Вопросы по аналитической геометрии и линейной алгебре для

ОЧЕНЬ МНОГО ВОПРОСОВ
ПО КУРСУ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ,
ПОЛЕЗНЫХ К РАЗМЫШЛЕНИЮ ПЕРЕД ЭКЗАМЕНОМ
(ОСОБЕННО ДОСРОЧНЫМ). СЕМЕСТР 2.
(и особенно на потоке В.Т.Петровой)
1. Ранг матрицы, определитель матрицы
1. Пусть A  M m n и строки этой матрицы линейно независимы. Следует ли
из этого, что m  n ?
2.
Пусть A  M m  n и строки этой матрицы линейно зависимы. Следует ли
из этого, что m  n ?
3.
Пусть A  M m  n и m  n . Следует ли из этого, что строки этой матрицы
линейно зависимы?
4.
Пусть A  M m  n и m  n . Следует ли из этого, что строки этой матрицы
линейно независимы?
5.
Пусть A M n  и B  M n , и матрицы A и B – невырожденные, Верно ли,
что и матрица A  B – тоже невырожденная?
6.
Пусть A  M n  и B  M n , и матрица A  B – невырожденная, Верно ли,
что и матрицы A и B – тоже невырожденные?
7.
*Пусть A M m  n и B  M n т и матрица AB – невырожденная, Верно
ли, что и матрица BA – тоже невырожденная?
8.
*Пусть A  M m  n и B  M n т и Rang AB  Rang A . Следует ли из этого,
что m  n и матрица B невырожденная?
9.
Пусть строки матрицы A  M m  n линейно зависимы и m  n  1 . Следует
ли из этого, что Rang A  n ?
10. Пусть строки матрицы A  M m  n линейно зависимы и m  n  1 . Следует
ли из этого, что Rang A  n ?
11. Пусть A  M m  n , причем строки матрицы A линейно независимы. Верно
ли, что для любой матрицы B  M m n найдется матрица C , такая, что
AC  B ?
12. Пусть A  M m  n , причем столбцы матрицы A линейно независимы.
Верно ли, что для любой матрицы B  M m n найдется матрица C , такая,
что AC  B ?
13. Пусть A  M m  n , а у матрицы B  M n т линейно независимы строки.
Верно ли, что матрица BA невырожденная?
14. Пусть A  M m  n , а у матрицы B  M n т линейно независимы строки.
Верно ли, что матрица AB невырожденная?
15. *Пусть A M m  n и B  M n т и матрица AB – невырожденная, Верно
ли, что и матрица BA – тоже невырожденная?
16. **Пусть A  M m  n и B  M n т и Rang AB  Rang A . Следует ли из
этого, что m  n и матрица B невырожденная?
17. *Пусть A  M m  n и ее столбцы линейно независимы, а B  M n т .
Верно ли, что в этом случае Rang AB  Rang B ?
18. *Пусть A  M m  n и ее строки линейно независимы, а B  M n т . Верно
ли, что в этом случае Rang BA  Rang B ?
19. *Пусть A, B  M n  и det A  B  0 . Следует ли из этого, что det A  det B ?
20. Пусть A, B  M n  и det A  det B . Следует ли из этого, что det A  B  0 ?
21. Пусть A, B  M n  и det A  det B . Следует ли из этого, что det A  B  0 ?
22. Пусть A, B  M n  и отличаются только порядком строк. Верно ли, что
их определители равны?
23. Пусть A, B  M n  и det B  0 , а det AB  0 . Следует ли из этого, что
матрица A – вырожденная?
24. Пусть A, B  M n  – невырожденные. Следует ли из этого, что det AB  0 ?
25. *Сравните ранги матриц AT A и A , где A  M m  n .
26. **Пусть A  M m  n , верно ли, что квадратная матрица AAТ – всегда
невырожденная?
27. *Сравните ранги матриц AT A и A , где A  M m  n .
2. Системы линейных уравнений
28. Сколько решений может иметь система линейных уравнений Ax  0 , если
столбцы ее матрицы линейно независимы?
29. Сколько решений может иметь система линейных уравнений Ax  0 , если
строки ее матрицы линейно независимы?
30. В каком случае линейная неоднородная система уравнений Ax  b из m
уравнений с n переменными имеет единственное решение?
31. Пусть A  M m  n , b  M m  1 , а система уравнений
единственное решение. Верно ли, что в этом случае m  n ?
Ax  b
имеет
32. Пусть A  M m  n , b  M m  1 , а X – множество решений системы
уравнений Ax  b . Верно ли, что если множество X состоит из конечного
числа элементов, то m  n ?
33. *Пусть A  M m  n , b  M m  1 , а система уравнений Ax  b имеет более
одного решения. Верно ли, что в этом случае m  n ?
34. *Пусть A  M m  n , b  M m  1 , а система уравнений Ax  b имеет более
одного решения. Верно ли, что в этом случае m  n ?
35. *Пусть A  M m  n , b  M m  1 , причем столбцы матрицы A линейно
зависимы. Следует ли из этого, что система уравнений Ax  b имеет более
одного решения?
36. Пусть A  M m  n , b  M m  1 , причем столбцы матрицы A линейно
независимы. Следует ли из этого, что система уравнений Ax  b имеет
более одного решения?
37. Пусть строки матрицы A  M m  n линейно зависимы, а система линейных
уравнений Ax  0 имеет только нулевое решение. Следует ли из этого, что
m  n 1 ?
38. Пусть строки матрицы A  M m  n линейно зависимы, а система линейных
уравнений Ax  0 имеет ненулевое решение. Следует ли из этого, что
m  n 1?
39. Пусть A, B  M m n , а a , b  M m  1 , x M n  1 . Верно ли, что если
система линейных уравнений  A  Bx  a  b несовместна, то хотя бы одна
из систем Ax  a или Bx  b также не имеет решений?
40. Пусть A, B  M m n , а a , b  M m  1 , x M n  1 . Верно ли, что если
система линейных уравнений  A  Bx  a  b совместна, то каждая из
систем Ax  a и Bx  b совместна?
41. Пусть A, B  M m n , а a , b  M m  1 , x M n  1 . Верно ли, что если
системы линейных уравнений Ax  a и Bx  b совместны, то и система
 A
a
  x    совместна?
B
b
42. *Пусть A, B  M m n , а a , b  M m  1 , x M n  1 . Верно ли, что если
 A
a
система линейных уравнений   x    несовместна, то хотя бы одна из
B
b
систем Ax  a или Bx  b также несовместна?
43. **Пусть A, B  M n , а a , x  M n  1 . Верно ли, что если система
линейных уравнений ABx  a несовместна, а система Ax  a совместна, то
существует bM n  1 , при котором система уравнений Bx  b
несовместна?
 1   1   3 
     
44. Могут ли векторы  2  ,  1  , 3  составлять фундаментальную систему
  3   0    6 
     
решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?
 1   1   3   1 
       
 2  ,  1  , 3  , 0 
  3   0    6   1 
       
45. Могут ли векторы
составлять фундаментальную
систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?
 1   1   3 
     
2
1
3
46. Могут ли векторы   ,  ,  составлять фундаментальную систему
  3   0    6 
 1   0   2 
решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?
 0   0   0 
     
1
1
3
47. Могут ли векторы   ,  ,  составлять фундаментальную систему
 2    1   3 
  3   0    6 
решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?
 0   0 
   
1
1
48. Известно, что векторы   ,  составляют фундаментальную система
 2    1 
  3   0 
решений некоторой системы линейных однородных уравнений, верно ли,
что
 0   0 
   
 1   1 
  ,  –
 2   1 
  3    2 
фундаментальная система решений той системы
линейных уравнений?
 0   0 
   
1
1
49. Известно, что векторы   ,  составляют фундаментальную систему
 2    1 
  3   0 
решений некоторой системы линейных однородных уравнений. Верно ли,
 0   0 
   
1
1
что   ,   – фундаментальная система решений той же системы
 2   0 
  3    1 
линейных уравнений?
50. Пусть Ф – матрица фундаментальной системы решений линейной
однородной системы уравнений с n переменными Ax  0 и c – столбец
такой, что произведение Фc определено. Верно ли, что Фc есть также
решение этой системы уравнений?
51. *Пусть Ф – матрица фундаментальной системы решений системы
линейных однородных уравнений. Можно ли через матрицу Ф выразить
любую из матриц ФСР этой системы линейных уравнений?
52. **Пусть Ф – матрица фундаментальной системы решений линейной
однородной системы уравнений Ax  0 . Какова фундаментальная матрица
системы линейных однородных уравнений Фx  0 ?
53. *Пусть Ф – матрица фундаментальной системы решений линейной
однородной системы уравнений Ax  0 . Какова фундаментальная матрица
системы линейных однородных уравнений Ф Т x  0 ?
54. **Пусть Ax  0 – однородная система линейных уравнений, причем число
ее переменных n больше ранга r ее матрицы A . Докажите, что в этом
случае найдется такая фундаментальная матрица ее системы решений Ф ,
что – ФТ Ф  Е , где Е – единичная матрица.
55. *Пусть Ф – матрица фундаментальной системы решений линейной
однородной системы уравнений с n переменными Ax  0 . Определите ранг
 A
.
Т 
Ф 
матрицы 
56. Определите размерность пространства решений системы линейных
уравнений: 2 x 1  x 2  3 x 3  x 4  x 5  0 .
57. Определите размерность пространства решений линейного уравнения:
2 x1  x 2  x 4  x 5  0 .
58. Определите размерность пространства решений системы линейных
уравнений: 0 x 1  0 x 2  0 x 3  0 x 4  0 x 5  0 .
59. Определите размерность пространства решений системы линейных
 2 x1  x 2  3 x 3  x 4  x 5  0
уравнений:  1
.
2
3
4
5
4 x  2 x  6 x  2 x  2 x  0
60. Докажите, что если две совместные системы линейных уравнений
эквивалентны, то их ранги равны.
61. *Докажите «альтернативу Фредгольма»: система линейных уравнений
либо совместна при любом столбце свободных членов, либо ее
сопряженная однородная система линейных уравнений имеет
нетривиальное решение.
62. *Пусть присоединение одного уравнения к системе линейных уравнений
не меняет множества решений. Докажите, что в этом случае
присоединяемое уравнение есть линейная комбинация уравнений
исходной системы уравнений.
63. **Для совместной системы линейных уравнений AX  B составлена
система линейных уравнений: AT AX  AT B . Будет ли она тоже совместна?
64. **Для несовместной системы линейных уравнений AX  B составлена
система линейных уравнений: AT AX  AT B . Будет ли она совместна?
65. **Пусть A  M m  n и B  M n т и система линейных уравнений
ABx  b имеет решение при любом b  M m  1 . Следует ли из этого, что
RangA  m ?
66. **Пусть A  M m  n и B  M n т и система линейных уравнений
BAx  b имеет не более одного решения при каждом b  M n  1 . Следует
ли из этого, что RangB  m ?
67. **Пусть A  M m  n и B  M n т и система линейных уравнений
ABx  b имеет не более одного решения при каждом b  M m  1 . Следует
ли из этого, что RangA  n ?
68. Пусть A, B  M m n и существует такой вектор x  V n , что Ax  0 и
Bx  0 . Верно ли, что из этого следует, что RangA  RangB  n ?
69. Пусть A, B  M m n и существует такой ненулевой вектор x  V n , что
Ax  0 и Bx  0 . Верно ли, что из этого следует, что RangA  RangB  n ?
70. Пусть A, B  M m n и существует такой ненулевой вектор x  V n , что
Ax  0 и Bx  0 . Верно ли, что из этого следует, что RangA  RangB  n ?
 A
71. Пусть A, B  M m n и система линейных уравнений   x  0 имеет
B
только нулевое решение. Следует ли из этого, что RangA  RangB  n ?
72. Пусть A, B  M m n , а x , y  M n  1 – решения систем линейных
уравнений Ax  0 и, соответственно, By  0 , причем любой вектор z  V 2 n
представим в виде z  x  y ,. Следует ли из этого что RangA  RangB ?
73. Запишите решение матричного уравнения AXB  C при условии, что
матрицы A и B квадратные и невырожденные (обратимые).
2. Линейные пространства
74. Докажите, что в линейном пространстве «правый» нейтральный элемент
является и «левым» нейтральным элементом.
75. Докажите, что в линейном пространстве «правый» противоположный
данному элементу является и «левым» элементом, противоположным
данному элементу.
76. Докажите, что в линейном пространстве нейтральный элемент и элемент,
противоположный данному элементу, определяются единственным
образом.
77. Докажите, что множество всех решений системы линейных однородных
уравнений есть линейное пространство.
78. Является ли множество всех решений системы линейных неоднородных
уравнений линейным пространством?
79. *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве,
состоящем из одного элемента?
80. *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве,
состоящем из двух элементов?
81. *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве,
состоящем из конечного числа (более одного) элементов?
82. Докажите, что множество всех матриц одного порядка M m  n с
естественными операциями их сложения и умножения на число есть
линейное пространство.
83. В множестве квадратных матриц третьего порядка рассматривается два
отображения: умножения матриц  : M 3  M 3  M 3 и умножения
вещественного числа на матрицу •:   M 3  M 3 . Определяют ли эти
операции (отображения) на M 3 структуру линейного пространства?
84. Пусть A  M m  n и B  M s  n , пусть L1 – множество решений системы
линейных уравнений Ax  0 , а L2 – множество решений системы линейных
уравнений Bx  0 . Верно ли, что если m  s  n , то L1  L2  Rn ?
85. Пусть A  M m  n и B  M s  n , пусть L1 – множество решений системы
линейных уравнений Ax  0 , а L2 – множество решений системы линейных
уравнений Bx  0 . Верно ли, что если m  s  n , то L1  L2  Rn ?
86. Пусть A  M m  n и B  M s  n , пусть L1 – множество решений системы
линейных уравнений Ax  0 , а L2 – множество решений системы линейных

