Линейные уравнения и неравенства с параметром в а

Линейные уравнения и неравенства с параметром
1. При каких значениях параметра в уравнение (а+1)х = 2в-а имеет решение при
любом а?
1) – 0,5
2) 0,5
3) 4
4) 10
2. При каких значениях параметра а уравнение а(х-3) = 2х+1 имеет решение
удовлетворяющее условию х<3?
2) (-  ;2)
1) (-∞;-2)
4) (2; ∞)
3) ( -∞;2]
3. Укажите те значения параметра а, при которых система неравенств
3-6х < 2х-13 не имеет решений.
3+2х < а+х
1) а>5
2) а <5
3) а  5
4) а≥10
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения
ах -10 = 3а -2х и ах + 5 = х имеют общий корень.
1) 0
3) а > 1
2) -4
4) 0 и -4
5.При каких значениях параметра а, решением неравенства 2(а-2х) < 8 – ах
является промежуток (-  ;-2)?
2) [ 4; ∞)
(4;+  )
1)
3) ( -4; ∞)
4 (-∞; 5]
6. При каких значениях параметра а, неравенство (а+2)х < а²-4 решений не
имеет?
1) -2
2) 2
3)
4) а>-2
9
7. Укажите те значения параметра а, при которых уравнение ах = а² равносильно
уравнению х-3  а.
1) 3
2) -3
3)
0
4) 5
8. При каких значениях параметра а, неравенство 2х+а > 0 является следствием
неравенства х+1-3а > 0?
1) а>
№
1
задания
ответ
1
2
7
2) a<
7
3
3) a≤
7
3
4) а  2/7
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
1
2
3
4
Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Квадратичная функция.
1. При каких значениях параметра с уравнение (с – 2) х² + 2(с – 2) + 2 = 0 не имеет
корней ?
1) 2 ; 18
2) (2; 18)
3) 0; 1
4) 2
2. Укажите те значения параметра с, при которых уравнение
(с – 1)х² + ( с + 4) + с + 7 = 0 имеет только отрицательные корни.
2) (1; ∞)
1) (-∞;-7)
3) (-∞; -7)  ( 1; ∞ )
4) 1; -4
3. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство х² - ах >
2
а
выполняется для любых х. В ответ запишите длину интервала найденных значений
параметра.
1) 0
2) 4
3) 5
4) 2
4. При каких значениях параметра в график функции у = (4 - в²)х² + 2(в + 2)х – 1
лежит ниже оси ОХ?
1) в< - 2
2) в< 2
3) в≥ -2
4) в=0
5. При каких значениях параметра а, вершина параболы у = (х -7а)² + а² - 10 + 3а
лежит в Ш координатной четверти?
1) (-∞; -5)
2) (-5; 0)
3) (-5; 5)
4. (0; ∞)
6. Укажите значения параметра а, при которых решения неравенства
(х – а)²(х – 3)(х + 1) ≤ 0 образуют непрерывный промежуток.
1) (-1;3)
2) (1;3)
3) [-1; 3]
4) [ -3; 1 ]
7. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства
(1 – х) ( х – а) ≥ 0 содержится 5 целых чисел ?
1) (-4;-3)
2) (5;6)
3) 0
4)  4;3  5;6
8. Найдите все значения параметра а, при которых график функции
у = (а + 5) х² + х + а – 3 пересекает ось абсцисс по разные стороны от оси
ординат.
1) (-5; 3)
2) -5
3) 0
4) 3
№
1
задания
ответ
2
2
3
4
5
6
7
8
3
4
1
2
3
4
1
Иррациональные уравнения и неравенства с параметром.
1. При каких значениях параметра а, уравнения
равносильны?
1) а >0
2) а=0
3) а ≤ 0
2. Решите неравенство
1) (а; ∞)
х² - а = 0
и
х - а = 0
4) а < 1
х + х  а > 0 для каждого положительного параметра а.
2) (0;а)
3) (0;а]
4) а; 
ха
0
х2
3. При каком значении параметра решения неравенства
непрерывный промежуток?
