?????? 1

163
Раздел 7
Линейное пространство
Раздел 7
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§7.1. Определение линейного пространства
Определение
7.1.1.
Множество  состоящее из элементов x, y, z , , для которых определена
операция сравнения 1) , называется линейным пространством, если
1. Каждой паре элементов x, y этого множества поставлен в соответствие
третий элемент этого же множества, называемый их суммой и обозначаемый x  y , таким образом, что выполнены аксиомы
а) x  y  y  x ;
б) x  ( y  z )  ( x  y )  z ;
в) существует нулевой элемент o такой, что для любого x  
имеет место x  o  x ;
г) для каждого x существует противоположный элемент ( x )
такой, что x  ( x )  o .
2. Для любого элемента x и любого числа  существует такой принадлежащий  элемент, обозначаемый  x и называемый произведением
числа на элемент, что выполнены аксиомы
а) 1x  x ;
б) ( ) x   (  x) .
3. Для операций сложения элементов и умножения элемента на число выполнены аксиомы дистрибутивности
а) (   ) x   x   x ;
б)  ( x  y )   x   y ; x, y   ; и для любых чисел  ,  .
Замечания:
1.
Под “числами” в аксиомах второй и третьей групп подразумеваются действительные или комплексные числа;
) То есть имеется возможность устанавливать факт «равенства
1
x и y » ( x  y ) для любых двух элементов x, y   .
x и y » ( x  y ) или «неравенства
164
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
2.
Пример
7.1.1.
Первая группа аксиом равносильна требованию, чтобы  являлось абелевой группой относительно операции сложения (см. §5.6.)
Линейным пространством является 1) :
1.
Множество всех векторов на плоскости;
2.
Множество всех векторов в пространстве;
3.
Множество всех n-компонентных столбцов;
4.
Множество всех многочленов степени не выше, чем n;
5.
Множество всех матриц размера m n ;
6.
C[a,b] - множество всех функций, непрерывных на [a,b];
7.
Множество всех решений однородной системы m линейных
уравнений с n неизвестными.
Задача
7.1.1.
Показать, что в общем случае множество радиус-векторов точек, принад-
Задача
7.1.2.
Показать, что множество, состоящее из одного нулевого элемента, является линейным пространством.
Задача
7.1.3.
Будет ли линейным пространством множество всех положительных чисел?
Решение:
Ответ зависит от способа введения операций сложения и умножения на число
элементов рассматриваемого множества.