уравнений Bx  0 . Верно ли, что если m  s  n , то L1  L2  0?
87. Пусть A  M m  n и B  M s  n , пусть L1 – множество решений системы
линейных уравнений Ax  0 , а L2 – множество решений системы линейных

уравнений Bx  0 . Верно ли, что если m  s  n , то L1  L2  0?
88. *Пусть A  M m  n и B  M s  n, пусть L1 – множество решений системы
линейных уравнений Ax  0 , а L2 – множество решений системы линейных
уравнений Bx  0 . Верно ли, что если m  s  n , то существует ненулевое
решение-вектор ~
x  L1  L2 ?
89. *Пусть A  M m  n и B  M s  n, пусть L1 – множество решений системы
линейных уравнений Ax  0 , а L2 – множество решений системы линейных
уравнений Bx  0 . Верно ли, что если m  s  n , то существует ненулевое
решение-вектор ~
x  L1  L2 ?
90. Является ли множество всех функций, непрерывных на заданном отрезке
a , b относительно обычных операций сложения функций и умножения
функции на число линейным пространством?
91. Является ли линейным пространством множество C0aa,b всех функций,
непрерывных на заданном отрезке a , b и таких, что f a   0 для всякой
f  C0aa, b , относительно обычных операций сложения функций и
умножения функции на число?
92. *Является ли линейным пространством множество C0aa,b всех функций,
непрерывных на заданном отрезке a , b и таких, что f a   0 для всякой
f  C0aa, b , относительно обычных операций умножения функций и
умножения функции на число?
93. Является ли линейным пространством множество всех функций,
непрерывных на заданном отрезке a , b с естественными операциями
сложения и умножения на число и таких, что f a   0 ?
94. Является ли линейным пространством множество всех функций,
непрерывных и ограниченных на заданном отрезке a , b относительно
обычных операций сложения функций и умножения функции на число?
95. Является ли линейным пространством множество всех функций,
непрерывных и неограниченных на заданном интервале a , b относительно
обычных операций сложения функций и умножения функции на число?
96. Является ли линейным пространством множество всех функций Da , ,
дифференцируемых на множестве a , относительно обычных операций
сложения функций и умножения функции на число?
97. Докажите, что если система векторов линейного пространства линейно
независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
98. Докажите, что если система векторов линейного пространства содержит
линейно зависимую подсистему векторов, то эта система линейно
зависима.
99. *Докажите, что всякую линейно независимую систему векторов
конечномерного линейного пространства можно дополнить до его базиса.
100. *Докажите, что все базисы конечномерного линейного пространства
состоят из одного и того же количества векторов.
101. Верно ли, что если линейное пространство имеет размерность n , то всякая
его система векторов, содержащая более n векторов, линейно зависима?
102. *Известно, что в линейном пространстве его всякая система векторов,
содержащая более n векторов, линейно зависима. Является ли это
пространство конечномерным? Можно ли определить размерность этого
пространства?
103. Является ли подпространством линейного пространства пересечение двух
его подпространств?
104. Является ли подпространством линейного пространства объединение двух
его любых подпространств?
105. Может ли быть объединение двух подпространств линейного пространства
быть его подпространством?
106. В координатном линейном пространстве K n  M n  1 рассматривается
подмножество всех векторов-столбцов таких, что сумма всех его
элементов – нулевая. Является ли это подмножество подпространством в
линейном пространстве K n ?
107. В координатном линейном пространстве K n =M n  1 рассматривается
подмножество всех векторов-столбцов, у которых имеется сумма двух
элементов равная единице. Является ли это подмножество
подпространством в линейном пространстве K n ?
108. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество всех вырожденных матриц. Является ли
такое подмножество подпространством линейного пространства M n  ?
109. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество GL n  всех невырожденных матриц.
Является ли это подмножество подпространством линейного пространства
M n ?
110. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество S n  всех симметрических матриц.
Является ли это подмножество подпространством линейного пространства
M n ?
111. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество K n  всех кососимметрических матриц.
Является ли K n  подпространством линейного пространства M n  ?
112. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество D n  всех диагональных матриц. Является
ли это подмножество подпространством линейного пространства M n  ?
113. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество всех матриц с нулевой суммой элементов
главной диагонали. Является ли такое подмножество подпространством
линейного пространства M n ?
114. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M n 
рассматривается подмножество всех матриц со всеми нулевыми
элементами главной диагонали. Является ли это подмножество
подпространством линейного пространства M n ?
115. Какова размерность линейного пространства матриц M m  n ?
116. Какова размерность линейного пространства квадратных матриц M n  ?
117. Какова размерность подпространства S n  линейного пространства
квадратных матриц M n , состоящего из всех симметрических матриц?
118. Какова размерность подпространства K n  линейного пространства матриц
M n , состоящего из всех кососимметрических матриц?
119. Докажите, что любое конечное пересечение подпространств линейного
пространства есть его подпространство.
120. Докажите, что сумма подпространств любого линейного пространства есть
его подпространство.
121. Докажите, что линейная оболочка любой конечной системы векторов
линейного пространства есть его подпространство.
 

 

122. Пусть La1 , a2 ,..., ak  – линейная оболочка системы векторов a1 , a2 ,..., ak ,
координаты которых в некотором базисе n -мерного линейного
пространства известны. Как задать это подпространство системой
линейных уравнений?
123. Подпространство конечномерного линейного пространства задано
некоторой системой линейных уравнений. Как найти какой-либо базис
этого подпространства?
124. Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства
задано системой линейных уравнений. Как задать системой линейных
уравнений пересечение этих подпространств?
125. Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства
задано системой линейных уравнений. Как найти базис пересечения этих
подпространств?
126. *Каждое из двух подпространств линейного пространства задано системой
линейных уравнений, как задать системой линейных уравнений сумму
этих подпространств?
127. Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства
задано системой линейных уравнений. Как найти базис суммы этих
подпространств?







128. В линейном пространстве V имеется вектор x  y1  y2  z1  z2 , где
 

 
 
y1 , z1 V1 и y2 , z2 V2 , причем y1  z1 и y2  z2 , где V1 и V2 – подпространства
V . Может ли в этом случае сумма подпространств V1  V2 быть прямой?



 
129. В линейном пространстве V имеется вектор x  y1  y2  z1  z2 , где y1 , z1 V1
 
 
и y2 , z2 V2 , причем y1  z1 , где V1 и V2 – подпространства V . Может ли в
этом случае сумма подпространств V1  V2 быть прямой?
130. Верно ли, что линейное пространство V  V1 V2 , если существует вектор

  


x V такой, что его разложение x  x1  x2 единственно, где x1 V1 , x2 V2 ,
а V1 и V2 – подпространства V ?
131. Верно ли, что если в линейном пространстве V  V1  V2 для одного вектора

  


x V единственно разложение x  x1  x2 такое, что x1 V1 и x2 V2 , где V1 и
V2 – подпространства V , то каждый вектор этого пространства имеет
единственное разложение на векторные слагаемые, принадлежащие
подпространствам V1 и, соответственно, V2 ?
132. В пятимерном линейном пространстве V 5 рассматриваются шесть
различных нетривиальных подпространств. Может ли их сумма быть
прямой?
133. Какое максимальное число подпространств в пятимерном линейном
пространстве V 5 можно выбрать, чтобы их сумма могла быть прямой?
134. В девятимерном линейном пространстве заданы два подпространства
размерности 6 и 5. Каковы наибольшие и наименьшие значения
размерностей суммы и пересечения этих подпространств?
135. *Докажите, что всякое подпространство конечномерного линейного
пространства также конечномерно, причем, если подпространство V1  V ,
то dimV1 ≤ dimV .
136. Докажите, что если размерность подпространства V1
пространства V n равна n , то оно совпадает с V n , т.е. V1  V n .
линейного
137. *В линейном пространстве квадратных матриц M n  рассматривается его
подпространство S n  всех симметрических матриц того же порядка.
Найдите его дополнительное подпространство.
138. *В линейном пространстве квадратных матриц M n  рассматривается его
подпространство K n  всех кососимметрических матриц того же порядка.
Найдите его дополнительное подпространство.
139. *В линейном пространстве квадратных матриц M n  рассматривается его
подпространство всех диагональных матриц D n  того же порядка.
Найдите его дополнительное подпространство.
140. Всякое ли подпространство конечномерного линейного пространства
имеет в нем дополнительное подпространство?
141. **Всякое ли подпространство линейного пространства (не обязательно
конечномерного) имеет в нем дополнительное подпространство?
142. **В линейном пространстве C 0 a, b всех функций, непрерывных на
заданном отрезке a , b с естественными операциями сложения и
умножения на число выделяется подпространство C0aa,b таких функций,
что f a   0 . Можно ли в линейном пространстве C 0 a, b указать его
дополнительное подпространство?
143. **В линейном пространстве C 0 a, b всех функций, непрерывных на
заданном отрезке a , b с естественными операциями сложения и
умножения на число выделяется подпространство C0a ,ba, b таких функций,
что f a   0 и f b  0 . Можно ли в C 0 a, b указать дополнительное
подпространство к C0a ,ba, b?
1 1 1


