1. расчет спектров детерминированных сигналов

1. РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
1.1. Спектральное представление периодических сигналов
К периодическим относятся сигналы, обладающие свойством:
S (t) = S (t + T),
где T- период сигнала.
Разложение периодического сигнала по базису тригонометрических
функций – это разложение его в ряд Фурье. В качестве ортонормированного
базиса рассматривают функции:
1, cos 1t, sin 1t, cos 21t, sin21t,… cos n1t, sin n1t, …
(1.1)
…exp(-j21t), exp(-j1t), 1, exp(j1t), exp(j21t),…;
(1.2)
или
1 = 2/T – основная частота последовательности.
В случае (1.1) получаем тригонометрический ряд Фурье, в случае (1.2)комплексный ряд Фурье.
Для тригонометрического ряда Фурье

a
S (t )  0   (an cos nω1t  bn sin nω1t ) ,
2 n1
где коэффициенты ряда:
T /2
T /2
T /2
2
2
2
a

S
(
t
)
cos
n
ω
tdt
a0 
S (t )dt , n
S (t ) cos nω1tdt .
, bn 
1
T T/ 2
T T/ 2
T T/ 2
Другая, эквивалентная формула записи тригонометрического ряда:

a
S (t )  0   An cos( nω1t  φ n ) ,
2 n1
где
bn
,
an
an  An cos φ n , bn  An sin φ n .
В общем случае периодический сигнал содержит независящую от времени
постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, или
гармоник, с частотами, кратными основной частоте последовательности.
Для четного сигнала s (t) = s (– t), коэффициенты аn ≠ 0, bn= 0.
Для нечетного сигнала s (t) = – s (– t), коэффициенты bn= 0, аn ≠ 0.
Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного
сигнала называется спектральной диаграммой. По горизонтальной оси
откладываются частоты гармоник, а по вертикали – амплитуды (амплитудная
диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма).
При разложении в комплексный ряд Фурье:
An  an2  bn2 , φ n  arctg
s (t ) 

C
n  
n
exp( jnω1t ) ,
T /2
где Cn 
1
s(t ) exp(  jnω1t )dt .
T T/ 2
Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот,
причём С-n = Сn* (* обозначено комплексно-сопряжённое число).
Между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда
существует связь:
An  2 Cn , φ n  arg Cn .
1.2. Спектральное представление непериодических сигналов
Для непериодических сигналов справедливо преобразование Фурье:

1
s(t ) 
G ( jω) exp( jωt )dω.
2π 
Функция G(j)) называется спектральной плотностью сигнала s(t).
Функции G(j) и s(t) представляют собой две математические модели одного и
того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а
другая описывает изменение сигнала с течением времени.
Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого
преобразования Фурье:

G ( jω) 
 s(t ) exp(  jωt )dt .

Так как спектральная плотность является комплексной функцией, то
определяют её модуль (амплитудный спектр) и аргумент (фазовый спектр). По
форме амплитудного спектра можно судить о распределении энергии сигнала по
частоте: энергия пропорциональна квадрату амплитуды спектральной плотности,
то есть |G(j)| 2 имеет физический смысл энергии, приходящейся на 1 Гц.
При определении спектральной плотности широко используются свойства
преобразования Фурье.
1.3. Основные свойства преобразования Фурье:
1). Свойство линейности
n
n
i 1
i 1
 ai si (t )   ai Gi ( jω).
2). Дифференцирование сигнала
s / (t )  jωG( jω) .
2
3). Интегрирование сигнала
t
 s(t )dt 
0
G( jω)
.
jω
4). Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия)
s (at ) 
 jω 
G  .
  
1
5). Смещение по времени (теорема запаздывания)
s (t  t0 )  e  jαt0 G ( jω) .
6). Умножение изображений (теорема свёртывания)
t
 s (τ)s (t  τ)dτ  G ( jω)G ( jω) .
1
2
1
2
0
7). Спектральная плотность гармонической функции s (t) = cos (0t)
G( jω)  π(δ(ω  ω0 )  δ(ω  ω0 )).
8). Спектральная плотность радиоимпульса
1
G ( jω)  (G A ( j (ω ω 0 ))e j  G A ( j (ω  ω 0 ))e  j ) ,
2
где GA(j) - спектральная плотность огибающей A(t).
9). Спектральная плотность δ-функции s(t) = δ (t):
G ( jω)  1.
 Примеры решения задач
Задача 1.1
Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных
видеоимпульсов с известными параметрами Тu, Т, А, чётную относительно t = 0
(рис. 1.1).
Решение
Скважность последовательности
Q = T/Tи.
Находим коэффициенты ряда:
3
a0 A
 ,
2 Q
an 
Tи / 2
nω1Tи
2A
2A
cos
n
ω
tdt

sin
.
1
T Tи / 2
πn
2
s(t)
А
0
t
Tи
Т
Рис. 1.1. Периодическая последовательность импульсов, чётная
относительно t = 0
Так как сигнал чётный, то bn = 0.
Окончательная форма записи:

A
sin( nπ / Q)
s (t )  (1  2
cos nω1t ).
Q
nπ / Q
n 1
На рис. 1.2 представлен амплитудный спектр последовательности
импульсов при скважности Q = 5.
На рис. 1.3 изображён амплитудный спектр сигнала из примера 1.1 при
разложении в комплексный ряд Фурье. Он построен с использованием связи
между коэффициентами комплексного и тригонометрического рядов.
An
A1
A2
a0/2
A3
0 1 2 3 4 5
6 7
8
9
/1
Рис. 1.2. Амплитудный спектр последовательности импульсов при
скважности Q=5, разложение в тригонометрический ряд Фурье
4
Сn
/1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6
Рис. 1.3. Амплитудный спектр последовательности импульсов при
скважности Q=5, разложение в комплексный ряд Фурье
Задача 1.2
Определить
спектральную
длительностью Т и амплитудой А.
плотность
прямоугольного
импульса
Решение
A,
T
t ,
2
s(t) =
0, t 
T
.
2
Спектральная плотность

G ( jω)   s(t )e
 jωt
T /2
dt 

 Ae
T / 2
 jωt

A
dt 
(e
 jω
jωT
2
e

jωT
2
)
ωT
2A
ωT
2 .

sin
 AT
ωT
ω
2
2
Графики сигнала и его спектральной плотности изображены на рис. 1.4.
sin
G(j)
s(t)
A
T
A
-2/T
t
-Т/2
0
Т
0
2/T
4/T
/
Рис. 1.4.2Прямоугольный импульс и его спектральная плотность
Задача 1.3
5

Определить спектральную плотность треугольного импульса (рис. 1.5).
s(t)
A
t
0
-Т/2
Т/2
Рис. 1.5. Треугольный импульс
Решение
Задачу решаем с использованием свойств преобразования Фурье,
используем при этом метод производной. Часто проще найти спектральную
плотность производной от сигнала, чем спектральную плотность самого сигнала.
Переход к спектральной плотности самого сигнала делается с использованием
свойств преобразования Фурье.
1). Рассмотрим сигнал
s 2 (t ) 
ds(t )
(рис. 1.6.).
dt
Пусть сигнал s(t) имеет
спектральную плотность G(j), а сигнал s2(t) спектральную плотность G2(j).
Тогда
G2 ( jω)  jωG( jω) .
2). Продифференцируем сигнал s2(t) (рис. 1.6 и 1.7),
d 2 s(t ) ds 2 (t )
s 3 (t ) 

.
dt
dt 2
Тогда
G3 ( jω)  jωG2 ( jω)  ω 2 G ( jω) .
s2(t)
2A/Т
Т/2
0
-Т/2
-2A/Т
Рис. 1.6. Сигнал s2(t)
6
t
s3(t)
(2A/Т)(t-T/2)
(2A/Т)(t+T/2)
t
-Т/2
0
Т/2
(-4A/Т)(t)
Рис. 1.7. Сигнал s3(t)
3). s3(t) = (2A/Т)(t + T/2) - (4A/Т)(t) + (2A/Т) (t - T/2).
4). Определим спектральную плотность сигнала s3 (t):
T
T
 2A  j 2  4A   2A   j 2
G3 ( jω)  

e

e
 T 
 T   T 
5). Определим спектральную плотность исходного сигнала
ωT
ωT
  1   2 A  j 2  4 A   2 A   j 2
G ( jω)  G3 ( jω) / ω   2  

e

e
 ω   T 
 T   T 
2
ωT

 AT  sin 4



2
 ωT


 4
2


 .



 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.4
Определить спектр периодической последовательности
импульсов (рис. 1.8)
треугольных
s(t)
A
t
-Т/2
Т/2
0
Рис. 1.8. Периодическая последовательность треугольных импульсов
Задача 1.5
7
Определить спектральную плотность пилообразного импульса (рис. 1.9)
s(t)
U
m
-Т/2
/2
0
t
-Um
Рис. 1.9. Пилообразный импульс
Задача 1.6
Найти и построить спектры импульсов, изображённых на рис. 1.10,
считая, что дальше импульсы повторяются периодически с периодом Т,
Представить изображённые на рис. 1.10 сигналы рядами Фурье.
s(t)
s(t)
0

 t
Um
0

t
-Um
-A
s(t)
s(t)
Um
0
 
Um
T/3


t
0
-Um
T/2
t
-Um
Рис. 1.10. К задаче 1.7
Задача 1.7. Определить спектр периодической последовательности
8
пилообразных импульсов (рис. 1.11)
s(t)
Um
0 /2
-Т/2
Т
t
-Um
Рис. 1.11. Периодическая последовательность пилообразных импульсов
Задача 1.8
Найти спектральную плотность
колокольной (гауссовской) формы:
сигнала,

являющегося
импульсом
t2
2 τ2
S (t )  U 0 e и .
где τи- половина длительности импульса по уровню 0,61 от максимального
значения U0.
Представить результат в виде графика спектральной плотности от
аргумента θ  ω и .
Примечание:
При интегрировании воспользоваться интегралом Эйлера-Пуассона:

e

 Ax2  2 BxC
π
dx 
e
A
9
B 2  AC
A
.