Тема «Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами

МАОУ СОШ с УИОП № 3 г. Березники Пермский край
Тема «Решение линейных и квадратных
уравнений с параметрами
в курсе алгебры в 7,8 классе»
Разработала: Архипова Н.В.
учитель математики высшая
квалификационная категория.
г. Березники
2014 г.
В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не
только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в
контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ).
Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов
математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится
рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при
каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются
друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за
сохранением равносильных решаемых уравнений, неравенств с учетом
области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства,
а также учитывать выполнимость операций.
Решить уравнение с параметрами:
1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни
и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те
значения параметров, при которых это выражение действительно
определяет корень уравнения.
I.
ЛИНЕЙНЫЕ РАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.
Уравнения вида ax=b, где х – переменная, a и b – некоторые числа,
называются линейным.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что
корней нет.
Уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней и
может не иметь корней.
𝑏
1. если а≠0, х = - единственный корень,
𝑎
2. если а = 0, b ≠ 0, получим 0*x = b – это уравнение не имеет корней,
3. если а = 0, b = 0, получим 0*х = 0 – это уравнение имеет множество
корней.
Рассмотрим на решении линейных уравнений возможность получения
различных ответов.
1. 5х + 3*(3х + 7)=35
5х + 9х + 21 = 35
14х = 14
Ответ: х = 1 – один корень.
2. 28 – 20х = 2х + 25 – 16х – 12 – 6х
28 – 20х = -20х + 13
0х = -15
Ответ: нет корней.
3. 10 – 4х + 3 = 9х – 2 – 6х + 9 – 7х +6
13 – 4х = 13 – 4х
0х = 0
Ответ: х – любое число.
Перейдем непосредственно к разбору решений линейных уравнений с
параметрами.
Алгоритм решения.
1. Привести уравнение к виду ax = b.
2. Исследование.
Решить уравнение:
1. ах = 10
а) а = 0, то 0*х = 10
Ответ: корней нет.
б) а ≠ 0, то 𝑥 =
10
𝑎
Ответ: 1. при а ≠ 0 единственное решение 𝑥 =
2.при а = 0 – корней нет.
2. (а – 2) * х = 5
Если уравнение имеет вид:
а) а=2, то 0 * х = 5 – нет корней
б) а ≠ 2, то 𝑥 =
5
𝑎−2
Ответ: при а ≠ 2 единственное решение х =
5
а−2
при а = 2 нет корней.
3. 2а*(а – 4)*х = а – 4
а=0
[
а=4
2а*(а – 4) = 0
1. а=0, то 0х = -4 нет корней;
2. а=4, то 0х = 0 – множество корней;
3. а≠0, а≠4, то х = а – 4/2а(а – 4) = 1/2а
Ответ: 1) при а=0, нет корней,
2) при а=4, х – любое,
3) при а≠0, а≠4, то х = 1/2а.
4. (а2 − 4) ∗ х = а2 + а − 6
а=2
[
а = −2
1) А=2, то 0х = 0, х – любое;
2) Если а=-2, то 0х=-4 – нет корней;
3) а≠ ±2, то х = а2 = а – 6/а2 – 4 = а + 3/а +2
Ответ: при а≠ ±2 х = а + 3/а + 2,
при а= - 2 нет корней,
при а = 2х – любое.
5. b*(b-1)*x = b2 + b – 2
𝑏=0
b(b-1)=0[
𝑏=1
1) b=0, то 0х= - 2 нет корней;
2) b=1, то 0х = 0 – х – любое;
10
𝑎
….
3) b≠0, b≠1, то х =
(𝑏−1)(𝑏+2)
𝑏(𝑏−1)
=
Ответ: при b=0 нет корней;
при b=1 х – любое.
Решить самостоятельно.
