Пособие для заочников -3c. - Новгородский государственный

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Контрольные задания и методические указания
для студентов заочного отделения
инженерно-технических специальностей
(часть 3)
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2008
2
Рецензент
канд. физ.-мат.наук, доцент кафедры
прикладной математики и информатики
В.А. Едемский
Высшая математика: Контрольные задания и метод. указания для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей (часть3) /
Сост. С.О. Карданов, Е.Ю. Карданова; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2008. – 55с.
Пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу высшей
математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Оно
содержит вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных
работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.
3
Введение
При изучении курса высшей математики студент-заочник должен выполнить ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными.
Все решения надо приводить полностью, чертежи и графики должны быть выполнены четко,
с указанием масштаба и названий координатных осей. Обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертежах и графиках. К выполнению контрольного задания следует приступать после изучения теоретического материала по учебникам и решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Данное пособие
предназначено для студентов-заочников 2-го курса осеннего семестра.
Глава I. Кратные интегралы.
Криволинейные и поверхностные интегралы.
Векторный анализ
Теоретические вопросы
1. Определение двойного интеграла.
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла.
4. Замена переменных в двойном интеграле.
5. Двойные интегралы в полярных координатах.
6. Определение тройного интеграла.
7. Свойства тройного интеграла.
8. Вычисление тройного интеграла.
9. Замена переменных в тройном интеграле.
10. Тройные интегралы в цилиндрических и сферических координатах.
11. Приложения кратных интегралов.
12. Определение криволинейного интеграла (2 рода).
13. Свойства криволинейного интеграла (2 рода).
14. Вычисление криволинейного интеграла (2 рода).
15. Определение поверхностного интеграла (1 рода).
16. Свойства поверхностного интеграла (1 рода).
17. Вычисление поверхностного интеграла (1 рода).
18. Векторное поле. Дивергенция и ротор векторного поля.
19. Поток векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского.
20. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса.
4
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
2. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1990.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,1998. Ч.1,2.
1.1. Двойные интегралы
Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D произвольным образом на n
областей S1, S2, … , Sn , которые назовем элементарными областями. В каждой
из элементарных областей произвольным образом выберем по точке:
P1 ( x1 , y1 )  S1 , P2 ( x2 , y2 )  S2 ,..., Pn ( xn , yn )  S n , которые назовем точками пункту-
ации. Обозначим через Si - площадь, через i - диаметр i-ой элементарной области (i=1,…, n),   max i . Составим выражение
1i n
n
 f ( x , y )S
i 1
i
i
i
(1)
Выражение (1) называется интегральной суммой Римана для функции z=f(x,y)
по области D. Заметим, что она зависит от способа разбиения области D на
элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел интегральной суммы Римана (1) при   0 , и этот
предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области,
ни от выбора точек пунктуации, то он называется двойным интегралом от
функции z=f(x,y) по области D и обозначается
 f ( x, y)dxdy
D
Таким образом,

D
n
f ( x, y )dxdy  lim  f ( xi , yi )Si
 0
(2)
i 1
Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов. Отметим два, наиболее часто используемых на практике, свойства.
5
1) Свойство линейности. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы по
области D, то справедлива формула:
  c  f ( x, y)  c
1
2
D
 g ( x, y ) dxdy  c1  f ( x, y )dxdy  c 2  g ( x , y )dxdy
D
D
2) Свойство аддитивности. Если область D разбита на две области D1 и
D2 без общих точек, и функция f(x,y) интегрируема во всех точках области D, то
справедлива формула:
 f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy
D
D1
D2
Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D ограничена слева и справа вертикальными
прямыми
x=a,
y  1  x  , y  2  x  , причем
x=b,
а
снизу
и
сверху
–
кривыми
1  x  , 2  x  - непрерывны и 1  x   2  x 
на
промежутке [a,b] (Рис.1). Такую область назовем правильной в направлении оси
Oy. Тогда