лежащих плоскости ( n , r )   , не является линейным пространством. Выяснить, при каких значениях параметра  данное множество будет линейным пространством.
1. Пусть операции вводятся “естественным” образом. В этом случае множество положительных чисел не образует линейного пространства, поскольку в нем отсутствует нулевой элемент.
2. Если операцию “сложения” определить как обычное произведение двух
чисел, а “умножение на число ” определить как возведение положительного числа в степень , то множество положительных чисел будет
являться линейным пространством, в котором роль нулевого элемента
играет число “1”.
) Предполагается, что операции сложения и умножения на число выполняются в соответствии с ранее данными
определениями.
1
165
Раздел 7
Линейное пространство
Теорема
7.1.1.
Линейное пространство имеет единственный нулевой элемент.
Доказательство:
Пусть существуют два различных нулевых элемента o1 и o2 . Тогда, согласно аксиоме 1(в) из определения 7.1.1. линейного пространства, будут справедливы равенства
o1  o2  o1 и o2  o1  o2 .
Откуда, в силу коммутативности операции сложения, получаем o1  o2 .
Теорема доказана.
Теорема
7.1.2.
Для каждого элемента x линейного пространства имеет место равенство 0x  o .
Доказательство:
Из аксиоматики линейного пространства имеем
x = 1x = (0 + 1) x = 0x + 1x = 0x + x .
Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент y, противоположный элементу x,
получаем, что 0x  o .
Теорема доказана.
Теорема
7.1.3.
Для каждого элемента линейного пространства существует единственный противоположный элемент.
Доказательство:
Пусть для элемента x существуют два различных противоположных элемента y1 и
y 2 . Тогда, согласно аксиоме 1(г) линейного пространства, будут справедливы равенства
x  y1  o и x  y 2  o .
Прибавим к обеим частям первого равенства элемент y 2 , получим
y 2  ( x  y1 )  y 2
в силу ассоциативности операции сложения и второго равенства. Но, с другой стороны, y 2  ( x  y1 )  ( y 2  x )  y1  o  y1  y1 . То есть y 2  y1 .
Теорема доказана.
166
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Для каждого x   противоположным элементом служит элемент ( 1) x .
Теорема
7.1.4.
Доказательство:
Из аксиоматики линейного пространства и теоремы 7.1.2. имеем
o = 0 x = (1-1) x = 1x + (-1) x = x + (-1) x .
Это равенство и означает, что противоположный к x элемент имеет вид ( 1) x .
Теорема доказана.
§7.2.
Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве
Определение
7.2.1.
n
1. Выражение
  i xi
называется линейной комбинацией элементов
i 1
x1, x2 ,..., xn линейного пространства .
2. Элементы x1 , x 2 , ... , x n линейного пространства  называются линейно
зависимыми, если существуют числа 1 , 2 ,..., n , не равные нулю одn
новременно, такие, что
  i xi  o .
i 1
3. Элементы x1 , x 2 , ... , x n линейного пространства  называются линейно
n
независимыми,
если
1  2 ...  n  0 .
Лемма
7.2.1.
из
равенства
  i xi  o
следует,
что
i 1
Для того чтобы некоторое множество элементов линейного пространства было линейно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы один
из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных.
Доказательство:
Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1., в котором слово “вектор”
заменено словом “элемент”.
167
Раздел 7
Линейное пространство
Если некоторое подмножество элементов x1 , x 2 , ... , x n линейно зависимо, то линейно зависимы и сами элементы x1 , x 2 , ... , x n .
Лемма
7.2.2.
Доказательство:
Без ограничения общности можно предположить, что линейно зависимое подмножество состоит их первых k  n элементов множества x1 , x 2 , ... , x n . Тогда существуют
не равные нулю одновременно числа 1 , 2 ,..., k такие, что
соотношения вытекает равенство
k
n
i 1
i  k 1
k
 i xi  o . Но из этого
i 1
 i xi   0xi  o , которое означает линейную
зависимость элементов x1 , x 2 , ... , x n .
Лемма доказана.
Определение
7.2.2.
Базисом в линейном пространстве  называется любой упорядоченный
набор его n элементов, если
1.
2.
эти элементы линейно независимые;
любое подмножество в  , состоящее из n+1 элемента и включающее эти n элементов, линейно зависимо.
Определение
7.2.3.
Линейное пространство  называется n-мерным и обозначается n , если в
нем существует базис, состоящий из n элементов. Число n называется размерностью линейного пространства n и обозначается dim( n ) .
Теорема
7.2.1.
Для каждого элемента линейного пространства n существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов.
Доказательство:
Пусть в линейном пространстве  n заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и произвольный
элемент x. Тогда, по определению базиса, система элементов {g1 , g 2 ,..., g n , x} линейно зависима и по лемме 7.2.1. элемент x является линейной комбинацией элементов g1 , g 2 ,..., g n . Существование разложения доказано.
Покажем единственность разложения. Допустим, что существуют две различные лиn
n
нейные
комбинации
x    i gi
i 1
и
x    i gi .
Тогда
получаем,
что
i 1
n
 (i   i ) gi  o , но это означает, что при данном допущении система элементов
i 1
g1 , g 2 ,..., g n линейно зависима. Полученное противоречие доказывает единственность.
Теорема доказана.
168
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Линейное пространство
Размерность
Пример базиса
Множество всех радиусвекторов на плоскости
2
Упорядоченная пара неколлинеарных векторов на
плоскости.
Множество всех векторов в пространстве
3
Упорядоченная тройка нормированных, попарно ортогональных векторов.
Множество
всех
nкомпонентных столбцов
Множество всех многочленов степени не выше,
чем n
n
n+1
n cтолбцов вида
1
0
0
0
0
1
0
0
0 ;
...
0
0 ;
...
0
1 ; ...
...
0
0
.
...
1
n+1 одночлен вида
P1 ( )  1 ;
...
;
P2 ( )   ;
P3 ( )   2 ;
Pn ( )   n 1 ;
P4 ( )   3 ;
Pn 1 ( )   n
.
Множество всех матриц
размера m n
nm
nm всевозможных различных матриц размера m n ,
все элементы которых равны нулю, кроме одного,
равного 1.
Множество всех функций, непрерывных на [a,b]