1) px=10
2) ax+7=8
3) bx-a=bx
4) 3-bx=14
5) ax+3=3
6) 2ax-4=0
7) ax-3=2x+5
8) 3x+4=ax-8
9) px-3=3x-p
10)
k-5x=-5+kx
11)
(a-1)x+2=a+1
12)
ax+2x+3=1-x
13)
a2(x-5)=25(x-a)
14)
(3x-a)2+(4x+1)2=(5x-1)2
15)
(2x+b)*(8x-2)=(4x+1)2+a
16)
(2x-2)*(18x+1)=(6x-1)2+a
17)
(a2-1)x=2a2-a+3
𝑏+2
𝑏
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ПАРАМЕТРАМИ
Рассмотрим систему
а + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
II.
если
если
если
а1
а2
𝑎1
𝑎2
𝑎1
𝑎2
≠
=
=
𝑏1
, то система имеет единственное решение,
𝑏2
𝑏1
𝑏2
𝑏1
𝑏2
𝑐
= 1, то система имеет бесконечное множество решений,
𝑐2
𝑐1
≠ , то система решений не имеет.
𝑐2
Примеры решений
1.
При каких а система имеет единственное решение.
𝑎𝑥 − 𝑦 = 5
{
𝑥+𝑦 =4
𝑎 −1
≠
⟹ 𝑎 ≠ −1
1
1
Ответ: при а≠-1
При каких а система имеет бесконечно много решений.
(а + 3)х + (а + 2)𝑦 = 2𝑎 + 1
а) {
(𝑎 + 8)𝑥 + (𝑎 + 6)𝑦 = 2𝑎 + 6
𝑎 + 3 𝑎 + 2 2𝑎 + 1
=
=
𝑎 + 8 𝑎 + 6 2𝑎 + 6
(a+3)(a+6)=(a+8)(a+2)
a2+9a+18=a2+10a+16
a=2
5 5 5
= =
8 8 8
Ответ: при а=2.
2.
б) {
2𝑥 + 3𝑦 = 18
𝑎𝑥 + 𝑦 = 6
Ответ: при а =
2
3
3.
При каких а система не имеет решения
2𝑥 + (9𝑎2 − 2)𝑦 = 3𝑎
{
𝑥+𝑦 =1
2 9𝑎2 − 2 3𝑎
=
≠
1
1
1
2
9a =4
2
𝑎=
3
[
2
𝑎=−
3
Проверяем.
2
3а
3
2
1
3а
3
1
Удовлетворяет при
а=−
Не удовлетворяет при
а=
=
−3∗2
3
= −2
=2
4.
При всех значениях параметра а решить систему уравнений
𝑥 + 𝑎𝑦 = 1
{
𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎3
Решение.
𝑥 = 1 − 𝑎𝑦
𝑥 = 1 − 𝑎𝑦
{
{
2
3
𝑎−𝑎 𝑦+𝑦 =𝑎
𝑦(1 − 𝑎2 ) = 𝑎3 − 𝑎
𝑦 = −𝑎
1)
Если 1-а2≠0, т.е. а≠±1, то данная система равносильна {
𝑥 = 1 + 𝑎2
0=0
2)
Если а=1, то система имеет вид {
⇔𝑥 =1−𝑦
𝑥 =1−𝑦
3)
Если а=-1, то система равносильна уравнению x=1+y
Ответ: при а≠±1 (1+а2; -а)
Примеры для самостоятельного решения.
(𝑎 − 2)𝑥 + 27𝑦 = 4,5
1) {
2𝑥 + (𝑎 + 1)𝑦 = −1
2𝑥 + (9𝑎2 − 2)𝑦 = 3𝑎
2) {
𝑥+𝑦 =1
(𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑏
3) {
𝑥−𝑦 =2
𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎
4) {
𝑎𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 − 1
𝑥 − 𝑦𝑏 = 𝑎
5) {
𝑎𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥+𝑦=𝑏
6) {
𝑎𝑥 − 𝑦 = 𝑎
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎
7) {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑏
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏
8) {
2𝑎𝑥 − 𝑦 = 𝑎
III.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется
квадратным уравнением.
а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.
Например:
а) 2х2 – 3х + 0,7 = 0
б) -0,9 х2 + 8 – 2 1/6х=0
Найти a, b, c?