144. Может ли матрица  1 2 3  быть матрицей перехода от базиса к базису в
 3 4 5


некотором линейном пространстве?
 1 1 1 2


145. Может ли матрица  1 2 3 3  быть матрицей перехода от базиса к базису
3 4 5 7


в некотором линейном пространстве?
1

2
146. Может ли матрица 
3

1

1 1

2 2
быть матрицей перехода от базиса к базису в
4 5

2 1 
некотором линейном пространстве?
147. Если T BB' – матрица перехода от базиса B к базису B' , то как связаны
координаты (координатные столбцы) одного и того же вектора M x и M' x в
этих двух базисах?
148. Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если
матрица перехода T BB' – скалярная?
149. Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если
матрица перехода T BB' – верхняя треугольная?
150. Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если
матрица перехода T BB' – нижняя треугольная?
151. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе
поменять местами первый и второй базисные векторы?
152. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе
сделать циклическую перестановку его векторов?
153. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе
изменить порядок его векторов на противоположный?
154. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если первый вектор
первого базиса умножить на 2?
155. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если к первому
вектору первого базиса прибавить его второй вектор?
156. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе
поменять местами первый и второй базисные векторы?
157. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором
базисе сделать циклическую перестановку его векторов?
158. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором
базисе изменить порядок его векторов на противоположный?
159. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если первый вектор
второго базиса умножить на 2?
160. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если к первому
вектору второго базиса прибавить его второй вектор?
161. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из
базисов изменить порядок его векторов на противоположный?
162. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из
базисов первый вектор умножить на 2?
163. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из
базисов все векторы вектор умножить на 2?
164. Докажите, что для матриц перехода от базиса к базису имеет место
соотношение: T B' B  T BB1 ' .
165. Докажите, что матриц перехода от базиса к базису имеет место
соотношение T BB' T B' B"  T BB" .
166. Докажите, что свойство конечномерных линейных пространств «быть
одинаково ориентированными» есть отношение эквивалентности на
множестве всех конечномерных пространств одинаковых размерностей.
3. Линейные отображения линейных пространств
167. Является ли проектирование (например, ортогональное) линейного
пространства всех свободных (геометрических) векторов V 2 на его
одномерное подпространство (свободных векторов, параллельных
некоторой прямой) V 1 линейным отображением? В случае положительного
ответа укажите его ядро и образ.
168. Докажите, что дифференцирование D  Hom P n t , P n-1 t , где P k t  –
пространство многочленов степени не выше k от переменной t . Найдите
ядро и образ D .
169. Докажите, что интегрирование I  Hom P n-1t , P n t , где P k t  –
пространство многочленов степени не выше k от переменной t , а
t
I  f    f  d . Найдите ядро и образ I .
0
170. Докажите, что если f  HomU ,V  , то f 0  0 .


171. Может ли при гомоморфизме линейных пространств ненулевой вектор
отображаться в нулевой?
172. Может ли при линейном отображении система линейно зависимых
векторов отображаться в линейно независимую систему векторов?
173. Может ли при линейном отображении система линейно независимых
векторов отображаться в линейно зависимую систему векторов?
174. Известно, что некоторая система A векторов линейного пространства U
линейно независима и при линейном отображении f отображается в
линейно независимую систему векторов. Следует ли из этого свойства, что
f – изоморфизм соответствующих линейных пространств?
175. *Докажите, что если линейное пространство U изоморфно линейному
пространству V , то линейное пространство V изоморфно линейному
пространству U .
176. *Докажите, что если линейное пространство U изоморфно линейному
пространству V , а линейное пространство V изоморфно линейному
пространству W , то линейное пространство U изоморфно линейному
пространству W .
177. * f  HomU ,V  , верно ли, что f U' U"  f U'   f U", если U' и U" –
подпространства линейного пространства U ?
178. f  HomU ,V  , верно ли, что f U' U"  f U'   f U" , если U' и U" –
подпространства линейного пространства U ?
179. f  HomU ,V  , верно ли, что f U' U"  f U'   f U" , если U' и U" –
подпространства линейного пространства U ?
180. * f  HomU ,V  , верно ли, что f U' U"  f U'   f U" , если U' и U" –
подпространства линейного пространства U ?
181. f  HomU ,V  , верно ли, что f U' U"  f U'   f U", если U' и U" –
подпространства линейного пространства U ?
182. f  HomU ,V  , верно ли, что f U' U"  f U'   f U" , если U' и U" –
подпространства линейного пространства U ?

183. Для

prV 1  Hom V 2 ,V 1 ортогонального
проектирования
линейного
пространства всех свободных (геометрических) векторов V 2 на его
одномерное подпространство V 1 (свободных векторов, параллельных
некоторой прямой) укажите ядро и образ.
184. Для sV  HomV 2 ,V 2  симметрии (отражения) линейного пространства всех
свободных (геометрических) векторов относительно его одномерного
подпространства V 2 (свободных векторов, параллельных некоторой
прямой) укажите ядро и образ.
1
185. Докажите, что для любого f  HomU ,V  множество Kerf
подпространством линейного пространства U .
является
186. Докажите, что для любого f  HomU ,V  множество Im f
подпространством линейного пространства V .
является
187. Докажите, что отображение f  HomU ,V  , f инъективно тогда и только

тогда, когда Kerf  0.
188. . f  Hom U 4 ,V 4  и имеет нулевое ядро. Означает ли это, что
сюръективность f ?
189. Докажите, что отображение f  HomU ,V  есть изоморфизм линейных

пространства тогда и только тогда, когда Im f  V , а Kerf  0.
190. *Как связаны ранг и дефект линейного отображения и свойство
сюръективности этого отображения?
191. *Как связаны ранг и дефект линейного отображения и свойство
инъективности этого отображения?
192. f  Hom U m ,V n , сравните размерности: dim Kerf с размерностями
пространств m и n .
193. f  Hom U m ,V n , сравните размерности: dim Im f с размерностями
пространств m и n .
194. * f  Hom U n ,V n  и является изоморфизмом этих линейных пространств,
укажите Rang f и def f .
195. *Определите условия, когда f  Hom U n ,V m  имеет обратное отображение.
196. *Докажите, что для f  Izom U n ,V n  существует обратное отображение,
причем f 1  Izom V n ,U n 
197. *Докажите, что свойство линейных пространств «быть изоморфными»
есть отношение эквивалентности на множестве всех линейных
пространств.
198. Известно, что ранг матрицы M f линейного отображения f  Hom U 4 ,V 5 
равен 3. Можно ли определить размерность ядра этого отображения?
199. f  Hom U 4 ,V 4  и имеет нулевое ядро. Следует ли из этого, что
отображение f является изоморфизмом этих пространств?
200. f  Hom U 4 ,V 5  и имеет нулевое ядро. Является ли отображение f
сюръективным?
201. f  Hom U 4 ,V 5  и Rangf  4 . Является ли отображение f инъективным?
202. f  Hom U 4 ,V 4  и Rangf  4 . Означает ли это инъективность отображения
f ?
203. f  Hom U 4 ,V 4  и Rangf  4 . Следует ли из этого, что отображение f
является изоморфизмом этих пространств?
1 1 1


204. Может ли матрица  1 2 3  быть матрицей изоморфизма каких-либо
 3 4 5


линейных пространств?
205. Может ли матрица
 1 1


 2 1
 3 1


быть матрицей изоморфизма каких-либо
линейных пространств?
 1 1 1 2


206. Может ли матрица  1 2 3 3  быть матрицей изоморфизма каких-либо
3 4 5 7


линейных пространств?
207. Докажите, что если f  Hom U m ,V n  ненулевое отображение, то
существуют базисы B  U m и C  V n , относительно которых матрица M f
E
0
имеет вид 
0
 , где E – единичная матрица порядка не выше n .
0 
208. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе B поменять местами первый и второй векторы?
209. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе B изменить порядок векторов на противоположный?
210. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе C поменять местами первый и второй векторы?
211. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в каждом из базисов поменять местами первые и вторые векторы?
212. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе C изменить порядок его векторов на противоположный?
213. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в каждом из базисов B и C изменить порядок его векторов на
противоположный?
214. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе B первый вектор умножить на 2?
215. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе C первый вектор умножить на 2?
216. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в каждом из базисов первые векторы умножить на 2?
217. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
все векторы базисов B и C умножить на 2?
218. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
все векторы базиса B умножить на 2, а все векторы базиса C поделить на
2?
219. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
все векторы базиса B умножить на 2, а все векторы базиса C умножить на
4?
220. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе B к первому базисному вектору прибавить второй базисный
вектор?
221. f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в базисе C к первому базисному вектору прибавить второй базисный
вектор?
222. * f  Hom U n ,V m , как изменится матрица гомоморфизма f относительно
базисов B и C в линейных пространствах U n и, соответственно, V m , если
в каждом из базисов B и C к первому базисному вектору прибавить второй
базисный вектор этого базиса?
223. Докажите, что f ⊞ g  HomU ,V  , если отображения
f , g  Hom U ,V  , а
f ⊞ g – их сумма, т.е. ( f ⊞ g ) x   f  x   g x  для любого x  U .
224. Докажите, что если отображение f  HomU ,V  , то  ⊡ g  HomU ,V  при
любом   R , где (  ⊡ g ) x     g x  для любого x  U .
225. *Докажите, что Hom U ,V  является линейным пространством относительно
естественных операций сложения и гомоморфизмов и умножения их на
число (см. задачи 218 и 217).
4. Эндоморфизмы линейных пространств
226. Докажите, что если отображения f , g  End V  , то f  g  End V  .
227. **Докажите, что End V  является линейной алгеброй относительно
естественных операций сложения эндоморфизмов, умножения их на
скаляр и умножения эндоморфизмов.

228. Докажите, что для фиксированного (свободного) вектора a  V 3 и такого,

 
 
 
что a  0 отображение f  End V 3  , если , f  x   a , x , где a , x – векторное
произведение. Найдите ядро и образ f . Определите, сюръективно ли это
отображение? Инъективно? Является ли f автоморфизмом V 3 ?
229. *Является
ли
дифференцирование
эндоморфизмом
линейного
пространства всех дифференцируемых функций на отрезке a , b? В случае
положительного ответа укажите его ядро и образ.
230. *Является
ли
дифференцирование
эндоморфизмом
линейного
пространства всех многочленов? В случае положительного ответа укажите
его ядро и образ.
231. *Является ли дифференцирование D эндоморфизмом линейного
пространства линейного пространства C a ,b дифференцируемых функций
на отрезке a , b? В случае положительного ответа укажите его ядро и
образ.
232. Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех
многочленов? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.
233. Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех
многочленов степени не выше n ? В случае положительного ответа
укажите его ядро и образ.
234. *Является ли интегрирование I эндоморфизмом линейного пространства
F a ,b интегрируемых по Риману функций на отрезке a , b, где
t
I  f    f  d , t  a , b. В случае положительного ответа укажите его ядро и
a
образ.