Базис не существует 1).
Множество решений однородной системы m
уравнений с n неизвестными и рангом r.
n-r
Нормальная фундаментальная система решений.
Таблица 7.2.1.
В таблице 7.2.1. приведены примеры выбора базиса в линейном пространстве.
1
)
То есть для любого натурального n в данном линейном пространстве найдется n+1 линейно независимый
элемент, например, система функций вида {1, cos  , cos 2 , cos 3 ,..., cos n } .
169
Раздел 7
Линейное пространство
§7.3. Подмножества линейного пространства
Подпространство
Определение
7.3.1.
Непустое множество  , образованное из элементов линейного пространства  , называется подпространством этого линейного пространства, если
для любых x, y   и любого числа :
1. x  y  
2.
x   .
Замечание:
из определения 7.3.1. следует, что множество  само является линейным
пространством, поскольку для него очевидно выполняются все аксиомы
операций в линейном пространстве.
Пример
7.3.1.
1. Множество радиус-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей через начало координат, является подпространством
во множестве радиус-векторов всех точек трехмерного геометрического
пространства.
2. Множество всех многочленов, степени не выше, чем n, есть подпространство в линейном пространстве непрерывных функций C[ ,  ] .
3. В пространстве n-мерных столбцов совокупность решений однородной
системы линейных уравнений с n неизвестными и с основной матрицей
ранга r , образует подпространство размерности n  r .
4. Подпространством любого линейного пространства будет:
а) само линейное пространство;
б) множество, состоящее из одного нулевого элемента.
Определение
7.3.2.
Пусть даны два подпространства 1 и  2 линейного пространства  .
1. Объединением подпространств 1 и  2 называется множество
элементов x   , что x  1 либо x  2 . Объединение подпространств 1 и  2 обозначается 1  2 .
2. Пересечением подпространств 1 и  2 называется множество
элементов x   , принадлежащих 1 и  2 одновременно. Пересечение подпространств 1 и  2 обозначается 1  2 .
170
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
3. Суммой подпространств 1 и  2 называется совокупность всех
элементов x1  x2   , при условии, что x1  1 и x2  2 . Сумма
подпространств 1 и  2 обозначается 1  2
4. Прямой суммой подпространств 1 и  2 называется совокупность всех элементов x1  x2   , при условии, что x1  1 и
x2  2 и 1  2  {o}. Прямая сумма обозначается 1  2 .
Докажите самостоятельно, что справедлива
Теорема
7.3.1.
Как сумма, так и пересечение подпространств 1 и  2 в  суть также
подпространства в  .
Теорема
7.3.2.
Размерность суммы подпространств 1 и  2 равна
dim( 1  2 )  dim( 1 )  dim( 2 )  dim( 1  2 )
Доказательство:
1. Пусть подпространство 1  2 имеет базис {g1, g 2 ,..., g k } и, соответственно, размерность k. Дополним этот базис элементами {g1 , g 2 ,..., g l } до базиса в 1 и элементами {g1, g 2 ,..., g m } до базиса в  2 . В этом случае каждый элемент x  1  2 может быть разложен по системе элементов {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m }.
2. Покажем теперь, что набор элементов {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } линейно
независим в  .
Рассмотрим некоторую, равную нулевому элементу, линейную комбинацию этих
элементов
l
k
m
i 1
j 1
p 1
 ig i   j g j   p g p  o .
x
Заметим, что по построению ~
(7.3.1.)
m
 p g p   2 , но, с другой стороны, этот же элеp 1
x
мент ~
m
l
k
p 1
i 1
j 1
  p g p  (  ig i    j g j )  1 .