1) а ≥ 2
2) а>2
3) а=2
образуют
4) а ≤ -2
4. При каких значениях параметров а и в множество решений неравенства
х  а > 2 х  в совпадает с промежутком 1;5 ?
1) а=3, в=2 2) а= - 3, в=2 3)а=-3, в= -2
4) а= -3; в=1
5. Решите неравенство относительно х
ах
ах
+
2 .
ах
ах
1) при а≤0 х   а; а
при а>0 х  а;а
2) при а>0 х   2а;2а
при а<0 х  а;а
3 ) при а>0 х  а; а
при а<0 х  а;а
4) при а≥0 х   а; а
при а<0 решен. нет
6. При каких значениях параметра а, неравенство х +1 >
отрицательное решение?
1) а > 1
2) а < 0
3) а = - 1
х  а имеет хотя бы одно
4) а ≥ 1
7. Укажите те значения параметра а, при которых уравнение 7  х +
решение.
1) 2;2 2 
2) ( 2; 2 2)
3) (-2 2; 2)
8. При каких значениях параметра а, уравнение
решение?
1) ( 0; 0,5)
№
1
задания
ответ
3
2) 0;0,5
х  3 =а, имеет
4) (0;1)
х  1 = ах имеет положительное
4) (1; ∞)
3) (-0,5; 0)
2
3
4
5
6
7
8
4
1
2
3
4
1
2
Показательные уравнения и показательные уравнения с параметрами.
1. При каких значениях параметра а, уравнение 4 х - (5а-3) 2х +4а2-3а=0 имеет
единственный корень?
1) (0;∞)
2) 0, 1
3) (
4) 0;0,75)  1
3
; 1)
4
2. Решите уравнение для положительных значений параметра а
х 2 1
а 9  х1 а 3  а 2 .
1) при а=1, х≥2, х  N 2) (2;∞)
3) [ 2; 3 ]
4) 2
при а>0, х=2
3. Решите неравенство ах²-х < а² для каждого положительного значения параметра.
1) при а≥1, х  (-1;2) 2) при а>1, х  (-1;2)
3) при а>1, х  (-1;2) 4)решений
при 0<а<1 решений нет при а=1 решений нет
при 0<а<1, х  (2; ) нет
при 0<а< 1, х  (;1)  (2; )
4. При каком значении параметра а решением неравенства а  2 х > а² является
промежуток (-∞; log2 а) ?
1) а > 0
2) а≤0
3) а<0
4) а > 2
5. В интервале (0;1) найдите те х, для которых справедливо неравенство
1
 
 81 
8  Log а х
1
>  
 3
Log а 2 х
2) (0; а8 )
1 ) (0;1)
3) (0; 0,5)
4) ( а³; 1)
6. Укажите те значения параметра а, при которых неравенство 2 х > а -1 справедливо
на множестве действительных чисел.
1) при любом а
2) а=1
3) а ≤ 1
4) а < 1
 1 х

7. Решите неравенство     а 2 х  3 >0 относительно х.
 2 

1) при а>0, х  R 2) при а<0, реш нет
3) при а=0, х R
при а≤0, х  (-∞;1) при а≥0,х  (1;∞) при а>0,х  (-∞;log 1 а)
4)при а≤0, х  R
при а>0, х (-∞;log 1 а)
2
2
1
а
8. Решите уравнение а х 1 =в 3 х , если в≠ .
1) х =
№ зад
ответ
3 log a b  1
1  log a b
1
4
2) решений нет
2
1
3
2
3) х =
4
1
3 log a b  1
1  log a b
5
2
4) х =
6
3
7
4
3 log a b  2
2  log a b
8
1
Логарифмические уравнения и неравенства с параметром.
1. Решите уравнение log а x = -2 относительно х.
1) а<0 и а=1 корней нет 2) а<0 и а=1 х= а² 3) а≤0 х=а³ 4) а<0 корней нет
а>0, а≠1, х=а-2
а>0, а≠1, х=а-2
а>0, х=а-2
а≥0, х=а
2. Найдите значения параметра а, при которых уравнение log2a-a²-1 х=3 корней не
имеет.
