостью x=1.
Ответ:
x2+y2=2ax,
y2+z2=2x, содержащейся

(3 3  1) (кв.ед.).
3
14. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z=y2; x2+y2=4;
z=0.
Ответ: 4 (куб.ед .).
15. Найти объём тела, ограниченного конусом
гиперболоидом x2-y2+z2+1=0.
4
Ответ:
( 2  1) куб.ед.
3
2(x2+z2)-y2=0 и
§ 7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ
“ ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ “
32
7.1. Задача№1. Расставить пределы интегрирования в двойном
интеграле  f ( x, y)dxdy двумя способами в декартовых координатах.
D
Сделать рисунок области D.
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Линии, ограничивающие область D
y=x+3; y=3x-5; y=0
y=x+6; x+y=4; x=0
y=x+6; y=x2
2
2
2
x=y ; x +y =4x (внутри параболы)
x2+y2=10; y=x+2 (ниже прямой)
x=y2-3; y=2x
x+y=0; y=2x-3; 2y=x+3
y=2ex; y=e2x-3; x=ln(1/2)
y=x2+3x; x+y=0
x=5-y2; 2x+y2=6
2
2
x +y =25; x+2y+5=0 (выше прямой)
xy=3; y=3x; x=3y (x,y>0)
x2-y2=1; x=0; y=0; y= -2 (x0)
xy+4=0; y+4x=0; x+4=0; y=0
x2+4y2=4; 2y+x=2 (ниже прямой)
7.2. Задача № 2. Изменить порядок интегрирования в повторном
интеграле и нарисовать область интегрирования.
0
x 1
1
x
1
1 y
0
y 1
2
2x
3
6 2 x
0
0
2
0
 dx 2f (x, y)dy.
1.
2.  dy
3.  dx
 f ( x, y)dx.
 f ( x, y)dy   dx  f (x, y)dy.
33
0
2 4 x
4
2 4 x
 dx
4.
 f (x, y)dy.
6
0
0
6x x 2
5.  dx
 f (x, y)dy.
0
3x  3
2
3 x
1
0
x 1
3
0
x 1
3
y
1
y
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy.
6.
 dy  f ( x, y)dx.
7.
3
x
3
8.  dx  f ( x, y)dy.
0
x
3
2
2
2 y 2
2
y
0
y
1
9.  dy  f ( x, y)dx. +  dy
 f ( x, y)dx.
4
2x
0
2
x
4

x
0
2
4
1
2
1
10.  dx
 f (x, y)dy.
11.  dx  f ( x, y)dy +
3
3 y 2
12.  dy
0
2
 dx  f (x, y)dy.
 f (x, y)dx.
y 3
x 2
2
13.  dx  f (x, y)dy.
2 x 2
34
4
1
ln y
2
1
ln y
14.  dy
15.
 f ( x, y)dx.
0
2
4
2
1
4 x
0
2x
 dx  f (x, y)dy +  dx3  f (x, y)dy.
7.3. Задача № 3. Вычислить
1
2
3
4
5
6
Функция f(x,y)
x 2  y2
x2 – y2
1
x 2  y2
y
xy
xy
xy
9
10
11
x 2  y2
2x+y
x
y
x2+y2
X
y
12
x 2  y2
x+y
7
8
перейдя к полярным
D
координатам.
№
варианта
 f (x, y)dxdy ,
x2
Неравенства, задающие область D
x2+y22y; y1
x2; y -x; yx
yx; y0; y1; x2+y24
x2+y26x; yx; y0
0x2; x2+y24; -2y0
x2+y24; x2+y22y
x2+y24; x1; x+y0
yx; y 3 ;xy2
x2+y2+4x0; x+20; y0
x2+y22; x2+y22y
x2+y24x; x2+y28; yx
x2+y2+2y0; y+10
35
13
14
x1; x2+y24; - xyx
x2+y21; x2+y24; 0y1; x0
y-x
y
x
xy
15
yx; x2+y22y; x2+y2+4x0
x 2  y2
7.4. Задача № 4.
Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела, заданного
неравенствами
№
варианта
Неравенства, задающие тело в пространстве
1
x0; x y ; x+y+z  6; z0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
y0; yx+3; x+z20
x0; xy+z+3; zy; y z2-4z
z0; z x+1; y z-3x; y x-z
2z  x2+y2; z 6-x2-y2
x2+y24x; z x 2  y 2 ; z 0
Z  x2+y2; z 4y
z
x2  y2 ; z 
1 2
(x  y 2  3)
4
x2+y26z; x2+z29; y0; y z
xy; y+2x0; y2; z0; zx2+y
z2y; z23y-4; x0; x z
2y x; xy2; z  0; z 2x-y
z  y2; x2+ z  4
yx+2; y2; z  y; z  3y+x-1
z  x2-3x; yx2+z2; yz2+xz
36
7.5. Задание № 5
Вычислить площадь части
поверхности
которой удовлетворяют условию.
Условие
№
Поверхности S
варианта
S, координаты точек
Условие
1
z= 16  y 2
x2+z216
2
z= 8  x 2  y 2
x y 2  z 2
3
z= 9  x 2
x2+y29
4
x= y 2  z 2
z= 4 - y2
3x-y+z=2
z=xy
x22y
x2+y2=z2+1
x2+z2=y2-1
x-4y+2z+3=0
y2+z2=2x
x2+z2=3y
x2+y24
x2+z21
xy2+z2
z2x, x1
x2+z2+y218
y= 2 x  x 2
x2+z2=4
z0, z x 2  y 2
y2-x2=z2
x2+y24y
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x2-4y21, y21
yx2+z2
z0, 0x 1  y 2
yx, y2x
Список рекомендуемой литературы
1.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. / Данко
П.Е., Попов А.Г. – 2-е изд., -М.: Высшая школа, 1974. –464с.
2.
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому
анализу / 3-е изд., доп. –М.: Высшая школа, 1964. – 479с.
Оглавление:
1.
2.
3.
Двойной интеграл и его вычисления в декартовых координатах ………..3
Замена переменных в двойном интеграле …………………………………16
Приложения двойного интеграла …………………………………………….
4.
Индивидуальные задания к теме “Двойной интеграл и его приложения”
23
32
37
Составитель Любовь Михайловна Петрова
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Методические указания и варианты заданий к самостоятельной работе
38
Редактор Л. Б. Морева
Темплан 1999г. поз.№ 153
Подписано в печать
. Формат 60х84 1/16
Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.печ.л.
Уч.-изд.л.
. Тираж 100 . Заказ
.
.
Волгоградский государственный технический университет.
400066 Волгоград, пр. Ленина,28
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400066 Волгоград, ул.Советская,35.
39
40