Решения

Решения заданий для олимпиады учителей математики 2015 года
Задача №1
Докажите неравенство
log 4 5 + log 5 6 + log 6 7 + log 7 8 ≥ 4,4
Решение:
Перепишем неравенство:
log 4 5 + log 5 6 + log 6 7 + log 7 8
≥ 1,1
4
Пусть 𝑥1 = log 4 5; 𝑥2 = log 5 6 ; 𝑥3 = log 6 7; 𝑥4 = log 7 8/
Представим в виде:
𝑙𝑔5
𝑙𝑔6
𝑙𝑔7
𝑙𝑔8
; 𝑥2 =
; 𝑥3 =
; 𝑥4 =
𝑙𝑔4
𝑙𝑔5
𝑙𝑔6
𝑙𝑔7
𝑥1 =
Воспользуемся соотношением:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 4
= √𝑥1 ∙ 𝑥2∙ ∙ 𝑥3 ∙ 𝑥4
4
4 3
4 𝑙𝑔5 𝑙𝑔6 𝑙𝑔7 𝑙𝑔8
4 𝑙𝑔8
∙
∙
∙
=√
= √ ≥ 1,1
√𝑥1 ∙ 𝑥2∙ ∙ 𝑥3 ∙ 𝑥4 = √
𝑙𝑔4 𝑙𝑔5 𝑙𝑔6 𝑙𝑔7
𝑙𝑔4
2
4
Неравенство доказано.
В задаче воспользовались соотношением
𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ≥ 2√𝑥1 𝑥2 + 2√𝑥3 𝑥4 ≥ 2 ∙ 2√√𝑥1 𝑥2 √𝑥3 𝑥4 = 4 4√𝑥1 ∙ 𝑥2∙ ∙ 𝑥3 ∙ 𝑥4
Задача №2
Найдите все значения b, при которых выражение
𝑛
𝑛
1 + √5
1 − √5
𝑓(𝑛) = (𝑏 (
) − (
) )
2
2
принимает целые значения при всех натуральных значениях n.
Решение:
Числа 𝑞1 = (
1+√5
1−√5
2
2
), 𝑞2 = (
)- корни квадратного уравнения 𝑞 2 − 𝑞 − 1 = 0.
Следовательно, пользуясь этим уравнением:
𝑓(𝑛 + 2) = (𝑏𝑞1𝑛+2 − 𝑞2𝑛+2 ) = (𝑏𝑞1𝑛 ∙ 𝑞12 − 𝑞2𝑛 ∙ 𝑞22 ) = (𝑏𝑞1𝑛 (𝑞1 + 1) − 𝑞2𝑛 (𝑞2 + 1))
= ((𝑏𝑞1𝑛+1 − 𝑞2𝑛+1 ) + (𝑏𝑞1𝑛 − 𝑞2𝑛 )) = 𝑓(𝑛 + 1) + 𝑓(𝑛)
Т.е. если 𝑓(𝑛 + 1) и 𝑓(𝑛)-целые числа, 𝑓(𝑛 + 2) - тоже целое.
Т.е. чтобы 𝑓(𝑛) было целым для всех натуральных значений n, необходимо и достаточно,
чтобы 𝑓(1) и 𝑓(2) были целыми числами. То есть f(1) и f(2) должны быть целыми:
𝑓(1) = 𝑏 ∙
1 + √5 1 − √5 1
−
= (𝑏 ∙ (1 + √5) − (1 − √5)) = 𝑘
2
2
2
𝑏 = 2𝑘 ∙
1 − √5
1 + √5
Где 𝑘 ∈ 𝑁
2
2
1 + √5
1 − √5
𝑓(2) = 𝑏 ∙ (
) −(
)
2
2
Подставляем значение b, найденное из f(1):
1 − √5
2
2
1 + √5
1 − √5
𝑓(2) = 2𝑘 ∙
∙(
) −(
)
2
2
1 + √5
=
1 2𝑘 ∙ (1 − √5) ∙ (6 + 2√5) − (1 + √5) ∙ (6 − 2√5)
∙
4
1 + √5
=−
𝑘 ∙ (√5 + 1) + (√5 − 1)
√5 + 1
−𝑘 −
√5 − 1
√5 + 1
=𝑛
=𝑛
Причем и n и k – натуральные числа. Но это невозможно, так как разность двух
натуральных чисел всегда является целым числом. Следовательно, такого b быть не может
Ответ: решений нет
Задача №3
Найдите все действительные решения системы уравнений
𝑥+2𝑦
=2
𝑥2 + 𝑦2
2𝑥 − 𝑦
𝑦+ 2
=0
{
𝑥 + 𝑦2
𝑥+
Решение:
Умножим первое уравнение системы на y , а второе на – x и сложим их:
𝑦 (𝑥 +
𝑥+2𝑦
2𝑥 − 𝑦
) + 𝑥 (𝑦 + 2
) = 2𝑦
2
2
𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦2
1
Отсюда следует, что 𝑥𝑦 + 1 = 𝑦 ⇒ 𝑦 ≠ 0 и 𝑥 = 1 − 𝑦
Умножим первое уравнение системы на x , а второе на – y и вычтем их:
𝑥 (𝑥 +
𝑥+2𝑦
2𝑥 − 𝑦
) − 𝑦 (𝑦 + 2
) = 2𝑥
2
2
𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦2
⇒𝑥 2 − 𝑦 2 + 1 = 2𝑥, или (𝑥 − 1)2 = 𝑦 2⇒
1
𝑦
{
2
(𝑥 − 1) = 𝑦 2
𝑥 = 1−
Подставим первое уравнение во второе уравнение системы
1
= 𝑦2 ⇒
𝑦2
𝑦=1
{
1
𝑥 =1−𝑦 =0
или {
𝑦 = −1
1
𝑥 =1−𝑦 =2
Делаем проверку, что каждая пара (0;1) и (2;-1) удовлетворяет системе.