1) а≥ 0
2) а- любое число
4) а≤ 0
3) ( 1; 10)
3. Решите неравенство logа+х2<0 относительно х.
1) (а; 1+а)
2) ( -∞; а)
3) (-а;1-а)
4) (а;∞)
4. При каких значениях параметра а, уравнение (х-а)log2x=0 имеет единственное
решение?
1) ( -∞; а)
2) а≥ 0
3) а=1
4) а=1, а≤0
5. Найдите значения параметра а, при которых уравнение (х-3)log2а=0 имеет
единственное решение.
1) 0< а <1, а>1
3) а≥ 0
2) [0;1]
4) ( -∞; а)
6. При каких значениях параметра а, решением неравенства
1
 1 является
log a ( х  3)
промежуток (4;а+3)?
2) а> 1
1) [0;1]
3) а- любое число
4) а≥ 0
7. Решите неравенство logx(a²+1)<0, а>0, а  1 относительно х.
1) а≥ 0
2) а- любое число
3) (0;1)
4) ( 1; 10)
8. При каких значениях параметра а решения неравенства хlog а x+1>a²x, а>0, а  1
образуют непрерывный промежуток?
1) ( -∞; а)
№ зад
ответ
1
1
2) а≥ 0
2
2
3
3
3) (-а;1-а)
4
4
4) (0;1)
5
1
6
2
7
3
8
4
Тригонометрические функции.
1. При каких действительных а, множество решений уравнений 4Cos²x=a²-6 и
а
1-Cos2x= совпадают?
6
1) а- любое число
2) (-∞;  10 )  ( - 6 ;0)  3  (12; )
3) а≥ 0
4) а≤ 0
2. Решите уравнение Sinx=3a-2 относительно х.
1
<а <1,(-1) т arcsin(3а-2)+  n
3
1
2) arcsin(3а-2)+2  n
4)а< , a>1 решений нет
3
1
<а <1, х =(-1) т arcsin(3а-2)+  n
3
3. При каких значениях параметра а уравнение 3 sinх+Cosx=a имеет корни?
1) (-1) т arcsin(3а-2)+  n
3)
2) а≤ 0
1) -2< а< 2
3) 0< а <1, а>1
4) а- любое число
4. Укажите те значения параметра а, при которых уравнение Sin 2x=a имеет 5 корней на отрезке
0;2n .
1) ( 1; 10)
2)
3) ( -∞; а)
а=0
4) (-а;1-а)
5. При каких значениях параметра а, решение неравенства Cos²+a Sin х<2-Sinx содержит
  5 
промежуток  ;  ?
6 6 
2) (а; 1+а)
1) [0;1]
4) а- любое число
а> 1
3)
6. При каких целых отрицательных n, функции f(Х) заданная равенством
25 х
f(x)=Cos 7 nx ∙ Sin 2 , является периодической с периодом Т=2n?
n
1) -1
2) -5; -10
3) (-5;-1)
4) -1, -5
7. Укажите те значения параметра а, при которых неравенство sin x 
справедливо для всех х таких, что 0  x 
1) а ≥
1
3
2) а≥ 0
1 1
 а
3 3
2
.
3
3) 0< а <1, а>1
4) а=
1
3
8.При каких значениях параметра а, неравенство (а-2)∙Sinx>3a+4 всегда справедливо?
1) а≤ 0
№ зад
ответ
1
2
2) а<-3
2
4
3)
3
1
4
2
1
<а <1
3
5
3
4) а- любое число
6
4
7
1
8
2
Функция. Производная.
1. При каких значениях параметра а, прямая у=ах-5, касается кривой у=3х²-4х-2?
2) ( -∞; а)
1) [0;1]
3) а≥ 0
4. -10; 2
2. Укажите положительные значения параметра а, при котором наименьшее значения
функции у=х х  а равно -6 3 .