x  1   2 и, следовательно, в равенстве (7.3.1.) все
Это означает, что ~
 i  0 , i  [1, l ] ;  p  0 , p  [1, m] . А поскольку {g1, g 2 ,..., g k } - базис, то и все
 j  0 , j  [1, k ] и линейная комбинация, стоящая в левой части равенства (7.3.1.),
тривиальная. Следовательно, {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } - линейно независимая система элементов.
171
Раздел 7
Линейное пространство
3. Из пункта 2 следует, что {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } является базисом в
1  2 . Размерность подпространства 1  2 при этом равна
dim( 1  2 )  l  k  m  (k  l )  (k  m)  k  dim( 1 )  dim( 2 )  dim( 1  2 ).
Теорема доказана.
В случае прямой суммы подпространств dim( 1  2 )  dim( 1 )  dim( 2 ) и
каждый элемент x  (1  2 ) представим в виде x1  x2 так, что x1  1 и
единственным
образом,
поскольку
набор
элементов
x2  2 ,
{g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2,..., g m } является базисом в 1   2 .
Следствие
7.3.1.
Линейная оболочка системы элементов
Определение
7.3.3.
Совокупность всевозможных линейных комбинаций некоторого множества
элементов {x1, x2 ,..., xk } линейного пространства  , называется линейной
оболочкой этого множества и обозначается L{x1, x2 ,..., xk } .
Пример
7.3.2.
Множество многочленов степени не выше, чем n, является линейной оболочкой набора одночленов {1, , 2 ,..., n} в линейном пространстве непрерывных функций C[ ,  ] .
Пусть задан набор элементов {x1, x2 ,..., xk } , порождающих линейную оболочку
k
L{x1, x2 ,..., xk } . Тогда любой элемент этой линейной оболочки имеет вид x   i x i и спраi 1
ведлива
Множество всех элементов, принадлежащих линейной оболочке
L{x1, x2 ,..., xk } , является линейным пространством, размерности m , где
m - максимальное число линейно независимых элементов во множестве
{x1, x2 ,..., xk } .
Теорема
7.3.3.
Доказательство:
1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для совокупности элементов вида
k
x   i xi (в предположении, что i произвольные числа) справедливы все аксиi 1
омы определения 7.1.1., то есть рассматриваемая линейная оболочка является линейным пространством.
2. Пусть максимальное число линейно независимых элементов в наборе {x1 , x2 ,..., xk }
равно m  k . Без ограничения общности можно считать, что эти элементы
172
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
m
суть x1, x2 ,..., xm . В этом случае x j   ji xi ;
j  [m  1, k ] и любой элемент ли-
i 1
нейной оболочки может быть представлен в виде линейной комбинации элементов x1 , x 2 ,..., x m .
3. Покажем теперь, что любой набор из l ( l  m ) элементов данной линейной оболочки будет линейно зависимым. Для этого выберем l элементов y1, y2 ,..., yl ,
принадлежащих линейной оболочке, и выразим их через элементы x1, x2 ,..., xm ,
m
получим y j    ji xi ;
j  [1, l ] . Приравняем нулевому элементу произвольную
i 1
линейную комбинацию выбранного набора y1 , y 2 ,..., y l :
l
l
m
j 1
j 1
i 1
m
l
  j y j    j   ji xi   (   ji  j ) xi  o .
i 1 j 1
Поскольку элементы x 1 , x 2 ,..., x m линейно независимы, то коэффициенты i
должны удовлетворять следующей однородной системе линейных уравнений
l
  ji  j  0 ,
i  [1, m] .
j 1
Но эта система имеет (по теореме 6.7.1.) l  rg  ji  l  m  0 линейно независимых, а следовательно, ненулевых, решений, поскольку rg  ji  m . Принимая во
внимание, что l и m натуральные числа, получаем l  rg  ji  l  m  1 , то есть