Решим уравнение
ax2+bx+c=0
а) если а=0, то уравнение имеет вид
bx+c=0. Тогда x=-c|b
б) если а≠0, то уравнение имеет:
1) 2 различных корня х1≠х2, если Д>0,
2) 2 равных корня
х1=х2, если Д=0
3) не имеет корней, если Д<0.
Рассмотрим примеры.
1. При каких значениях уравнение имеет 2 корня?
2х2+6х+b=0
Уравнение квадратное.
Найдем Д=36-4*2*b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня,
значит Д>0.
Решим неравенство 36-8b>0
-8b>-36
b<4,5.
Ответ: при b<4,5.
2. При каких значениях имеет один корень?
3х2-6х+2v=0
Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v.
Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.
36-24v=0
24v=36
V=1,5.
3. При каких t уравнение не имеет корней?
2x2-15x+t=0
Уравнение квадратное. Д=225-4*2t=225-8t
По условию Д<0, то
225-8t<0
-8t<-225
t>281/8.
Ответ: при t>281/8/
4. При каких значениях а квадратное уравнение ах2+х+2=0 имеет два корня?
Из чисел -1/3; 1/3; -1/10; 1/10; выберите те, которые удовлетворяют этому
условию.
Решение.
ах2 +х+2=0.
При а=0 получим линейное уравнение х+2=0, х=-2 – единственный корень
данного уравнения.
Поэтому а≠0. Найдем Д=1-4*а*2=1-8а. По условию задачи уравнение имеет
два корня, значит Д>0.
1-8а>0 при а<1/8.
Условиям а<1/8 и а≠0; -1/3; -1/10; 1/10.
5. Решите уравнение ax2+2x+1=0
Решение.
а) если, а=0, т о получим линейное уравнение 2х+1=0, х=- ½ - единственный
корень.
б) если а≠0, то уравнение является квадратным.
Д=4-4*а=4(1-а).
1) Если Д>0, т.е. 1-а>0, a<1, уравнение имеет 2 различных корня.
−2 + √4(1 − а) − 1 + √1 − а − 1 − √1 − а
Х1=2а=а, х2=а.
2) Если Д=0, то 1-а=0, а=1, уравнение имеет два равных корня х1=х2=-1/1=-1.
3) Если Д<0, т.е. 1-а<0,a>1 уравнение не имеет корней.
Ответ: при а=0 х=-1/2, при а=1 х1=х2=-1,
При а>1 нет корней,
При а<1, а≠0 х1=(-1+√1 − а)/а, х2=(-1-√1 − а)/а
6. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение
(а+1)х2+2(а+1)х+а-2=0 имеет:
а) 2 различных корня;
б) 2 равных корня,
в) не имеет корней.
Решение.
Так как по условию задачи уравнение квадратичное, то а+1≠0, а≠-1.
Д/4=(а+1)2-(+1)*(а-2)=(а+1)*(а+1-а+2)=3*(а+1)
а) если Д/4>0, то х1≠х2. Тогда 3*(а+1)>0, a<-1.
б) х1=х2 если Д=0, т.е. 3*(а+1)=0, а=-1, но по условию уравнение квадратное и
а≠-1.
в) уравнение не имеет корней, если Д<0, 3*(а+1)<0, a<-1.
Ответ: при а >-1 уравнение имеет два различных корня; при а<-1 нет корней;
квадратное уравнение равных корней не имеет.
7. При каких значениях а уравнение х2=2х+а=0 имеет хотя бы один общий
корень с уравнением 2х2+7х+6=0?
Решение:
Найдем корни уравнения 2х2+7х+6=0.
Д=1, х1=-2, х2=-1,5.
Если х=-2 общий корень уравнений, то (-2)2+2*(-2)+а=0, а=0.
Если х=-1,5 общий корень уравнений, то (-1,5)2+2*(-1,5)+а=0, а=3/4.
Ответ: при а=0 или а=3/4.
8. ах2-6х+9=0.
а=? уравнение имеет одно решение.
Если, а=0, то -6х+9=0, х=1,5 – корень уравнения.
Если, а≠0, то уравнение квадратное.
Д=36-4*а*9=36-36а. По условию задачи уравнение имеет одно решение,
значит Д=0. 36-36а=0, а=1.