235. Для фиксированного (свободного) вектора a  V 3 и такого, что a  0

 
 
отображение f  x   a , x (где a , x – векторное произведение) f  End V 3  .
Mf
Найдите
матрицу
этого
отображения
относительно
  

ортонормированного базиса i , j , k , если в этом базисе вектор a имеет

координаты a 1 , a 2 , a 3

236. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше n в
стандартном базисе в этом линейном пространстве?
237. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше n в
базисе B  1, t ,
t2 t3
tn
этого линейного пространства?
, ,...,
2! 3!
n!
238. *Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше n в
базисе B  1, t  t0 , t  t0 2 , ... t  t0 n этого линейного пространства?
239. Является ли проектирование prV линейного пространства всех свободных
1
(геометрических) векторов V 2 на его одномерное подпространство V 1
(свободных векторов, параллельных некоторой прямой) эндоморфизмом
(автоморфизмом) этого пространства?
240. Является ли проектирование prV линейного пространства всех свободных
1
(геометрических) векторов V на его одномерное подпространство V 1
(свободных векторов, параллельных некоторой прямой) автоморфизмом
пространства V 2 (обратимым эндоморфизмом)?
2
241. Является ли симметрия (отражение) sV
1
линейного пространства всех
свободных (геометрических) векторов V 2 относительно его одномерного
подпространства V 1 (свободных векторов, параллельных некоторой
прямой) эндоморфизмом V 2 ? Автоморфизмом V 2
(обратимым
эндоморфизмом)?
242. Является ли симметрия (отражение) sV
1
линейного пространства всех
свободных (геометрических) векторов V 2 относительно его одномерного
подпространства V 1 (векторной прямой) автоморфизмом V 2 ?
243. Является ли поворот r  линейного пространства всех свободных
(геометрических) векторов V 2 на угол   2k , k  Z эндоморфизмом
(автоморфизмом) пространства V 2 ?
244. *Является ли проектирование prV в линейном пространстве V n  V 1  V n 1
на плоскость V n 1 параллельно векторной прямой V 1 эндоморфизмом? В
случае положительного ответа укажите его ядро и образ.
n 1
245. *Является ли проектирование prV в линейном пространстве V n  V 1  V n 1
на плоскость V n 1 параллельно векторной прямой V 1 автоморфизмом V n
(обратимым эндоморфизмом)?
n 1
246. *Является ли симметрия (отражение) sV относительно подпространства
V n1 в линейном пространстве V n  V 1  V n 1 эндоморфизмом (т.е. любому


  
вектору x  x1  x , где x1 V 1 , а x   V n 1 сопоставляется вектор

 
s x    x1  x )? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.
n 1
247. * f  End V , верно ли, что f V' V"  f V'   f V" , если
подпространства линейного пространства V ?
V' и
V" –
248. f  End V , верно ли, что f V' V"  f V'   f V",
подпространства линейного пространства V ?
если
V' и
V" –
249. f  End V , верно ли, что f V' V"  f V'   f V" ,
подпространства линейного пространства V ?
если
V' и
V" –
250. * f  End V , верно ли, что f V' V"  f V'   f V", если V' и V" –
подпространства линейного пространства V ?
251. f  End V , верно ли, что f V' V"  f V'   f V",
подпространства линейного пространства V ?
если
V' и
V" –
252. f  End V , верно ли, что f V' V"  f V'   f V" , если
подпространства линейного пространства V ?
V' и
V" –
253. Докажите, что, если f  End V  , то ядро эндоморфизма
подпространство, инвариантное относительно f .
Ker f
–
254. Докажите, что, если f  End V  , то образ эндоморфизма Im f –
подпространство, инвариантное относительно f .
255. Верно ли, что для любого f  End V  любое подпространство Kerf
инвариантно?
256. Верно ли, что для любого f  End V  любое подпространство линейного
пространства V , содержащее Im f инвариантно?
257. **Для произвольного f  End V  какое из утверждений верно:
Kerf 2  Kerf , Kerf 2  Kerf или Kerf 2  Kerf ?
произвольного
f  End V  какое
2
Im f  Im f , Im f  Im f или Im f 2  Im f ?
258. **Для
из
утверждений
верно:
2
259. **Верно ли, что равенство V  Kerf  Im f имеет место для любого
f  End V  ( V n – произвольное конечномерное линейное пространство)?
260. **Верно ли, что равенство V n  Kerf  Imf имеет место для любого
f  End V n  ( V – произвольное линейное пространство)?
261. *Может ли для эндоморфизма f  End V  выполняться Kerf  Im f  0?
262. **Пусть f  End V n . Докажите, что V n  Kerf  Im f тогда и только тогда,
когда Kerf 2  Kerf .

263. * f  EndV n  , как изменится матрица M f этого линейного оператора,
если в базисе B , относительно которого она задана, изменить порядок
векторов на противоположный?
264. * f  EndV n  , как изменится матрица M f этого линейного оператора,
если каждый вектор базиса B , относительно которого она задана,
умножить на число   0 ?
265. Матрица M f линейного оператора f  End V n  скалярная в некотором
базисе B . Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом
базисе этого пространства?
266. Матрица M f линейного оператора f  End V n  диагональная в некотором
базисе B . Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом
базисе этого пространства?
267. Матрица M f линейного оператора f  End V n  симметрическая в
некотором базисе B . Будет ли она обладать таким же свойством в любом
другом базисе этого пространства?
268. Матрица M f линейного оператора f  EndV n  кососимметрическая в
некотором базисе B . Будет ли она обладать таким же свойством в любом
другом базисе этого пространства?
269. Пусть f  End V n  и V n  Kerf  Im f . Какова матрица M f в базисе этого
пространства
B  e1 , e2 ...en ,
ek 1 , ek  2 ,..., en   Im f ?
если
векторы
e1 , e2 ,..., ek   Kerf ,
а
270. **Пусть f  End V n  и Kerf  Im f  0. Существует ли базис в V n ,
относительно которого матрица M f диагональная?

271. *Является ли невырожденным (обратимым) эндоморфизм I линейного
пространства F a , b интегрируемых по Риману функций на отрезке a , b,
t
где I  f    f  d , t  a , b?
a
272. Укажите все собственные подпространства эндоморфизма   End ( M n  ) ,
если  M   M Т (отображение сопоставляет любой матрице ее
транспонированную матрицу).
273. * f  End ( V ) и обратим, т.е. существует
эндоморфизмом линейного пространства V ?
f 1 .
Является
ли
f 1
274. Докажите, что если f  End V  и подпространства V1  V и V2  V
инвариантны относительно f , то подпространство V1 V2 также
инвариантно относительно f .
275. Докажите, что если f  End V  и подпространства V1  V и V2  V
инвариантны относительно f , то подпространство V1  V2 также
инвариантно относительно f .
276. * f  Aut ( V ) (т.е. f  End V n  и существует f 1  End V  ). Верно ли, что если
f ,
подпространство V , инвариантное относительно
то
V–
1
подпространство V  инвариантно относительно f ?
277. *Верно ли, что, если f  Aut V  , то f и f 1 имеют одни и те же
инвариантные подпространства в линейном пространстве V ?
278. Как меняется с изменением базиса линейного пространства V n
характеристический многочлен  f   и характеристическое уравнение
 f    0 эндоморфизма f  End V n ?
279. Как изменяются собственные значения f  End V n  с изменением базиса в
линейном пространстве V n ?
280. Докажите, что f  End V n  может иметь не более n собственных значений.
281. Может ли автоморфизм f  Aut V  иметь нулевое собственное значение?
282. f  End V  и имеет одно из собственных значений, равное 0 . Может ли
этот эндоморфизм быть автоморфизмом линейного пространства V ?
283. ** f  End V n , где V n – конечномерное вещественное линейное
пространство, причем f удовлетворяет условию f 2  5 f  6e   , т.е. для



 
f 2  x   5 f  x   6 x  0 . Определите его
любого x V n выполняется
собственные значения.
284. ** f  Aut V n , где V n – конечномерное вещественное линейное
пространство, причем f удовлетворяет условию f 2  5 f  6e   , т.е. для



 
f 2  x   5 f  x   6 x  0 . Определите его
любого x V n выполняется
собственные значения.
285. *Может ли быть сумма двух собственных векторов f  End V  с
различными собственными значениями быть собственным вектором того
же эндоморфизма?


286. Пусть векторы x1 и x2 – собственные f  End V  с собственными
значениями 1 и, соответственно,  2 . Могут ли быть коллинеарными


векторы x1 и x2 , если 1  2 ?
287. Какие собственные векторы имеет линейный эндоморфизм f  End V 2 ,
 1 1
 ?
если относительно некоторого базиса матрица M f  
 0 1
288. *Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все
собственные значения, равными 0 . Означает ли это, что он является
нулевым эндоморфизмом, т.е. f x   0 для любого x V ?
289. *Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все
собственные значения, равные 1. Означает ли это, что он является
тождественным эндоморфизмом, т.е. f  x   x для любого x V ?
290. Докажите, что собственные векторы эндоморфизма f  End V 
различными собственными значениями линейно независимы.
с
291. f  End V n  имеет n различных собственных значений. Докажите, что из
собственных векторов с этими собственными значениями составить базис
V n . Какова в этом базисе матрица эндоморфизма M f ?
292. Может ли эндоморфизм линейного пространства иметь единственный
собственный вектор?
293. Верно ли, что всякий эндоморфизм вещественного линейного
пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)?
294. Верно ли, что всякий эндоморфизм комплексного линейного пространства
обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)?
295. Какова должна быть размерность конечномерного вещественного
линейного пространства, чтобы любой его эндоморфизм имел бы, по
крайней мере, один собственный вектор?
296. Укажите возможное наибольшее число собственных значений линейного
оператора f  End V n ?
297. Укажите возможное наибольшее и наименьшее число линейно
независимых собственных векторов линейного оператора f  End V n ?
298. Укажите возможное наибольшее и наименьшее число линейно
независимых собственных направлений линейного оператора f  End V n ?
299. Пусть f  End V n , а 1 и  2 – его различные собственные значения.
Докажите, что Ker f  1e   Im f  2e  .
300. Существует ли f  End V n , где V n – вещественное линейное пространство,
для которого нет базиса, в котором его матрица была бы диагональной?
301. Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства V n ,
инвариантного относительно f  End V n , имеется хотя бы один
собственный вектор?
302. Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства V n ,
инвариантного относительно f  Aut V n , имеется хотя бы один
собственный вектор?
303. Докажите, что f  End V n  является автоморфизмом V n тогда и только
тогда, когда характеристическое уравнение  f    0 не имеет нулевых
корней.
304. **Верно ли, что, если линейное пространство V есть прямая сумма своих
подпространств V  V1 V2
и подпространство V1
инвариантно
относительно эндоморфизма f  End V  , то подпространство V2 также
инвариантно относительно f ?
305. *Верно ли, что, если линейное пространство V n есть прямая сумма своих
подпространств V n  V1  V2 и подпространство V1 инвариантно
относительно эндоморфизма f  End V  , то подпространство V2 также
инвариантно относительно f ?
0 1
 . Найдите Kerf и Im f .
306. f  End V 2  с матрицей M f  
 0 0
307. *Пусть f  End V n  и в некотором базисе V n матрица M f диагональная.
Верно ли, что в любом подпространстве V '  V n , инвариантном
относительно f , найдется базис, относительно которого ограничение f на
подпространство V' имеет диагональную матрицу?
308. *Докажите, что, если для f  End V n  в некотором базисе матрица M f
диагональная, то Im f есть линейная оболочка всех собственных векторов
с ненулевыми собственными значениями и V n  Kerf  Im f .
309. *Верно ли, что, если f  End V n  и имеет место V n  Kerf  Im f , то
найдется базис из собственных векторов f , в котором матрица
эндоморфизма M f диагональная?
310. f  End V
3
 с матрицей
311. f  End V 3  с матрицей
312. f  End V 3  с матрицей
 0 0 0


M f   0 1 1  . Найдите
0 0 1


0 0 0


M f   0 0 1  . Найдите
0 0 1


0 0 0


M f   0 1 1  . Найдите
0 1 1


n
Vn–
 End V , где
Kerf и Im f .
Kerf и Im f .
Kerf и Im f .
 