1
<а <1
3
1)
2) 0< а <1, а>1
3) 9
4) ( 1; 10)
3. Найдите значения параметра а, при которых точка х0=а, является точкой
минимума функции у=2х²-3(а+1)х²+6ах-1?
1) а≥ 0
2) а > 1
4) 0< а <1, а>1
3) ( 1; 10)
4. При каких значениях параметра р касательная, проведенная к графику функции
у=х³-рх в точке графика с абсциссой х0=1 проходит через точку М 2;3 .?
1) 0,5
3) а≤ 0
2) 0; 7
1
<а <1
3
4)
5. Найдите все действительные значения параметра а, при которых график функции
х3
у=а+9хкасается оси абсцисс.
3
1) 18
3) а≥ 0
2) -18, 0
4) -18, 18
6. При каких значениях параметра а, касательная к графику функции у=ах²+5х+4 в
точке х=1 образует с осью х угол 1350?
1) 4; -4
2) 0
3)
-3
4) ( 1; 10)
7. При каких значениях параметра а функция f(x)=2ax³+9ax²+30ax+66 убывает при
всех значениях х?
1) а≥ 0
2) а< 0
3) 0< а <1, а>1
8. Найти все значения параметра а, при которых уравнение f
действительных корней, если f(x)=х³+
1
<а <1
3
1)
№ зад
ответ
1
4
2)
,
4)
а≤ 0
(x)=0 не имеет
а
х
0< а <1, а>13
3)а <0
4) а≤ 0
2
3
4
5
6
7
8
3
2
1
4
3
2
3
Итоговый 1
1.При каких значениях параметра а, функция f(x) имеет 1 критическую точку, если
f(x)=ax³-6x²+4x+7 ?
2) ) ( -∞; а)
1) ) [0;1]
3) а=
1
3
4) 0, 3
2. При каких значениях параметра а, уравнение х  а =а, имеет хотя бы один
положительный корень?
1) а>0
2) а≥ 0
3) ) [0;1]
4) ( 1; 10)
3. Укажите такие значения параметра а, при которых решения неравенства 2 х  3 < 4-а
образуют непрерывный промежуток.
1) ( -∞; а)
2)
1
<а <1
3
3) а<4
4) 0< а <1, а>1
4. При каких значениях параметра а, уравнение 4Cos2x-3Sin2x=2a+2 имеет решения?
1) а≤ 0
2) 0< а <1, а>13
7 3
]
2 2
а <0
3)
4) [  ;
5. Найдите значения параметра а, при которых неравенство log 1 (х²-2х+а)>-3 не имеет
2
решения ?
1) 0< а <1, а>1
1
3
3) а≥9
2) -18, 18
4) <а <1
6. При каких значениях параметра а, каждое решение неравенства
log0,5х2  log0,5 (х+2) является решением неравенства 49х 2 -4а 4  0?
(-∞; - 7 ]  [ 7 ; )
1)
2) ( 1; 10)
4) ) ( -∞; а)
3) ) [0;1]
7. Укажите такие значения параметра а, при которых уравнение
х 2 +2х Cos(x-a)+1=0 имеет хотя бы одно решение?
1) а- любое число 2) а≥ 0
3) а=
1
3
4) -1+ 2  n, 1+(2n+1)
8. При каких значениях параметра а, решения неравенства а-х> 1  х
образуют
полупрямую?
1)
а- любое число
№ зад
ответ
1
4
2
1
2) ) ( -∞; а)
3
3
3) ( -1;∞)
4
4
5
3
1
3
4) <а <1
6
1
7
4
8
3
Итоговый 2.
1.Найдите все значения t, такие, что функция f(x)=2x³-3x²+7 возрастает на
( t-1; t+1).
1) (-  ;-1]  [2;∞)
2) [2;∞)
(-  ;-1)
3)
4) ) [0;1]
2. При каких значениях параметра а, уравнение ах  1 =ах-1 не имеет решения?