Ответ: при а=0 или а=1.
9. (а+4)х2+6х-1=0
а=? уравнение имеет одно решение.
Если, а+4=0, а=-4, то 6х-1=0, х=1/6 корень уравнения.
Если, а≠4, то уравнение является квадратным.
Д=9+ф+4=13+а. Из условия задачи следует, что Д=0. Значит 13+а=0, а=-13.
Ответ: при а=-4 или а=-13 уравнение имеет одно решение.
10. (а-1)х2+2(а-1)х+а+5=0. Исследовать решение уравнения в зависимости
от а.
Так как уравнение квадратное, то а-1≠0, а≠1.
Д=(а-1)2-(а-1)(а+5)=(а-1)(а-1-а-5)=-6(а-1)
а) Если, Д>0, т.е. -6(а-1)>0, а-1<0, a<1 уравнение имеет 2 различных корня.
б) Если, Д=0, т.е. -6(а-1)=0, а=1 – не удовлетворяет условию.
А=1, х1=х2
в) Если, Д<0, то уравнение не имеет корней.
-6(а-1)<0,
а-1>0?
a>1.
Ответ: при а <1 уравнение имеет 2 различных корня, при а >1 нет корней,
квадратное уравнение равных корней не имеет.
IV.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения
x2+3x+(k2-7k+12)=0 равно нулю?
2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения x2+(k2+4k5)x-k=0 равна нулю?
3. В уравнении х2-4х-а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите а.
4. В уравнении х2-2х-а=0 квадрат разности корней равен 16. Найдите а.
5. При каких значениях а сумма корней уравнения х2-2а(х-1)-1=0 равна
сумме его корней?
6. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x2+(2-m)x-m-3=0 наименьшая?
7. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x2+(m-1)x-m2-1,5=0 наибольшая?
8. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения x2-3|x|+1=0.
9. При каких значениях p и q корни уравнения x2+px+q=0 равны 2p и q/2?
10.При каких значениях параметра а один из корней квадратного
уравнения (а2-5а+3)х2+(3а-1)+2=0 в два раза больше другого?
11.Известно, что корни уравнения х2-5х+а=0 на 1 меньше корней
уравнения х2-7х+3а-6=0. Найдите а и корни каждого уравнения.
12.Известно, что корни уравнения х2-13х+b=0 равны соответственно
квадратам корней уравнения х2+ах+6=0. Найдите a и b и корни каждого
из уравнений.
13.При каких значениях параметра с уравнение 5х2-4х+с=0:
a. Имеет действительные различные корни;
b. Имеет один корень;
c. Не имеет действительных корней;
d. Имеет хотя бы один общий корень с уравнением х2+13х-30=0?
Здесь и далее фраза «квадратное уравнение имеет один корень»
означает наличие у уравнения корня двойной квадратности.
14.При каких значениях параметра b уравнение x2+bx+4=0:
a. Имеет один из корней, равный 3;
b. Имеет действительные различные корни;
c. Имеет один корень;
d. Не имеет действительных корней?
15.При каких значениях параметра b корни уравнения 4x2+(3b2-5|b|+2)x3=0 равны по модулю?
16.Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение
x2-x-k=0 не имеет действительных корней.
17.Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение
х2-2(а+2)х+12+а2=0 имеет два различных действительных корня.
18.При каком значении а уравнение ах2-(а+1)х+2а-1=0 имеет один корень?
19.При каком значении а уравнение (а+2)х2+2(а+2)+2=0 имеет один
корень?
20.При каких значениях а уравнение
(а2-6а+8)х2+(а2-4)х+(10-3а-а2)=0 имеет более двух корней?
21.При каких значениях а уравнение 2х2+х-а=0 имеет хотя бы один общий
корень с уравнением 2х2-7х+6=0?
22.При каких значениях а уравнения
х2+2(а-3)х+(а2-7а+12)=0 и х2+9а2-5а+6)х=0
равносильны?
23.Докажите , что корни уравнения х2+px+q=0, где p и q – нечетные числа,
иррациональны.