ЕГЭ. Задачи части С-2

Задача №1.
Основание прямой четырёхугольной призмы A...D1 прямоугольник ABCD, в
котором AB = 12, AD  31 . Найдите косинус угла между плоскостью
основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD
перпендикулярно прямой BD1 , если расстояние между прямыми ACи
B1D1 равно 5.
Z
Z
C1
D1
A1
B1
D=0
X
A
C
Y
y
B
Решение:
1)   ( AC  B1D1 )  5  AA1  DD1  BB1.
2)Введем прямоугольную систему координат X0YZ так, чтобы начало
координат находилось в вершине D.
3) Плоскость, проходящую через середину ребра AD перпендикулярно
прямой BD1 , обозначим  . Угол между плоскостями ( ABC ,  ) - это угол
между нормальными векторами, перпендикулярными этим плоскостям.
AA1  ( ABC ); DD1  ( ABC ).
4) Найдём координаты вершин призмы и векторов BD1 , DD1 .
D1 (0,0,5); B( 31,12,0) .
DD1 (0;0;5) ; BD1 ( 31, 12,5).
cos(( ABC ),  ) 

DD1  BD1
DD1  BD1

5
5
1
2



.
4
200 10 2 2 2
0  0  25

0  0  25  31  144  25
Ответ: cos  
2
.
4
Задача №2.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра
AB  20 3 , SC=29. Найти угол, образованный плоскостью основания и
прямой AM, где М – точка пересечения медиан грани SBC.
S
M
С
A
ϕ
N
M1
O
B
Решение:
1)N – середина BC. NS проектируется на прямую AN, поэтому проекция точки
M – т. M1лежит на отрезке AN; т.е. проекция ANравна проекции AM.
Следовательно, MAM1   искомый.
2) MM1 || SO, где т.O – центр основания, следовательно,
SNO подобен MM1 N , где K=3.
ON
SO
SN


 3 :1,
NM 1 MM 1 MN
1
3
так как NM  SN ; SN  3NM .
1
9
3) AM 1  AN  NM 1  AN  
8
8  30 80
AN 
 .
9
9
3
AN  (20 3)2  (10 3)2  30.
1
ON 1  AN 1
ON  3MN ; ON  AN ; AN  3ON ; NM 1 

 AN .
3
3
33
9
1
3
4) MN  SO 
OA 
1
1
1
37
SC 2  CO 2 
292  AO 2 
292  202 
 7.
3
3
3
3
2
2
AN   30  20.
3
3
5) Из MM 1 A : tg MAM 1 
Ответ: arctg
MM 1 21 7
21


 .
AM 1 80 80 80
3
21
.
80
Задача №3.
В правильной шестиугольной призме AF1, все рёбра которой равны 3, найти
 (C; D1E1 ) .
D1
E1
F1
C1
A1
E
B1
D
F
C
A
B
Решение:
1) FC || DE , ABCDEF –правильный шестиугольник.
2) D1E1 || DE, т.е. D1E1 || FC.
3)  (C, D1E1 )   ( D1E1 , FC ) .
4) В трапеции FE1D1CD1E1=3, FC=6, FE1=CD1
FE1  CD1 
63
CH 

2
D1
G
H
32  32  3 2.
3
.
2
9
63 3 7

.
5) D1H      18 
4
4
2
Ответ:  
E1
3 7
.
2
F
C
Задача №4.
Найти угол между плоскостями (α) 2х+3y+6z-5=0; (β) 4x+4y+2z-7=0.
Решение:
1) n1   , n1 (2;3; 6).
n 2   , n 2 (4; 4; 2).
2) Угол между плоскостями α и β, - это угол между нормальными векторами,
перпендикулярными этим плоскостям.
cos  
n1  n 2
n1  n 2