существует нетривиальная линейная комбинация элементов y1, y2 ,..., yl , равная o.
Теорема доказана.
Гиперплоскость
Определение
7.3.4.
Множество Γ , образованное из элементов вида x  x0 , где x0   есть некоторый фиксированный элемент линейного пространства  , а x любой
элемент некоторого подпространства    , называется гиперплоскостью
(или линейным многообразием) в линейном пространстве  .
Замечания:
1.
В общем случае гиперплоскость не является подпространством.
2.
Если dim()=k, то говорят о k-мерной гиперплоскости.
Задача
7.3.1.
Показать, что если элементы x и y принадлежат некоторой гиперплоскости Γ , то этой же гиперплоскости будет принадлежать и элемент
z  x  (1   ) y , где  - любое число.
173
Раздел 7
Линейное пространство
§7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном
представлении
n
Определение
7.4.1.
Коэффициенты 1 , 2 ,..., n разложения x    i g i называются координаi 1
тами (или компонентами) элемента x линейного пространства n в базисе
{g1, g 2 ,..., g n } .
Заметим, что в силу теоремы 7.2.1. элемент x линейного пространства n в базисе
{g1 , g 2 ,..., g n } однозначно представляется n-компонентным столбцом, называемым «координатным представлением элемента x в базисе {g1, g 2 ,..., g n } »,
x g
1
2
.
...
n
В n базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо
установить правило изменения координат элемента линейного пространства n при переходе от одного базиса к другому.
Пусть в n даны два базиса: “старый” {g1 , g 2 ,..., g n } и “новый” {g1 , g 2 ,..., g n } , с соответствующими координатными разложениями элемента x:
n
n
i 1
i 1
x    i gi и x    ig i .
Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого”
n
g j    ij gi ;
j  [1, n ] .
i 1
Определение
7.4.2.
Матрица S , j-й (j  [1, n]) столбец которой состоит из коэффициентов
 ij координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам
“старого”, называется матрицей перехода от базиса {g1, g 2 ,..., g n } к базису
{g1 , g 2 ,..., g n } .
Отметим, что это определение является обобщением определения 1.8.2. Тогда справедлива
Теорема
7.4.1.
Координаты
n
1, 2 ,..., n
и
1,  2 ,...,  n
связаны
соотношениями
i   ij j ; i  [1, n] , где коэффициенты  ij - элементы матрицы пеj 1
рехода S .
174
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Доказательство:
n
Пусть известно разложение элементов “нового” базиса по “старому” g j    ij g i .
i 1
Тогда справедливы равенства
или
n
n
i 1
j 1
 ( i   ij j )g i  o .
n
n
n
n
i 1
j 1
j 1
i 1
n
n
 i g i  x   j g j   j  ij g i   (  ij j ) g i ,
i 1 j 1
Но если линейная комбинация линейно независимых
элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что
n
 i    ij  j ; i  [1, n] .
j 1
Теорема доказана.
Иначе говоря, если столбец элементов “нового” базиса выражаются через столбец элементов
T
“старого” при помощи умножения слева на транспонированную матрицу перехода S , то
координатный столбец в “старом” базисе равен произведению матрицы перехода на коордиg1
g1
g 2
g2
T
 S
натный столбец в “новом” базисе. В матричной форме: если
, то
...
...
g n
gn
x
g
 S
x
g
.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как операции с элементами линейного пространn
ства выполняются в координатной форме. Пусть в конкретном базисе
x    i gi и
i 1
n
y    i gi , тогда в силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут спраi 1
ведливы следующие соотношения.
1. Для операции сравнения: два элемента в n равны тогда и только тогда, когда
 1  1
  