а=0
1)
2) а- любое число
3) а≥ 0
4) а=
1
3
3. При каких значениях параметра а, неравенство х 2  а  х справедливо для
любого значения х?
1
4
2)[ ;∞)
1) ) [0;1]
3) ( 1; 10)
4)
1
<а <1
3
4. Определить, при каких значениях параметра а, уравнение
2
а 2
)Sinx+
=0 имеет на промежутке
2
2
Sin2x-(a+
1) -18, 18
2) [ -
3
; 0)  {1}
2
3)
 4 
0; 3  3 корня.


0< а <1, а>1
4) а≤ 0
5.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 4log 0,5 (x+2)=5log 0, 2 (2x
неравенство 2ах+1 - 4х+а + 7∙2х  0 имеют только 1 общее решение.
1)
1
<а <1
3
2) а≤ 0
2
+3x+2)
4) а <0
3) [0,5;2)
1 5
6. Какие значения х из интервала  ;  являются решениями неравенства
2 2
log3x-x (3a-ax)<1 при любом значении параметра а из интервала (0;2)?
2
1) а=
1
3
2) а=1
3) [2;
5
)
2
5
]
2
4) [2;
7. При каких значениях параметра а неравенство log
а
(x2+2)>1 выполняется для
а 1
любого значения х?
1) (-  ;-1)
2)
[2;∞)
4) а<-2
(-  ;-1)
3)
8. Решите неравенство: (а+1)<(а+2)∙3 х  1
1) ) [2;
5
)
2
2)а- любое число
3) [2;∞)
4) при а<-2, х  [1;1  log 32
а 1
)
а2
при а≥-2,х  [1; )
№ зад
ответ
1
1
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
7
4
8
4
и
Итоговый 3.
1. Найдите все такие положительные значения параметра а, что функция
у=ах²-Sinx убывает на интервале (0; 5).
1) а≥ 0
3) ( -∞; а)
2) ) [0;1]
1
]
50
4) (0;
2. При каких значениях параметра а, неравенство 1  х
(- ;
< а-х имеет решение
а 1
)?
2
1)
( 1; 10)
2)
1
<а <1
3
3) [0;1]
4) (-1; 1]
3. Укажите значение параметра а, при которых неравенство 2  х >а+1, имеет
решение  2; .
1) ) ( -∞; а)
2) а≥ 0
3) а< -1
4) а=
1
3
4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение х -6-2=а не имеет
корней.
1) -3≤ а≤ 2
1
]
50
2) .(0;
3) a<-2
4) ) [2;
5
)
2
5. При каких значениях параметра а, решения неравенства (х-а)²(х-2)(х+3)  0
образуют непрерывный промежуток?
2) -3≤ а≤ 2
(-  ;-1)
1)
3) [2;∞)
4) а=
1
3
6. При каких значениях параметра а, уравнение Sin²x-(3a+1)∙Sinx+a(2a+1)=0 имеет
решения?
(-  ;-1)
1)
2) -1≤ а ≤1
3) а- любое число
4) ( 1; 10)
7. При каком значении параметра а, решением неравенства log2x+logx2+2Cosx  0
являлся промежуток х  0;1 ?
1) а- любое число
2) а≤ 0
3)
1
<а <1
3
4) 0< а <1, а>13
8. При каких значениях параметра а, неравенство loga(1-8a-x)  2(1-x) не имеет
решения?
1) а≤0 и а=1
№ зад
ответ
1
4
2) а <0
2
4
3
3
3) а≤ 0
4
3
5
2
4) 0< а <1, а>1
6
2
7
1
8
1
Итоговый 1. Решение.
1. При каких значениях параметра а, функция f(x) имеет 1 критическую точку, если
f(x)=ax³-6x²+4x+7 ?
Решение:
f(х) = ах² -6х+4х+7. Найдем производную заданной функции
,
f (х) =3 ах²- 12х+4.
Приравняем производную к нулю 3 ах²-12х+4=0
Рассмотрим 2 случая:
1) если а = 0 , то
-12х=-4,
1
3
х = - критическая точка.