313. *Существует ли
вещественное линейное
f
пространство, в котором не существует базиса, относительно которого его
матрица была бы диагональной?
314. prl  End V 3  и является ортогональным проектированием векторов
линейного пространства V 3 на векторную прямую l , заданную
уравнениями: x  y  z относительно некоторого ортонормированного
базиса.
Найдите
его
матрицу
ортонормированного базиса
M prl
относительно некоторого
  
i , j , k . Существует ли базис, в котором
матрица prl диагональная?
315. prl  End V 3 
и является ортогональным проектированием
векторов
линейного пространства V 3 на векторную прямую l , заданную
уравнениями: x  y  z относительно некоторого ортонормированного
базиса. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и
собственные подпространства prl .
316. pr  End V 3  и является ортогональным проектированием векторов
линейного пространства V 3 на подпространство  , заданное уравнением:
  
x  y  z  0 относительно некоторого ортонормированного базиса i , j , k .
Найдите его матрицу M pr относительно этого базиса. Существует ли
базис, в котором матрица pr диагональная?

317. pr  End V 3  и является ортогональным проектированием векторов
линейного пространства V 3 на подпространство  , заданное уравнением:
  
x  y  z  0 относительно некоторого ортонормированного базиса i , j , k .
Найдите все его собственные значения, собственные векторы
собственные подпространства.
318. * r  End V 3  и является поворотом на угол

3
и
векторов линейного
пространства V 3 вокруг векторной прямой l , заданной уравнениями:
  
x  y  z относительно некоторого ортонормированного базиса i , j , k .
Найдите его матрицу Mr относительно этого базиса. Существует ли базис,
в котором матрица отображения r диагональная?
319. * r  End V 3  и является поворотом векторов линейного пространства V 3
на угол

вокруг векторной прямой l , заданной уравнениями: x  y  z
3
  
относительно некоторого ортонормированного базиса i , j , k . Найдите все
его собственные значения,
подпространства r .
собственные
векторы
и
собственные
320. * r  End V 3  и является поворотом векторов линейного пространства V 3 на
угол

2
вокруг векторной прямой l , заданной уравнениями: x  y  z
  
относительно некоторого ортонормированного базиса i , j , k . Найдите его
матрицу Mr относительно этого базиса. Существует ли базис, в котором
матрица r диагональная?
321. * r  End V 3  и является поворотом векторов линейного пространства V 3 на
угол

2
вокруг векторной прямой, заданной уравнениями:
x yz
  
относительно некоторого ортонормированного базиса i , j , k . Найдите все
его собственные значения,
подпространства r .
собственные
векторы
и
собственные
322. * f  End V 3  и f  x   a , b , x , где a , b , x V 3 , а x , y  – векторное
произведение. Определите, является ли f автоморфизмом линейного
пространства V 3 .

 
 
 
323. * f  End V 3  и f  x   a , b , x , где a , b , x V 3 , а x , y  – векторное
  
произведение. Найдите матрицу M f относительно базиса i , j , k .

 
 
 
Существует ли базис, в котором матрица этого отображения
диагональная?
r
324. * f  End V 3  и f  x   a , b , x , где a , b , x V 3 , а x , y  – векторное
произведение.
Найдите
собственные
векторы
и
собственные
подпространства f .
325. Какие собственные векторы имеет f  End V 2 , если относительно

 
 
 
 1 1
 ?
некоторого базиса его матрица M f  
 0 1
326. *Пусть f  End V , где V – вещественное линейное пространство. Верно ли,
что в любом его подпространстве, инвариантном относительно f , этот
оператор имеет собственный вектор?
327. Пусть f  End V n , где V n – конечномерное вещественное линейное
пространство. Верно ли, что в любом его подпространстве, инвариантном
относительно f , этот оператор всегда имеет собственный вектор?
328. Пусть f  End V n , где V n – конечномерное вещественное линейное
пространство. Верно ли, что в любом подпространстве V n нечетной
размерности, инвариантном относительно f , этот оператор всегда имеет
собственный вектор?

329. f  End ( V ) . Верно ли, что если f имеет собственным вектором x , то он
является собственным вектором линейного оператора f 2  f  f ?

330. f  Aut ( V ) . Верно ли, что если f имеет собственным вектором вектор x ,
то этот вектор – собственный вектор линейного оператора f 1 ?

331. f  Aut ( V ) . Верно ли, что если вектор x – собственный вектор f 1 , то этот
вектор – собственный вектор и для линейного оператора f ?
332. * f , g  End V n  и относительно некоторого базиса V n имеют матрицы M f
и, соответственно, M g . Верно ли, что характеристические многочлены
эндоморфизмов f  g и g  f совпадают?
333. * f , g  End V n  и относительно некоторого базиса V n имеют матрицы M f
и, соответственно, M g . Верно ли, что, если один из операторов
det M f  0 ,
невырожденный
(автоморфизм),
например,
то
характеристические многочлены эндоморфизмов f  g и g  f совпадают?


334. Пусть f  End V  , и имеет собственный вектор x , V' – дополнительное к x
подпространство V . Является ли V' инвариантным подпространством
относительно f ?
5. Линейные формы на линейных пространствах
335. Линейное пространство V четырехмерно, какова размерность его
сопряженного (двойственного) пространства V  ?
336. Пусть P n t  – линейное пространство многочленов от одной переменной
степени не выше n , а P n t  – его сопряженное пространство, t0  R .
Отображение f : P n t   R сопоставляет каждому многочлену pt  его
значение в точке t 0 . Линейно ли это отображение?
337. *Пусть t1 , t 2 ,..., t n , t n1 – попарно различные точки вещественной прямой,
P n t  – линейное пространство многочленов от одной переменной степени
не выше n , а P n t  – его сопряженное линейное пространство.  i  P n t  ,
i  0 ,1,2 ,..., n , причем для любого многочлена pt  P k t , по определению,
 i  p( t )  p( t i ) . Образуют ли линейные формы  0 , 1 , 2 ,..., n базис в
пространстве P n t  ?

338. *Докажите, что для фиксированного (свободного) вектора a  V 3 и

 

 
 
такого, что a  0 отображение f  V 3 , если f x   a , x  , где a , x  –
скалярное произведение. Найдите матрицу этого отображения M f
относительно ортонормированного базиса
вектор a имеет координаты a1 , a 2 , a 3 
  
i , j , k , если в этом базисе

339. *В координатном линейном пространстве K 3  M 3 1
B
1 1 1
0,1,1, .
0 0 1
Найдите двойственный ему базис в
пространстве K 3  .
задан базис
сопряженном
340. **В координатном линейном пространстве K 4  M 4 1 задан базис
B
1 2 2
0 1 2
, ,
0 0 1
0 0 0
,
1
2
2
1
, . Найдите двойственный ему базис в сопряженном
пространстве K 4 .
341. **Пусть B и B' – базисы линейного пространства V n с матрицей перехода
T B , B' , а B* и B'* – двойственные им базисы сопряженного пространства
*
V n . Найдите матрицу перехода T B* , B' * .
342. **Линейная форма  задана на P n t  так, что   pt   p0 , разложите
линейную форму  в линейную комбинацию форм  1 , 2 , 3  , где
 i  pt   pi  , где i  1,2 ,3.
6. Билинейные и квадратичные формы на линейных пространствах
343. Является ли билинейной формой отображение g : C a ,b   C a ,b   R такое, что
b
g  x, y    x t yt dt , где C a ,b  – множество всех непрерывных функций на
a
отрезке a , b?
344. Является ли билинейной формой отображение g : I a ,b   I a ,b   R такое, что
b
g  x, y    x t y t dt , где I a ,b  – множество всех функций, интегрируемых на
a
отрезке a , b?
345. Билинейная форма b x , y  задана на линейном пространстве V .
Определите, является ли подпространством этого линейного пространства

множество его векторов C0  x | y V  b x , y   0.
346. Билинейная форма b x , y  задана на линейном пространстве V n .
Определите, является ли подпространством этого линейного пространства
 
 
множество его векторов V0  x , y | b x , y   0.
347. *Билинейная форма b x , y  задана на линейном пространстве V n .
 
 
Определите наибольшую размерность подпространства V0  x , y | b x , y   0
этого линейного пространства.
 
348. Может ли одна и та же квадратичная форма b x, y  порождаться разными
билинейными формами?
 
349. Может ли одна и та же квадратичная форма b x, y  порождаться разными
симметрическими билинейными формами?
350. Можно ли по квадратичной форме восстановить порождающую ее
билинейную форму? Восстановить порождающую ее симметрическую
билинейную форму?
351. Докажите, что билинейную форму на конечномерном линейном
пространстве V n можно привести к диагональному виду, если она
симметричная.
352. *Докажите, что билинейную форму на конечномерном линейном
пространстве V n нельзя привести к диагональному виду, если она
несимметричная.
353. Верно ли, что квадратичная форма положительно определена на
конечномерном линейном пространстве V n тогда и только тогда, когда ее
значения на базисных векторах любого базиса этого пространства
положительны?
354. Пусть  f, g  V  – линейные формы на линейном пространстве V  .
 
 
 
 
Определим hx , y   f  x g y  для любых x , y  V . Докажите, что hx , y  –
билинейная форма на V .
355. Пусть  f, g  V  – линейные формы на линейном пространстве V .
 
 
 
Определим hx , y   f  x g y  для любых x , y  V . Определите условия, при
которых эта билинейная форма симметрична.
356. *Пусть  f, g  V n – линейные формы на линейном пространстве V n с
матрицами M f и, соответственно, M g относительно некоторого базиса в
V n . Относительно этого же базиса найдите матрицу M h билинейной
 
 
 
 
формы hx , y  , где hx , y   f x g y  для любых x , y  V .
357. Пусть  f, g  V n – линейные формы на линейном пространстве V n с
матрицами M f и, соответственно, M g . некоторого базиса в V n .
 