n
n

2

g

x

y


g
.
x g  y g  2


i i
i i , или в координатной форме
i 1
i 1
 ...
 n   n
2. Для операции сложения:
n
x  y   ( i   i ) gi , или в координатной форме
i 1
x y
g
 x
g
 y g.
175
Раздел 7
Линейное пространство
3. Для операции умножения на число:
n
n
i 1
i 1
 x     i gi   (  i ) gi , или в координатной форме
x
g
 x g.
Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут
представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.
Отметим, наконец, что факт равенства или неравенства двух элементов в координатной форме можно проверять в любом базисе, поскольку в силу невырожденности S будут
справедливы соотношения
x
g
 y
g

S
x
g
 S
y
g

x
g
 x
g
.
§7.5. Изоморфизм линейных пространств
Рассмотрим два линейных пространства: множество многочленов P2 ( ) степени не
выше, чем 2 , и множество векторов трехмерного геометрического пространства.
Операции сложения многочленов и их умножения на число выглядят следующим
образом:
(1  1  1 2 )  ( 2  2   2 2 )  (1   2 )  (1  2 )  ( 1   2 ) 2
 (     2 )  ( )  ( )  ( ) 2
Аналогичные операции с трехмерными векторами в координатной форме, в свою
очередь, записываются так:
1 2
1  2