2) если а ≠ 0 , то 3ах²-12х+4=0. Выясним, при каком значении параметра а,
уравнение имеет один корень. D=144-48а=0, 48а=144, а=3.
Ответ: 0 и 3
2.
При каких значениях параметра а, уравнение х  а =а, имеет хотя бы один
положительный корень?
Решение:
Построим эскизы графиков у= х  а и у=а
1) если а< 0, то решений нет.
у
х
0
2) если а=0, то х=0
у
0
х
3) если а>0, то два решения, одно из которых положительное.
Ответ: а>0
3. Укажите такие значения параметра а, при которых решения неравенства
2 х  3 < 4-а образуют непрерывный промежуток.
.
Решение:
1) Если а > 4, то неравенство решений не имеет.
2) Если а≤4, то 2х – 3 < (4-а)², 2х< 19 – 8а + а², х<
19  8а  а 2
. Учитывая область
2
19  8а  а 2
допустимых значений х ≥ 1,5 ,
>1,5, 19-8а+а²>3, (а-4)²>0, то решением
2
является непрерывный промежуток.
х
19  8а  а 2
2
1,5
Ответ: а<4.
3. При каких значениях параметра а, уравнение 4Cos2x-3Sin2x=2a+2 имеет решения?
Решение:
Применим формулу половинного угла sin2x =
1  tg 2 x
2tgx
и
соs2
x=
. Исследуем
1  tg 2 x
1  tg 2 x
квадратное уравнение (2а+6)tg 2 x+ 6 tgx+2a-2=0.
1) если а=-3, то -6 tgx=8, tgx = -
4
3
2) если а≠-3, то квадратное уравнение будет иметь решения при D≥0.
D=36-4(2а+6)(2а-2), 4а²+8а-21≤0, 4 (а+3,5)(а-1,5)≤0, т.е квадратное уравнение
7 3
].
2 2
будет иметь корни если а  [  ;
7 3
]
2 2
Ответ: [  ;
5.Найдите значения параметра а, при которых неравенство log 1 (х²-2х+а)>-3 не имеет
2
решения ?
Решение:
log 1 (х²-2х+а)>log 1 8 отсюда следует, что 0< x²-2x+a<8, 1-а < (x-1)² < 9-a. Если а≥9,
2
2
то решений неравенство не имеет.
Ответ: а≥9
6. При каких значениях параметра а, каждое решение неравенства
log0,5х2  log0,5 (х+2) является решением неравенства 49х 2 -4а 4  0?
Решение:
Неравенство log0,5х2  log0,5 (х+2) равносильно системе х² ≤ х+2,
х≠0,
х+2>0, решая которую
2
находим, что -1≤х<0, 0<х≤2. Решениями неравенства 49х -4а 4  0 являются все х
2
7
2
7
такие, что - а 2  х  а 2 . Решая систему
2
7
- а 2  1
2
7
удовлетворяющего условию задачи а  (-∞; - 7 ]  [
- 2  а 2 , получим значения параметра а,
7 ; )
Ответ: (-∞; - 7 ]  [ 7 ; )
7. Укажите такие значения параметра а, при которых уравнение
х 2 +2х Cos(x-a)+1=0 имеет хотя бы одно решение?
Решение:
Выясним, при каких значениях х уравнение х 2 +2х Cos(x-a)+1=0 имеет решение.
 1  х2
 1  х2
, -1 ≤
≤1, двойное неравенство справедливо при х=1 и х=-1.
2х
2х
Если х=1, то а=1+  (2к+1), если х=-1, то а=-1+2  к, где к Z.
Ответ: 1+  (2к+1), -1+2  к, где к Z.
Cos(x-a)=
8. При каких значениях параметра а, решения неравенства а-х> 1  х
полупрямую?
Решение:
Построим эскизы графиков функций у= а-х и у= 1  х
1) если а≤-1, то решений нет.
у
-1
1
х
2)если а>-1, то решения неравенства образуют полупрямую.
образуют
у
1
Ответ: ( -1;∞)
1
х