 
Определите условия, при которых билинейная форма где hx , y   f  x g y 
 
симметрична. для любых x , y  V .
358. *Определим сумму билинейных форм и произведение скаляра на
 
  R1 ,
x, y  V ,
билинейную
форму,
положив
для
любых
b  hx, y   bx, y   hx, y  и   bx,y     bx,y  . Является ли множество
всех билинейных форм B V  на линейном пространстве V с такими
операциями линейным пространством?
 
359. *Каждой билинейной форме b x, y  на линейном пространстве V n , B
сопоставляется ее матрица относительно некоторого базиса B  V n . Таким
образом определено отображение M : B V n   M n  . Докажите, что это
отображение биективно.
 
360. *Каждой билинейной форме b x, y  на конечномерном линейном
пространстве V n , B сопоставляется ее матрица относительно базиса
 
B  V n , и таким образом определено отображение M : B V n  M n  .
Является ли отображение M изоморфизмом линейных пространств B V n  и
M n ?
361. *Матрица M b билинейной формы b на некотором линейном пространстве
V n симметрическая в некотором базисе B . Будет ли она обладать таким же
свойством в другом базисе этого линейного пространства?
362. Изменится ли матрица билинейной формы на двумерном линейном
 
пространстве, если от базиса B  e1 , e2 этого пространства перейти к
 
другому его базису B'  e2' , e1' с матрицей перехода T BB' ?
 
363. Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы b x, y  ,
определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе
  
B  e1 , e2 , e3 поменять местами первых два вектора?
 
364. Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы b x, y  ,
определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе
  
B  e1 , e2 , e3 поменять местами первый и последний векторы?
 
365. Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы b x, y  ,
определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе
  
B  e1 , e2 , e3 первый вектор умножить на 2?
366. Как изменяется матрица билинейной формы, определенной на
конечномерном линейном пространстве, если от его базиса B перейти к
другому его базису B' с матрицей перехода T BB' ?
 
367. Изменяется ли и как именно ранг билинейной формы b x, y  при замене
базиса линейного пространства, на котором она определена?
 
368. *Как изменится матрица билинейной формы b x, y  , определенной на
конечномерном линейном пространстве, если в его базисе сделать
циклическую перестановку векторов?
 
369. *Как изменится матрица билинейной формы b x, y  , определенной на
конечномерном линейном пространстве, если все векторы его базиса
умножить на число   0 ?
 
370. Билинейная форма b x, y  на конечномерном линейном пространстве имеет
в некотором базисе своей матрицей M b диагональную матрицу. Верно ли,
что в любом другом базисе ее матрица также диагональная?
 
371. Билинейная форма b x, y  на конечномерном линейном пространстве имеет
в некотором базисе своей матрицей M b диагональную матрицу. Верно ли,
что в любом другом базисе ее матрица симметрическая?
 
372. Билинейная форма b x, y  на конечномерном линейном пространстве
такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы
положительные. Является ли эта квадратичная форма положительно
определенной на этом пространстве?
 
373. Билинейная форма b x, y  на конечномерном линейном пространстве
такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы
неотрицательные. Является ли эта квадратичная форма положительно
определенной на этом пространстве?
 
374. Билинейная форма b x, y  на конечномерном линейном пространстве
такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы
отрицательные. Является ли эта квадратичная форма отрицательно
определенной на этом пространстве?

375. Изменится ли и каким образом матрица квадратичной формы k  x  ,
определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе
поменять местами первый и последний векторы?
376. Как изменяется матрица квадратичной формы, определенной на
конечномерном линейном пространстве, если от его базиса B а перейти к
другому его базису B' с матрицей перехода T BB' ?

377. Как изменится матрица квадратичной формы k  x  , определенной на
конечномерном линейном пространстве, если в его базисе сделать
циклическую перестановку векторов?
378. Определите положительный индекс инерции квадратичной формы:
2
2
2

k  x   x 1   2 x 1 x 2   x 2    x 3  ?
379. Определите положительный индекс инерции квадратичной формы:
2
2
2

k  x    x 1   2 x 1 x 2  x 2   x 3  ?
380. Определите, является ли положительно определенной на линейном
2
2
2

пространстве V 3 квадратичная форма k  x   x1   2 x1 x 2  x 2   x 3  ?
381. Определите, является ли положительно определенной на линейном
2
2
2

пространстве V 3 квадратичная форма k  x   x 1   2 x 1 x 2  x 2   x 3  ?
382. Определите, является ли положительно определенной на линейном
2
2
2

пространстве V n квадратичная форма k  x   x 1   2 x 1 x 2  x 2   x 3  ?
383. Определите, является ли отрицательно определенной на трехмерном
2
2
2

линейном пространстве квадратичная форма k  x   x 1   2 x 1 x 2  x 2   x 3  ?
384. Определите, является ли отрицательно определенной на линейном
2
2
2

пространстве V 3 квадратичная форма k  x   x 1   2 x 1 x 2  x 2   x 3  ?
385. Определите, является ли отрицательно определенной на линейном
2
2
2

пространстве V 3 квадратичная форма k  x   x 1   2 x 1 x 2  x 2   x 3  ?
386. *Квадратичная форма на конечномерном вещественном n -мерном
линейном
пространстве
задана
в
нормальном
виде:

1 2
2 2
p 2
p 1 2
pq 2
k  x   x   x   ...  x   x   ...  x  , причем p  q . Определите

наибольшую размерность подпространства V '  V n , на котором k x 
тождественно равна 0 .

387. **Квадратичная форма k x  на линейном пространстве V n положительно
определена и относительно некоторого базиса B  V n имеет матрицей

матрицу M k . Верно ли, что квадратичная форма k̂  x  с матрицей Mk̂  Mk1
относительно этого же базиса тоже положительно определена?

388. **Докажите, что квадратичная форма k x  на конечномерном линейном
пространстве V n положительно определена тогда и только тогда, когда
найдется невырожденная верхняя треугольная матрица A такая, что
M k  AТ A .

389. *Матрица квадратичной формы k  x  на линейном пространстве V 4
относительно некоторого базиса имеет все главные миноры нулевыми.
Означает ли это, что данная квадратичная форма вырожденная? Нулевая?
390. Матрица невырожденной квадратичной формы на конечномерном
линейном пространстве имеет определитель, равный 1. Может ли она в
другом базисе иметь отрицательный определитель?
391. Квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве
отрицательно определена и имеет определитель, равный  1 . Может ли
при переходе к другому базису в качестве матрицы данной квадратичной
формы получить матрицу с положительным определителем?
392. Матрица квадратичной формы на конечномерном линейном пространстве
имеет главный минор порядка k равный  1 . Можно ли в другом базисе
этого линейного пространства получить матрицу данной квадратичной
формы с положительным главным минором порядка k ?
393. Квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве
отрицательно определена, может ли в некотором базисе ее матрица иметь
все главные миноры отрицательными?
394. Квадратичная форма отрицательно определена на конечномерном
линейном пространстве и имеет канонический вид. Может ли ее матрица в
каноническом базисе иметь положительные диагональные элементы?
395. Квадратичная форма положительно определена на конечномерном
линейном пространстве и приведена к каноническому виду. Может ли ее
матрица в каноническом базисе иметь отрицательные диагональные
элементы?
396. Сколько канонических базисов может иметь квадратичная форма,
определенная на трехмерном линейном пространстве (базисов, в которых
квадратичная форма имеет канонический вид)?
397. *Сколько нормальных базисов может иметь квадратичная форма,
определенная на трехмерном линейном пространстве (базисов, в которых
квадратичная форма имеет нормальный вид)?

398. Квадратичная форма k x  задана на вещественном линейном пространстве
V n . Определите условия (необходимые и достаточные), при которых


найдется ненулевой вектор x0 V такой, что k  x0   0 .

399. Можно ли для произвольной квадратичной формы k x  на конечномерном
вещественном линейном пространстве выбрать базис, в котором ее
матрица M k была бы диагональной?

400. Изменяется ли и как именно ранг квадратичной формы k x  при замене
базиса линейного пространства, на котором она определена?
401. Квадратичная форма определена на линейном пространстве V . Является
ли подпространством V множество C0  x V | k  x   0 всех векторов, на
котором квадратичная форма принимает нулевое значение?
402. Квадратичная форма определена на линейном пространстве V . Является
ли подпространством V множество C 0  x V | k  x   0 всех векторов, на
котором квадратичная форма принимает неотрицательные значения?
403. Квадратичная форма на n -мерном линейном пространстве отрицательно
определена. Укажите ее положительный и отрицательный индексы, ранг и
сигнатуру.
404. Квадратичная форма на n -мерном линейном пространстве положительно
определена. Укажите ее положительный и отрицательный индексы, ранг и
сигнатуру.
7. Скалярное произведение. Евклидово линейное пространство
405. Определить, является ли скалярным произведением на трехмерном
 
линейном пространстве функционал вида: f  x, y   x 1 y 1  2 x 1 y 2  10 x 2 y 2 где



векторы x и y заданы своими координатами x x 1 , x 2 , x 3  и, соответственно,

y y 1 , y 2 , y 3  относительно некоторого базиса этого пространства.
406. Определить, является ли скалярным произведением на двумерном
 
линейном пространстве функционал вида: f  x, y   x 1 y 1  2 x 1 y 2  10 x 2 y 2 где



векторы x и y заданы своими координатами x x 1 , x 2  и, соответственно,

y  y 1 , y 2  относительно некоторого базиса этого пространства.
407. Является
ли
билинейная
форма
b
g  x, y    x t yt dt
a
на
линейном
пространстве всех непрерывных на отрезке a ,b функций скалярным
произведением?
408. *Является
ли
билинейная
форма
b
g  x, y    x t yt dt
на
линейном
a
пространстве всех интегрируемых на отрезке a , b функций скалярным
произведением?
409. Пусть  f, g  V  – линейные формы на линейном пространстве V .
 
 
 
Определим hx , y   f  x g y  для любых x , y  V . Может ли билинейная
 
форма hx , y  – быть скалярным произведением на V ? При каких условиях?
410. *Определите какое-либо
пространстве матриц M n .
скалярное
произведение
на
линейном
411. Определите, является ли скалярным произведением на линейном
пространстве квадратных вещественных матриц одного порядка
функционал вида F  X,Y   tr X  Y , где tr X  Y  – след (сумма всех
диагональных элементов) произведения матриц X  Y .
412. *Определите, является ли скалярным произведением на линейном
пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал
вида F X,Y   trX Y  , где tr X Y  – след (сумма всех диагональных
элементов) произведения матриц X  Y .
413. *Определите, является ли скалярным произведением на линейном
пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка
функционал F  X,Y   tr X  Y  , где tr X  Y  – след (сумма всех диагональных
элементов) произведения матриц X  Y ( Y – матрица, комплексно
сопряженная к матрице Y ).
414. *Определите, является ли скалярным произведением на линейном
пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка
функционал F  X,Y   tr X  Y Т , где tr X  Y Т  – след (сумма всех
диагональных элементов) произведения матриц X  Y Т , а Y Т – матрица,
транспонированная к матрице, комплексно сопряженной матрице Y .
415. Определите, является ли скалярным произведением отображение s ,
заданное на линейном пространстве l1a ,b  дифференцируемых и
b
интегрируемых на отрезке a , b функций формулой: s f , g    f t gt dt .
a
416. Докажите, что любая ортогональная система векторов евклидова
линейного пространства линейно независима.
417. Напишите
неравенство
Коши-Буняковского-Шварца
для
линейного
b
пространства со скалярным произведением: g x, y    xt yt dt .
a


418. *Докажите, что векторы x и y евклидова линейного пространства V n , g
 
 
 
коллинеарны тогда и только тогда, когда g 2  x , y   g x , x g y , y  .