1   2  1   2 ;     .
1  2
1   2


Сопоставляя эти записи, можно заметить, что природа данных множеств не играет
роли, когда исследуются их характеристики, связанные только с операциями сравнения,
сложения и умножения на число.
Отмеченное свойство линейных пространств носит название изоморфизма. Более
точно его описывает
Определение
7.5.1.
Два линейных пространства 1 и  2 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение F :    такое, что для
x, y  1 и 
1
2
176
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
1. Fˆ ( x  y )  Fˆx  Fˆy ;
2. Fˆ ( x)   Fˆ x
Отображение F называется изоморфизмом линейных пространств 1 и
2 .
Напомним, что отображение F является взаимно однозначным (биективность F ), если:
а)
разные элементы из 1 имеют в  2 разные образы (инъективность F );
б)
каждый элемент из  2 является образом некоторого элемента из 1 (сюръективность F ).
Теорема
7.5.1.
(об
изоморфизме)
Два линейных конечномерных пространства 1 и  2 изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.
Доказательство:
Пусть dim( 1 )  dim(  2 ) . Принимая правило отображения, при котором каждому
элементу x  1 ставится в соответствие элемент из  2 , имеющий те же самые координаты, а также используя правила действий с элементами в координатном представлении, приходим к изоморфизму 1 и  2 .
Допустим, что n  dim( 1 )  dim(  2 )  m , где 1 и  2 изоморфны. Тогда некоторый
набор n линейно независимых элементов из 1 отображается в n элементов в  2 ,
которые обязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой
элемент переходит в нулевой элемент, то мы приходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из 1 .
Случай n < m рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Теорема
7.5.2.
Число линейно независимых элементов в любом конечном наборе элементов из n равно рангу матрицы, столбцы которой содержат координаты элементов данного набора в некотором базисе.
Доказательство:
Следует из изоморфности линейного пространства n и линейного пространства
всех n-компонентных столбцов, а также из теоремы 6.5.3. (о ранге матрицы).
177
Раздел 7
Линейное пространство
Следствие
7.5.1.
k элементов в n линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг
Следствие
7.5.2.
Матрица перехода невырожденная, то есть det S  0 .
матрицы, столбцы которой содержат координаты этих элементов в некотором базисе, меньше, чем min{n, k } .
Доказательство:
Предположим противное, det S  0 , тогда rg S  n и столбцы матрицы перехода
линейно зависимые. Но тогда будут зависимыми и элементы g1 , g 2 ,..., g n , что противоречит условию о том, что {g1 , g 2 ,..., g n } - базис.
Следствие доказано.
1
Существует матрица T  S , обратная матрице перехода
называемая обратной матрицей перехода.
Следствие
7.5.3.
g1
g2
Для обратной матрицы перехода справедливы соотношения
...
gn
g1
x
g
 T x g , вытекающие из равенств
g 2
...
T
g1
g 2
...
g n
и
g1
 S
T
g n
Следствие 7.5.4.
 T
S ,
g2
...
,
x
g
 S x
g
и теоремы 7.4.1.
gn
Пусть в n задан базис {g1, g 2 ,..., g n } , в котором координатное предn
ставление элементов имеет вид x    i g i . Тогда каждая однородная
i 1
линейная
система
m
линейных
уравнений
с
n
неизвестными
n
 jii  0 , j  [1, m] определяет некоторое подпространство  в n .
i 1
Доказательство:
Следует из того, что данное подпространство  в силу теоремы 6.7.2. является линейной оболочкой нормальной фундаментальной системы решений системы
178
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
линейных уравнений
n
 jii  0 , j  [1, m] , а
n изоморфно линейному простран-
i 1
ству n - компонентных столбцов
Следствие 7.5.5.
1
2
.
...
n
Пусть в n задан базис {g1, g 2 ,..., g n } , в котором координатное предn
ставление элементов имеет вид x    i g i . Тогда каждая совместная
i 1
неоднородная линейная система m линейных уравнений с n неизвестn
ными
 jii   j , j  [1, m] определяет некоторую гиперплоскость 
в
i 1
n .
Доказательство:
Аналогично рассуждениям, приведенным для следствия 7.5.4.
Задача
7.5.1.
Проверить, что элементы g1 , g 2 , g3 образуют базис в 3 и найти координатное представление элемента x в этом базисе, если в некотором исходном базисе:
1
1
2
3
x  3 , g1  1 , g 2  1 и g 3  0 .
1
Решение:
1
0
1
3
1. Для того, чтобы из элементов g1 , g 2 , g3 можно было образовать в 
базис, необходимо и достаточно (определение 7.2.2.), чтобы эти элементы были линейно независимыми. По следствию 7.5.1. данное усло1 2 3
3
вие в  равносильно неравенству rg 1 1 0  3 , которое имеет ме-
1 0 1
сто, поскольку
179
Раздел 7
Линейное пространство
1 2 3
det 1 1 0  4  0 .
1 0 1
2. Обозначим искомые координаты элемента x через 1 , 2 , 3 . Тогда
x  1 g1  2 g2  3 g3 , или в координатной форме
1
1
2
3
3  1 1  2 1  3 0 .
1
1
0
1
3. Использовав условие равенства двух элементов в координатной форме,
получим систему линейных уравнений
 1  2 2  3 3  1

