Урок №4

Урок: Законы логики1
( тип урока: урок введения нового материала)
Цели урока:
- рассмотреть основные законы формальной логики;
- рассмотреть законы алгебры высказываний;
- рассмотреть различные способы доказательств логических законов;
- повышение интереса к предмету;
- формирование логического мышления, развитие внимательности, памяти.
Этапы урока
I. Организационный момент. Постановка цели урока.
II. Проверка домашнего задания.
III. Введение нового материала.
IV. Подведение итогов урока.
V. Постановка домашнего задания.
Ход урока
После фронтальной проверки домашнего задания переходим к новому материалу.
§6. Законы логики
I. Законы формальной логики
Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах
формальной логики. Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются
наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства.
Рассмотрим их.
1.
Закон тождества: в процессе определённого рассуждения всякое понятие и суждение должны быть
тождественны самим себе.
2.
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно то же время было и не было присуще
одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.
3.
Закон исключённого третьего: из двух противоречащих суждения одно истинно, другое ложно, а
третьего не дано.
4.
Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.
Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон
достаточного основания – Г. Лейбницем.
Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только
истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно
всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет
только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть
использованы истинные суждения, цифровой материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, теоремы.
II.
Законы алгебры высказываний
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул.
Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.
Первые четыре из приведённых ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.
1. Закон тождества: А = А.
Всякая мысль тождественна самой себе.
Данный закон означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие
другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
1
(по книге В. Лысковой и Е. Ракитиной «Логика в информатике)
2. Закон непротиворечия: А& А = 1.
Одновременно не могут быть истинными суждение и его отрицание.
Другими словами А& А = 0.
Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.
3. Закон исключённого третьего: А  А = 1.
Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.
Закон исключённого третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального
закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жёстко
ситуацией: «либо – либо», «истина –
ложь». Там же, где встречается неопределённость (например, в рассуждениях о будущем), закон исключённого
третьего часто не может быть применён.
Рассмотрим следующее высказывание:
Это предложение ложно.
Оно не может быть истинным, потому что в нём утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и
ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается
закон исключённого третьего.
Парадокс (с греч. paradoxos – неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение
ссылается само на себя.
Другим известным парадоксом является задача о парикмахере:
В одном городе парикмахер стрижёт волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижёт себя сам. Кто
стрижёт волосы парикмахеру?
В логике из-за её формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя
высказывания. Таким образом, с помощью логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы.
4. Закон двойного отрицания:
А = А.
Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.
5. Свойства констант:
А  0 = А;
0 = 1 (отрицание лжи есть истина); 1 = 0 (отрицание истины есть ложь);
А  1 = А;
А&0 = 0;
А&1 = А.
6. Законы идемпотентности: А  А = А (отсутствие коэффициентов); А&А = А (отсутствие степеней).
Например, сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор
включен….значение высказывания не изменится.
7. Законы коммутативности: А  В = В  А;
А&В = В&А.
1.
Законы ассоциативности: А  (В  С) = (А  В)  С;
2.
Законы дистрибутивности:
А  (В&С) = (А  В) &(А  С);
А&(В&С) = (А&В) &С.
А&(В  С) = (А&В)  (А&С).
Закон 9 аналогичен закону алгебры чисел, а закон 8 справедлив только в алгебре логики.
3.
Законы поглощения: А  (А&В) = А;
4.
Законы де Моргана:
А В = А&В ;
А&(А  В) = А.
А&В = А  В .
Словесные формулировки законов де Моргана:
Отрицание
дизъюнкции
конъюнкция
есть
отрицаний.
конъюнкции
дизъюнкция
Отрицание истинности А
или
и
В тождественно тому, что неверно А
неверно В.
и
или
Примеры выполнения закона де Моргана:
Высказывание Неверно, что я люблю заниматься спортом и утром делать зарядку тождественно
высказыванию Или я не люблю заниматься спортом или не люблю утром делать зарядку.
Высказывание Неверно, что я знаю китайский или арабский язык тождественно высказыванию Я не знаю
китайского языка и не знаю арабского языка.
5.
Правило замены операции импликации: А  В = А  В.
6.
Правила замены операции эквивалентности:
А  В = (А&В)  ( А & В );
А  В = (А  В )&( А  В);
Правило перевёртывания: А  В = В
7.
А  В = (А  В)&(В  А).
 А.
Интересно их выражение на естественном языке. Например, фраза Если Вини-Пух съел мёд, то он сыт
тождественна фразе Если Вини-Пух не сыт, то мёда он не ел.
15. Закон исключения (склеивания): (А&В)  ( А &В) = В;
(А  В) &( А  В) = В.
III. Доказательство логических законов.
Доказать законы алгебры высказываний можно следующими способами:

построив таблицу истинности для правой и левой частей равенства;

выполнив эквивалентные преобразования над правой и левой частями равенства для приведения их к
одному виду;

с помощью диаграмм Эйлера- Венна;

путём правильных логических рассуждений.
1.
Доказательство закона де Моргана с помощью логического рассуждения:
    
    
 
 
    
 
2.
А)
 
Доказательство закона поглощения с помощью диаграмм Эйлера- Венна:
Б)
А&В
3.

В)
А  (А&В)
Доказательство с помощью таблицы истинности одного из законов замены операции эквивалентности
А  В = (А&В)  ( А & В ):
1
2
3
4
5
6
7
8
А
В
А В
А&В
А
В
А&В
(4)  (7)
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Значения сложных высказываний в третьем и восьмом столбцах совпадают на всех возможных наборах
значений входящих в них переменных, значит, формула верна.
4.
Доказательство закона исключения (А&В)  ( А &В)=В с помощью эквивалентных преобразований.
Применим к левой части закон коммутативности и дистрибутивности (т.е. вынесем общий множитель В за
скобки), затем применим закон исключённого третьего и свойство констант:
(А&В)  ( А &В) = В&(А  А )= В&1= В.
Дополнительное задание.
Докажите самостоятельно правила замены операции эквивалентности.
Подведение итогов урока
- Сегодня на уроке мы рассмотрели основные законы формальной логики и законы алгебры высказываний,
основные способы доказательств этих законов: с помощью диаграмм Эйлера-Венна, с помощью таблиц истинности,
путём эквивалентных преобразований и с помощью логических рассуждений.
Постановка домашнего задания
1.
Разобрать конспект урока.
2.
Выписать все законы алгебры логики на плотный листок размером ≈ 12см×15см.
3.
Выполнить упражнения с карточки в тетради, карточку принести, листок с классной работой вклеить в тетрадь.
Карточка для домашней работы
1.
Доказать справедливость следующих тождеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
А) закон поглощения А&(А  В) = А;
Б) закон де Моргана А&В = А  В ;
*В) правило замены операции импликации.
2. Доказать закон исключения (А  В) &( А  В) = В путём эквивалентных преобразований:
3. Доказать справедливость следующих тождеств с помощью построения таблицы истинности:
А) закон ассоциативности; Б) закон дистрибутивности; В) правило перевёртывания.
4. Дополнительное задание.
Доказать справедливость правил замены операции эквивалентности путём построения диаграмм ЭйлераВенна.
*- Задание на «5».
Карточка для домашней работы
1.
Доказать справедливость следующих тождеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
А) закон поглощения А&(А  В) = А;
Б) закон де Моргана А&В = А  В ;
*В) правило замены операции импликации.
2. Доказать закон исключения (А  В) &( А  В) = В путём эквивалентных преобразований:
3. Доказать справедливость следующих тождеств с помощью построения таблицы истинности:
А) закон ассоциативности; Б) закон дистрибутивности; В) правило перевёртывания.
4. Дополнительное задание.
Доказать справедливость правил замены операции эквивалентности путём построения диаграмм ЭйлераВенна.
*- Задание на «5».
Карточка для домашней работы
1.
Доказать справедливость следующих тождеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
А) закон поглощения А&(А  В) = А;
Б) закон де Моргана А&В = А  В ;
*В) правило замены операции импликации.
2. Доказать закон исключения (А  В) &( А  В) = В путём эквивалентных преобразований:
3. Доказать справедливость следующих тождеств с помощью построения таблицы истинности:
А) закон ассоциативности; Б) закон дистрибутивности; В) правило перевёртывания.
4. Дополнительное задание.
Доказать справедливость правил замены операции эквивалентности путём построения диаграмм ЭйлераВенна.
*- Задание на «5».