419. Докажите, что для любых векторов x и y евклидова линейного
 


пространства V , g имеет место неравенство: x  y g  x g  y g .


420. Определите, для каких векторов x и y евклидова линейного пространства
 


V , g имеет место равенство: x  y g  x g  y g ..
421. Определите, может ли матрица
3 1 2
1 1 2
быть матрицей скалярного
1 2 3
произведения на трехмерном пространстве?
422. Определите, может ли матрица
1 1 1
1 1 2
быть матрицей скалярного
1 2 3
произведения на трехмерном пространстве?
423. Определите, может ли матрица
3 1 1
1 1 2
быть матрицей скалярного
1 2 3
произведения на трехмерном пространстве?
424. Определите, может ли матрица
3 2 1
2 1 0
быть матрицей скалярного
1 0 3
произведения на трехмерном пространстве?
1 2 1 1
2 4 3 5
425. *Определите, может ли матрица
1 3 1 1
быть матрицей скалярного
1 5 1 2
произведения на четырехмерном пространстве?
426. Определите, может ли 1 2 3 быть первой строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
427. Определите, может ли 1 2 3 быть второй строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
428. Определите, может ли 1 2 0 быть второй строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
429. Определите, может ли 1 2 0 быть третьей строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
430. Определите, может ли 1 0 0 быть второй строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
431. Определите, может ли 0 2 0 быть второй строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
432. Определите, может ли 0 0 0 быть второй строкой матрицы скалярного
произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого
базиса?
433. *Докажите, что система векторов A  a1 , a 2 ,...a k  евклидова линейного
пространства линейно независима тогда и только тогда, когда
определитель ее матрицы Грама положителен.
 

 

434. **Пусть A  a1 , a2 ,...an и B  b1 , b2 ,...bn – две системы векторов в n -мерном
евклидовом линейном пространстве V n , g , причем система B линейно
зависима. Найдите определитель матрицы C  g ai , b j  , где i , j  1,2,..., n.
 
 

 

435. **Пусть A  a1 , a2 ,...an и B  b1 , b2 ,...bn – две системы векторов в n -мерном
евклидовом линейном пространстве V n , g , причем система векторов B
линейно зависима, а матрица C  g ai , b j  , где i , j  1,2,..., n, вырожденная.
 
Верно ли, что система векторов B линейно зависимая?
 

 

436. **Пусть A  a1 , a2 ,...an и B  b1 , b2 ,...bn – две системы векторов в n -мерном
евклидовом линейном пространстве
V n , g , причем система векторов
 
B линейно зависима. Верно ли, что матрица C  g ai , b j , где i , j  1,2,..., n ,


вырождена тогда и только тогда, когда одна из систем векторов A или B
линейно зависима?
 

 

437. **Пусть A  a1 ,a2 ,...ak и B  b1 , b2 ,...bk – две системы векторов в n -мерном
евклидовом линейном пространстве
V n , g , причем система векторов
 
B линейно зависима. Матрица C  g ai , b j , где i , j  1,2,..., k и k  n ,


вырожденная. Верно ли, что одна из систем векторов A или B линейно
зависимая?
438. Докажите, что ортогональное дополнение любого непустого подмножества
евклидова линейного пространства V , g есть подпространство V .
439. *Докажите, что, если два подпространства евклидова линейного
пространства ортогональны, то их пересечение состоит только из нулевого
вектора.
440. Верно ли, что, если пересечение двух подпространств евклидова
линейного пространства состоит только из нулевого вектора, то эти
подпространства ортогональны?
441. *Пусть V' и V" – подпространства евклидова линейного пространства
V , g , а V'  и V"  – их ортогональные дополнения, соответственно. Можно
ли и как через них выразить V' V"  – ортогональное дополнение к
подпространству V'V" ?
442. *Пусть V' и V" – подпространства евклидова линейного пространства
V , g , а V'  и V"  – их ортогональные дополнения, соответственно. Можно
ли и как через них выразить V'V"  – ортогональное дополнение к
подпространству V'V" ?
443. Каким должен быть базис евклидова линейного пространства
чтобы скалярное произведение на нем имело стандартный вид?
V n ,g ,
444. Существует ли ортогональная матрица с нулевым определителем? С
отрицательным определителем?
445. Существует ли ортогональная матрица, отличная от единичной, чтобы все
ее элементы были бы неотрицательны?
446. Сумма квадратов элементов строки матрицы равна 1 . Может ли эта строка
быть строкой ортогональной матрицы?
447. Может ли нулевая строка быть строкой ортогональной матрицы?
448. **Существует ли ортогональная матрица, все элементы которой были бы
равны по модулю? В случае положительного ответа приведите пример
такой матрицы и укажите, чему равно это число для матрицы порядка n .
449. A и B – ортогональные матрицы. Будут ли ортогональными матрицы AB
и BA ?
450. Ортогональна ли матрица A-1 , если A ортогональна, т.е. A  O n  ?
451. *Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка O n 
группу относительно операции их умножения?
452. Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка с
положительным определителем SO n  группу относительно операции
умножения (подгруппу O n )?
453. Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка с
отрицательным определителем группу относительно операции умножения
(подгруппу O n )?
454. Образует ли множество всех унитарных матриц одного порядка U n 
группу относительно операции их умножения?
8. Линейные операторы на евклидовых линейных пространствах
455. Почему матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе
евклидова линейного пространства V n , g ортогональная?
456. Может ли матрица ортогонального оператора на конечномерном
евклидовом линейном пространстве V n , g , быть не ортогональной в
каком-либо его базисе?
457. Может ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства быть
вырожденным?
458. Является ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства его
автоморфизмом
459. Если f , g – ортогональные автоморфизмы линейного евклидова
пространства V, g , т.е.  f , g  O V  , то ортогонален ли автоморфизм
f g?
460. **Образует ли множество всех ортогональных эндоморфизмов O V 
евклидова линейного пространства V, g группу относительно операции их
композиции?
461. Линейное пространство V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Ортогонален ли автоморфизмом r  (поворот векторной
плоскости V 2 на угол  )?
462. Линейное пространство V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Ортогонален ли эндоморфизмом z  r  (центральная
симметрия векторной плоскости V 2 )?
463. Линейное пространство V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Ортогонален ли автоморфизмом sa (ортогональное
отражение векторной плоскости V 2 относительно векторной прямой

(одномерного подпространства) La  )?
464. Линейное пространство V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Являются ли ортогональным эндоморфизмом pra –
ортогональное проектирование векторной плоскости V 2 на векторную

прямую La  ?
465. Является ли ортогональное проектирование евклидова линейного
пространства
на
его
любое
нетривиальное
подпространство
ортогональным линейным оператором?
466. ** f – ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного
пространства V n , g , т.е. f  O V n  и все элементы его матрицы M f в
ортонормированном базисе этого пространства равны по модулю. Можно
ли указать значение этой абсолютной величины?
467. f – ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного
пространства V n , g , т.е. f  O V n  . Является ли его матрица относительно
любого базиса этого пространства ортогональной?
468. f – ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного
пространства V n , g , т.е. f  O V n  . Является ли он автоморфизмом
(обратимым эндоморфизмом) этого линейного пространства V n , g ?
469. Может ли число 2 быть собственным значением ортогонального
линейного оператора f  O V 2  евклидова линейного пространства V n , g ?
470. Может ли число - 1 быть собственным значением ортогонального
линейного оператора f  O V 2  евклидова линейного пространства V n , g ?
471. *Пусть V , g – евклидово линейное пространство, а f  O V  –
ортогональный оператор этого пространства имеет инвариантное
подпространство V1 . Верно ли, что V1 – ортогональное дополнение V1
также инвариантно относительно f ?
472. *Пусть
 
V n ,g
– конечномерное евклидово линейное пространство, а
f O V n
– ортогональный оператор этого пространства имеет
инвариантное подпространство V1 . Верно ли, что V1 – ортогональное
дополнение V1 также инвариантно относительно f ?
473. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением, z O V 2  ( z – центральная симметрия V 2 ). Найдите
эндоморфизм, сопряженный z .
474. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением, sa  O V 2  ( sa – ортогональное отражение V 2 относительно

векторной прямой (одномерного подпространства) La  ). Найдите
эндоморфизм, сопряженный sa .
475. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением, pra  O V 2  ( pra – ортогональное проектирование V 2 на

векторную прямую La  ). Найдите эндоморфизм, сопряженный pra .
476. *Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением, r   O V 2  ( r  – поворот V 2 на угол  ). Найдите
эндоморфизм, сопряженный r  .
477. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением, hk  Aut V 2  ( h k – гомотетия V 2 с коэффициентом k  0 ).
Найдите эндоморфизм, сопряженный h k .
478. *Пусть V , g – евклидово линейное пространство, а f  End V  . Его
подпространство V1 инвариантно относительно f . Верно ли, что V1 –
ортогональное дополнение V1 инвариантно относительно сопряженного f
эндоморфизма f  ?
479. *Пусть
– конечномерное евклидово линейное пространство, а
f  End V n . Его подпространство V1 инвариантно относительно f . Верно
ли, что V1 – ортогональное дополнение V1 инвариантно относительно
сопряженного f эндоморфизма f  ?
V n ,g
480. *Пусть V , g – евклидово линейное пространство, а для отображения
 


f : V  V существует отображение f  такое, что g  f  x , y   g x , f   y  для
 
любых векторов x , y  V . Докажите, что f  End V  .
481. Пусть V n , g – евклидово линейное пространство, f  End V n  и является
самосопряженным оператором с простым спектром. Сколько различных
(не гомотетичных) базисов можно составить его собственных векторов?
482. Пусть V n , g – евклидово линейное пространство, f  End V n , а f  – его
сопряженный оператор. Найдите и сравните их характеристические
многочлены  f   и  f   , сравните собственные значения f и f  .