3
 1   2
 
3  1
 1
,
решив которую по правилу Крамера (теорема 6.4.1.) или методом Гаусса (§6.8.), получим 1  2 , 2  1 , 3  1. Откуда следует, что элемент
x в базисе, образованном из элементов g1 , g 2 , g3 , имеет координатное
2
1 .
представление
1
Задача
7.5.2.
Найти матрицу перехода от базиса в  3 , образованного элементами
{g1 , g 2 , g 3 } , к базису {g1, g 2, g 3} , если в некотором исходном базисе:
1
2
7
3
16
g1  1 , g 2  1 , g 3  0 , g1  3 , g 2 
3
1
0
1
Решение:
22
5 и g 3  7 .
9
8
1. Пусть x , x  и x  обозначают координатные столбцы элемента
x в трех базисах: исходном, {g1, g 2 , g3} и {g1, g 2, g3} соответственно.
Тогда (по определению 7.4.2. и в силу теоремы 7.4.1.) имеют место равенства
x  G
x
и
x  F
x  ,
180
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
где матрицы G и F составлены из координатных столбцов базисных элементов g1, g 2 , g3 и g1, g2, g3 , то есть
1
2
3
7
16
G  1
1
1
0
0
1
и F  3
5
9
3
22
7 .
8
Обозначим через S матрицу перехода от базиса {g1 , g 2 , g 3 } к базису
{g1, g 2, g3} , для которой x   S
x  . Но из условий x  G
x  следует, что x   G
и x  F
1
x
x  , поскольку матри-
F
ца G очевидно невырожденная.
Тогда S x   G
силу леммы 5.1.2.,
S  G
1
1
F x  для любого элемента x  , а это, в
означает, что искомая матрица перехода
F .
2. Подсчитав произведение
1 2 3
1 1 0
1 0 1
1
7
3
16
5
22
7
3
9
8
используя, например, схему описанную в §6.8. для выражений вида
G
1
F , получаем
2 3 4
S  1 2 3 .
1 3 4
Задача
7.5.3.
В линейном пространстве многочленов степени не выше чем 3, найти базис
и размерность пересечения двух линейных оболочек элементов
x1 ( )  1  2   2  3 3
x 2 ( )  1  8  6 2  5 3
x 3 ( ) 
10  5 2  8 3
и
y1 ( )  1  4   2  5 3
y 2 ( )  3  2  6 2  3 3
y 3 ( )  4  2  5 2  8 3
.
181
Раздел 7
Линейное пространство
Решение:
1. По теореме 7.4.1. каждая из линейных оболочек является подпростран 1 образовано элементами вида
ством. Первое из них
x  1 x1   2 x 2   3 x 3 , а второе -  2 , соответственно элементами
y  1 y1  2 y2  3 y3 . Составим однородные системы линейных уравнений, задающих эти подпространства (см. следствие 7.5.4.).
Пусть каждое из уравнений этих систем имеет вид
1 2 3 4
1
2
0.
3
4
Тогда, воспользовавшись изоморфизмом между  1 и пространством
четырехкомпонентных столбцов вида
1
2
 1
3
4
1
2
1
3
 2
1
8
6
5
 3
0
10
5
8
,
где 1 , 2 , 3 - произвольные числа, приходим к условию
1 2 3 4
1
2
 1 2 3 4 (1
3
4
1
2
1
3
 2
которое будет выполняться при любых
1
8
6
5
 3
0
10
5
8
)  0,
1, 2 , 3 , если числа
1 ,  2 , 3 , 4 образуют решение следующей системы линейных уравнений
 1  2 2   3  3 4  0

  1  8 2  6 3  5 4  0

10 2  5 3  8 4  0 .

Решив эту систему, например, по схеме описанной в §6.8., получим общее решение в виде
182
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
1
4
7
2
1
4
,
 1
2
3
2
0
4
0
5
откуда заключаем, что существует два независимых набора искомых
чисел 1 ,  2 ,  3 ,  4 и, следовательно, однородная система линейных
уравнений, задающая подпространство  1 имеет вид
 41  2  2 3

 71  4 2
0
 5 4  0.
Аналогично строим однородную систему линейных уравнений, задающую  2 :
 221  9 2 14 3

  111  6 2
0
 7 4  0.
Наконец, подпространство  1   2 будет задаваться системой
  41  2  2 3
  7  4

1
2

  221 9 2 14 3
  111  6 2
0
 5 4  0
0
 7 4  0,
общее решение которой есть
1
2
2
6
,
 1
3
7
4
2
и, следовательно, для  1   2 dim( 1   2 )  1 с базисом, состоя2
6
щим из одного элемента
.
7
2