2  4  3 4  6  4
22  9  36  16  16  4
Ответ: ( ;  )  arccos

32
32 16

 .
49  36 7  6 21
16
.
21
Задача №5.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между BDи SA.
Дано:SABCD – правильная пирамида;
SA=SB=SC=SD=AB=BC=DC=AD=1.
Найти:ρ(BD;SA).
S
E
D
A
C
B
Решение:
1) Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из т.О на ребро AS.
2) BD  ( AOS ) , т.к. BD  AO и BD  SO (признак a   ), следовательно,
BD  OE .
Т.о., ЕО – общий перпендикуляр к BD и SA, т.е., EO   ( BD; SA).
3) Найдём ЕО из AOS .
1
1
AO  SO  AS  EO, тогда
2
2
AO  SO
1
2
EO 
, AO  AC 
.
AS
2
2
2
AS  1, SO 
(из AOS ).
2
SAOS 
Т.о., EO 
2 2 1
 .
2  2 1 2
1
То есть,  ( BD; SA)  .
2
1
Ответ:  ( BD; SA)  .
2
Задача №6 (СГЭ-2011)
Диаметр ANи хорда AB основания конуса соответственно равны 24 и 16,
высота конуса 125. Найти тангенс угла между плоскостью основания конуса
и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.
S
Дано:SAN – конус, AN=24,
AB=16, SO  125.
Найти: tg SCO.
A
O
N
ϕ
C
B
Решение:
1) Рассмотрим ABO - равнобедренный, т.к. OA=OB=R=12 (AN=D=24).
OC  AB, OC – медиана, биссектриса, высота, тогда AC=BC=8.
2) Из AOC (C  90o ) по теореме Пифагора:
OC  OA2  AC 2  144  64  80  4 5.
3) Рассмотрим ABS - равнобедренный, т.к. SA=SB, SC  AB , SC–медиана и
биссектриса. Таким образом, SOC - линейный угол двугранного угла между
плоскостями (ABN)и (ABS).
o
4)Из SOC (O  90 , т.к. SO  ( ABN )) .
SO
125 5

  1, 25.
OC 4 5 4
Ответ: tg SCO  1, 25.
tg 
Задача №7.
В цилиндре отрезок ABявляется диаметром нижнего основания и равен 10.
Точка С лежит на окружности верхнего основания цилиндра и одновременно
принадлежит осевому сечению цилиндра, перпендикулярного AB. Найти
косинус угла между плоскостью (ABC) и плоскостью основания цилиндра,
если BC=13.
C
O1
Дано: цилиндр, AB=10 – диаметр;
MCHN –осевое сечение;
(ABC) – сечение цилиндра;
BC=13.
Найти: ( ABC );( ABH ).
M
α H
A
O
B
N
Решение:
1) CH  ( ABH ), HO  AB , тогда CO  AB (по теор. о трёх  ); AB  (COH ) .
Т.о. COH - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями
(ABH)и (ABC).
2) Рассмотрим COB, COB  90o (см. п.1),
1
AB  5, т.о. по т. Пифагора CO  CB2  OB2  169  25  144  12.
2
3) Рассмотрим COH , H  90o , тогда
OH
5
cos COH 
 .
CO 12
5
Ответ: cos COH  .
12
OB 
Задача №8.
Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон
основания проведено сечение. Найти площадь сечения и объём пирамиды,
если известны стороны основания а и угол α между сечением и основанием
пирамиды.
S
Дано: SABC – правильная пирамида;
AB=AC=BC=а; (SDE) – сечение;
( SDE ), ( ABC )   ;
AD=DC; AE=EB.
Найти: S DSE ;VSABC .
E
A
B
N
O
D
M
C
Решение:
1
2
1
3
1) В ABC : AN  NM  AM , AO  2OM , OM  AM .
1
BC , т.к. AD=DC, AE=EB (по условию).
2
2) SN  DE , SO  ( ABC ) => ON  DE (теор. о трёх  ).
SNO   (по условию).
1
1
1
3) ON  MN  OM  AM  AM  AM .
2
3
6
BDи AM – медианы, DE 
AM  AC 2  CM 2  a 2 
Т.о. ON 
a2 a 3
o

(из ACM , M  90 ).
4
2
a 3
.
12
o
4) Из SNO, O  90 найдём SN 
SO  ONtg 
5) SDSE
ON
a 3

.
cos  12 cos 
a 3
tg .
12
1
aa 3
a2 3
 DE  SN 

.
2
4 12 cos  48cos 
1
1 1 a2 3 a 3
a 2  tg

tg 
.
6) VSABC  SOCH  SO   
3
3 2 2
12
48
a2 3
a 2  tg
, VSABC 
.
Ответ: S DSE 
48cos 
48
Задача №9.
Высота правильной треугольной призмы AC1равна Н. Плоскость,
проведённая через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей
сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания
острый двугранный угол α. Найти площадь сечения, образованного этой
плоскостью.