483. Можно ли по характеристическому уравнению линейного оператора найти
собственные значения сопряженного ему линейного оператора?
484. Может ли быть вырожденным самосопряженный оператор на линейном
пространстве?
f  S V n 
485. Почему
матрица
самосопряженного
оператора
в
ортонормированном базисе евклидова линейного пространства V n , g
симметрическая?
486. Базис B конечномерного линейного евклидова пространства V n , g
не
является ортонормированным относительно скалярного произведения g .
f  End V n  и имеет M f матрицей относительно B . Укажите матрицу M f

сопряженного f эндоморфизма.
487. * Пусть
– евклидово линейное пространство, U –
V, g
Vn
prU –
подпространство.
ортогональное проектирование
подпространство. Укажите сопряженный prU линейный оператор.
его
на
488. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Является ли центральная симметрия
z O V 2 
пространства V 2 самосопряженным оператором на V 2 ?
489. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Является ли ортогональное отражение sa  O V 2 

пространства V 2 относительно векторной прямой La  самосопряженным
оператором на V 2 ?
490. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Является ли ортогональное проектирование pra  O V 2 

пространства V 2 на векторную прямую La  самосопряженным оператором
на V 2 ?
491. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Является ли r   O V 2  , поворот V 2 на угол  ,
самосопряженным оператором на V 2 ?
492. Векторная плоскость V 2 рассматривается со стандартным скалярным
произведением. Является ли hk  Aut V 2 , гомотетия V 2 с коэффициентом
k  0 , самосопряженным оператором на V 2 ?
493. *Пусть
– евклидово линейное пространство, U – его
V, g
prU  End V 
подпространство.
Является
ли
ортогональное
проектирование prU на подпространство U самосопряженным линейным
оператором?
494. Векторная плоскость V n рассматривается со стандартным скалярным
произведением, hk  Aut V n  ( h k – гомотетия V n с коэффициентом k  0 ).
Является ли гомотетия h k самосопряженным линейным оператором на V n ?
V n ,g
495. *Пусть
– евклидово линейное пространство, U – его
подпространство. prU  End V n  ортогональное проектирование prU на
подпространство U самосопряженным линейным оператором на
пространстве V n ?
496. **На линейном пространстве l1a ,b  дифференцируемых и интегрируемых на
отрезке a , b функций со скалярное произведение заданно формулой:
b
 f , g    f t gt dt . Найдите оператор, сопряженный дифференцированию
a
функций относительно этого скалярного произведения.
497. **На линейном пространстве l1a ,b  дифференцируемых и интегрируемых на
отрезке a , b функций со скалярное произведение заданно формулой:
b
 f , g    f t gt dt . Найдите оператор, сопряженный интегрированию
a
функций относительно этого скалярного произведения.
 1 1
 – матрица линейного оператора f  End V 2  евклидова
498. M f  
 0 1
линейного пространства V 2 , g в ортонормированном базисе. Как
определить матрицу сопряженного ему линейного оператора в этом же
базисе?
 1 1
 – матрица линейного оператора f  End V 2  евклидова
499. M f  
0
1


линейного пространства V 2 , g в произвольном базисе. Какова матрица
сопряженного ему оператора?
500. Как изменится матрица ортогонального оператора f  O V 2  на евклидовом
линейном пространстве V 2 , g , если от его ортонормированного базиса
 
 
B  i1 , i2 перейти к базису B'  i2 , i1 ?
501. Как изменится матрица оператора f  O V 2  на евклидовом линейном
 
пространстве V 2 , g , если от его ортонормированного базиса B  i1 , i2
 
перейти к базису B'  e1 , e2 с матрицей перехода T BB' ? Будет ли матрица
оператора f в базисе B' ортогональной, если этот базис не
ортонормирован относительно g ?
M 'f
502. Пусть
 
f O V 2 ,
где
V 2,g
–
двумерное
евклидово
линейное
 
пространство, и матрица M f оператора f ортогональна в базисе B  i1 , i2 ,
 

ортонормированном относительно g . Будет ли в базисе B'  i1 , i1  i 2
ортогональной матрица M'f ?
503. Может ли f  End V 2 , где V 2 , g – двумерное евклидово линейное
пространство, быть одновременно и ортогональным и самосопряженным?
504. *Может ли самосопряженный оператор на линейном пространстве быть
ортогональным? В случае положительного ответа приведите примеры.
f  O V n 
505. *Среди
ортогональных
операторов
укажите
самосопряженные или докажите, что таких не существует.
все
506. *Может ли самосопряженный оператор на линейном пространстве быть
вырожденным? В случае положительного ответа приведите примеры.
507. Всегда ли самосопряженный оператор линейного пространства является
его автоморфизмом
508. Если f , g – самосопряженные операторы линейного евклидова
пространства V, g , т.е.  f , g  S V  . Верно ли, что оператор f  g тоже
самосопряженный?
509. Докажите, что операция сопряжения линейного оператора в евклидовом
линейном пространстве обладает свойством:  g  f   f   g  .
510. **Образует ли множество всех самосопряженных операторов на
евклидовом линейном пространстве S V n  группу относительно операции
их композиции?
511. *Верно ли для любого f  O V n  , что f *  f 1 ?
512. *Верно ли, что для любого линейного оператора f  End V n  на
евклидовом линейном пространстве V n , g выполняется Im f   Kerf * ?
513. *Верно ли, что для любого линейного оператора f  End V n  на
евклидовом линейном пространстве V , g выполняется Kerf   Im f * ?
514. Верно ли, что если f  S V n  – самосопряженный оператор евклидова
линейного пространства V n , g имеет инвариантное подпространство V1 ,
то его ортогональное дополнение V1 также инвариантно относительно f ?
515. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V , g утверждение Ker  f  f    Kerf ?
516. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V , g утверждение Ker  f  f    Kerf  ?
517. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V , g утверждение Im  f  f    Im f ?
518. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V , g утверждение Im  f  f    Im f  ?
519. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V , g , что f  f * самосопряженный линейный
оператор?
520. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V , где V, g –
евклидово линейное пространство, что f *  f самосопряженный линейный
оператор?
521. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V , g , что f  f * ортогональный линейный
оператор?
522. *Верно ли для любого линейного оператора f  End V  на евклидовом
линейном пространстве V, g , что f *  f ортогональный линейный
оператор?
523. **Верно ли для любого линейного оператора f  End V  евклидова
 
линейного пространства V , g утверждение: если уравнение f x   a имеет


решение, то всякое его решение удовлетворяет уравнению f   f  x   f  a  ?
524. Пусть f  End V n , а V n , g – конечномерное евклидово линейное
пространство и в некотором базисе имеет матрицей симметрическую
матрицу M f . Верно ли, что f  S V n  – самосопряженный на пространстве
Vn?
525. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов f
и f  , если эти операторы действуют в унитарном линейном пространстве?
526. Верно ли, что оператор f  EndV n  , где V , g – евклидово линейное
пространство, всегда имеет инвариантное гиперподпространство
(подпространство размерности n  1 )?
527. * f  End U n  , где U n , h – унитарное линейное пространство. Верно ли, что
этот оператор всегда имеет инвариантное гиперподпространство
(подпространство размерности n  1 )?
528. **Верно ли, что для любого линейного оператора n -мерного евклидова
линейного пространства V n , g найдется базис, в котором матрица этого
оператора треугольная (верхняя треугольная)?
529. **Верно ли, что для любого линейного оператора n -мерного унитарного
линейного пространства U n , h найдется базис, в котором матрица этого
оператора треугольная (верхняя треугольная)?
530. Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора
f  End V n  в конечномерном евклидовом линейном пространстве V n , g
имеет место равенство: V n  Kerf  Imf ?
531. *Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора
f  End V  в евклидовом линейном пространстве V, g имеет место
равенство: V  Kerf  Imf ?
532. *Пусть евклидово линейное пространство V n  V1  V2 . Докажите, что
проектирование этого пространства на подпространство V1 параллельно
подпространству V2 является самосопряженным тогда и только тогда,
когда эти подпространства ортогональные.
533. Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова
пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов?
534. Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова
пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов
при условии, что все его собственные значения различные?
535. **Пусть  f , g  S V n  самосопряженные операторы евклидова линейного
пространства V n , g с матрицами M f и M g , соответственно, относительно
некоторого ортонормированного базиса B , причем, матрица M f
положительно определена. Докажите, что все корни характеристического
уравнения  f  g вещественные.
536. **Пусть  f , g  S V n  самосопряженные операторы евклидова линейного
пространства V n , g с матрицами M f и M g , соответственно, относительно
некоторого ортонормированного базиса B , причем, матрица M f
положительно определена. Докажите, что в линейном пространстве V n
существует базис B , в котором матрица оператора f  g диагональная.
537. **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного
евклидова пространства V 2 , g в некотором ортонормированном базисе
 1 1
 ?
иметь вид: M f  
0
1


538. **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного
евклидова пространства V 2 , g в некотором ортонормированном базисе
 1
1
 ?
иметь вид: M f  

2
1


539. **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного
евклидова пространства V 2 , g
в некотором базисе иметь вид:
 1 1
 ?
M f  
  2 1
540. **Пусть линейный оператор f  End V n  на линейном пространстве V n
такой, что в V n есть базис из собственных векторов f с вещественными
собственными значениями. Можно ли в этом V n задать скалярное
 
произведение gx , y  так, что относительно этого скалярного произведения
оператор f будет самосопряженным?
541. Докажите, что всякое линейный оператор f  End U n  на унитарном
линейном пространстве U n , h можно представить в виде суммы:
f  f1  if2 , где f1 и f 2 – эрмитовы операторы на этом пространстве.
542. Может ли линейный оператор унитарного линейного пространства U,h
быть одновременно и унитарным, и эрмитовым?
543. Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом
линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором
 1 1
 .
ортонормированном базисе имеет вид: M f  
 0 1
544. Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом
линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором
1 0 
 .
ортонормированном базисе имеет вид: M f  
1 1 
545. Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом
линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором
0 1
 .
ортонормированном базисе имеет вид: M f  
0 0
546. Является ли разложение
a 0  0 1  b a 



b a  1 0  a 0 
полярным разложением
( b  0 )?
9. Квадратичные формы на евклидовых линейных пространствах
547. Верно ли, что квадратичная форма положительно определена на
конечномерном линейном пространстве V n тогда и только тогда, когда все
характеристические числа ее матрицы положительны?
548. Верно ли, что квадратичная форма отрицательно определена на
конечномерном линейном пространстве V n тогда и только тогда, когда все
характеристические числа ее матрицы отрицательны?
549. Можно ли привести одновременно к нормальному виду пару
квадратичных форм, если известно, что одна из них отрицательно
определена?
550. В каких случаях две квадратичных формы на конечномерном линейном
пространстве можно привести одновременно к каноническому виду?
551. **В каких случаях две квадратичных формы на линейном пространстве
можно привести одновременно к каноническому виду?
552. *Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм
на линейном пространстве V n есть положительно определенная. Можно ли
эти две квадратичные формы одновременно привести к каноническому
виду?
553. *Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм
на линейном пространстве V n есть положительно определенная. Можно ли
указать такой базис, в котором все такие линейные комбинации
одновременно имеют канонический вид?
554. Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм
на линейном пространстве V n есть отрицательно определенная. Можно ли
эти квадратичные формы одновременно (в одном и том же базисе)
привести к каноническому виду?
555. Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм
на линейном пространстве V n есть отрицательно определенная. Можно ли
указать такой базис, в котором все такие линейные комбинации
одновременно (в одном и том же базисе) имеют канонический вид?