Ответ: (0;1) , (2;-1)
Задача №4
Пусть
9𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥
9 + 3
Вычислите сумму
1
2
3
2014
𝑓(
)+ 𝑓(
)+ 𝑓(
)+ …+ 𝑓(
)
2015
2015
2015
2015
Решение:
Рассмотрим 𝑓(𝛼) + 𝑓(𝛽), где 𝛼 + 𝛽 = 1, тогда их сумма будет равна
9𝛼 9𝛽 + 3(9𝛼 + 9𝛽 ) + 9𝛼 9𝛽 9𝛼+𝛽 + 3(9𝛼 + 9𝛽 ) + 9𝛼+𝛽
9𝛼
9𝛽
+
=
=
=
9𝛼 + 3 9𝛽 + 3
9𝛼 9𝛽 + 9 + 3(9𝛼 + 9𝛽 )
9𝛼+𝛽 + 9 + 3(9𝛼 + 9𝛽 )
9 + 3(9𝛼 + 9𝛽 ) + 9
=
=1
9 + 9 + 3(9𝛼 + 9𝛽 )
Тогда сумма
1
2
3
2014
2014
𝑓(
)+ 𝑓(
)+ 𝑓(
)+ …+ 𝑓(
)=1∙
= 1007
2015
2015
2015
2015
2
Задача №5
В правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью
основания равен углу между боковым ребром и плоскостью боковой грани, не
содержащей это ребро. Найти этот угол.
Решение:
Пусть AF=h, CM=a, OQ=b/
1. ∆𝐴𝐹𝐵 подобен ∆𝐴𝐿𝐵
sin 𝛿 =
sin 𝛿 =
ℎ
2𝑎
2𝑏
2√𝑎2 + 𝑏 2
следовательно
ℎ=
2𝑎𝑏
√𝑎2 + 𝑏 2
2. ∆𝐴𝐹0 = ∆𝑂𝑄𝐶 (по гипотенузе и острому углу 𝛼).
𝐴𝐹 = ℎ, 𝑂𝑄 = 𝑏. ⇒ ℎ = 𝑏
3. Тогда
2𝑎𝑏
= 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑎√3
√𝑎2 + 𝑏 2
4. Рассмотрим ∆𝑂𝑄𝐶
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑏
𝑎√2
=
𝑎√3
𝑎√2
=√
3
2
3
Следовательно 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 √2
Задача №6
На конгрессе встретились четверо ученых: физик, биолог, историк и математик.
Национальности их были различны, и хотя каждый из ученых владел двумя языками из
четырех (русский, английский, французский, итальянский), не было такого языка, на
котором они могли бы разговаривать вчетвером. Был только один язык, на котором могли
вести беседу сразу трое. Никто из ученых не владел французским и русским языками
одновременно. Хотя физик не говорит по-английски, он может служить переводчиком,
если биолог и историк захотят поговорить друг с другом. Историк говорит по-русски и
может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог
и математик не могут беседовать втроем на одном языке.
Какими двумя языками владеет каждый из ученых?
Решение:
Составим таблицу истинности
Русский
Английский
Физик
0
0
Биолог
0
1
Историк
1
0
Математик
0
1
Французский
1
1
0
0
Итальянский
1
0
1
1