D
2  x 
b
 2  x 

f ( x, y )dxdy     f ( x, y )dy dx   dx  f ( x, y )dy ,


a  1  x 
a
1  x 

b
(3)
причем сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а полученный результат интегрируется по x .
Рис.1.
6
Заметим, что если кривая y  1  x  (или y  2  x  ) на промежутке [a,b]
задается различными аналитическими выражениями, например,
11  x  , a  x  c
1  x     2
,
,
c

x

b
1  x 
то интеграл справа в (3) записывается в виде суммы двух интегралов:
b
2  x 
 dx 
a
1
 x
c
f ( x, y )dy   dx
a
2  x 

1
1   x 
b
f ( x, y )dy   dx
c
2  x 

f ( x, y )dy .
2
1   x 
Аналогично, пусть область D ограничена снизу и сверху горизонтальными
прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми x   1  y  , x   2  y  , причем
 1  y  ,  2  y  непрерывны и  1  y    2  y  на промежутке [c,d] (Рис.2). Такую
область назовем правильной в направлении оси Ox. Тогда

D
 2 y
d
 2 y

f ( x, y )dxdy     f ( x, y )dx  dy   dy  f ( x, y )dx


c  1 y 
c
1 y 

d
Рис. 2
(4)
7
Теорема (о замене переменных в двойном интеграле)
Пусть выполняются условия:
1) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) таковы, что каждой точке с координатами
(x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из
области D1 и наоборот;
2) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) имеют непрерывные частные производные
по переменным u и v в области D1;
3) функция z=f(x,y) определена и интегрируема в области D.
Тогда справедлива формула:

D
f ( x, y )dxdy   f  x(u, v), y(u, v) 
D1
D ( x, y )
dudv ,
D(u, v)
(5)
где
x
D( x, y ) u

D(u, v) y
u
x
v
y
v
- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.
Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:
 x   cos 
,

y


sin


для которых якобиан равен  и формула (5) примет вид:
 f ( x, y)dxdy  f (  cos ,  sin  ) d d 
D
Задание 1.
(6)
D1
1
2
0
0
Вычислить повторный интеграл:  dx   x 2  y  dy .
Решение. Вычислим сначала интеграл по переменной y (x - параметр).
Имеем
 
1
 2 2  y 2 2 
2
0 dx 0  x  y  dy  0  x y|0   2 |0 dy  0  2 x  2 dx .
1
2
1
2
8
Полученный интеграл является обычным определенным интегралом. Окончательно имеем
 
1
 x3 1 
2
8
dx
x

y
dy

2
x

2
dx

2

2
x
 2 .




|
 |0 
0 0
0
0
3
3
 3 
1
2
1
2
2
Задание 2. Записать данный двойной интеграл в виде повторных, взятых в
различных порядках:
 f ( x, y)dxdy ,
D
область интегрирования D ограничена линиями x=2, y=x, y=1/x.
Решение. Построим область интегрирования D (рис.3).
1
1)По формуле (3) при a=1, b=2, 1  x   , 2  x   x получаем
x
2
x
1
1
 f ( x, y)dxdy  dx  f ( x, y)dy .
D
Рис. 3.
x
9
2) Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (4), то надо
1 1
 ,  y 1
положить c=1/2, d=2,  1  y    y 2
,  2  y  2.
 y,1  y  2

Тогда
1
2
1
1
 f ( x, y)dxdy   dy 
D
2
2
2
1
y
f ( x, y )dx   dy  f ( x, y )dx .
y
Задание 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
1
1 y 2
1
y 1
 dy 
f ( x, y )dx .
2
Решение. Область интегрирования D ограничена снизу кривой
 1  x , 1  x  0
,
,0

x

1
  1  x
1  x   
сверху кривой
 1  x , 1  x  0
 1  x ,0  x  1
2  x   
и представлена на рис. 4.
Рис. 4.
10
Поэтому имеем
1
1 y 2
 dy 
1
y 2 1
1 x
0
f ( x, y)dx   dx
1
1

 1 x
f ( x, y)dy   dx
0
1 x

f ( x, y)dy .
 1 x
Задание 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:
1
 dx
1 x 2

0
ex
2
 y2
dy .
0
Решение. Положим
 x   cos 

 y   sin 
и применим формулу (6). Так как x 2  y 2   2 , то
1 x 2
1
 dx 
0
ex
2
 y2
0
dy   e   d  d .
2
D1
Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 5).
Рис. 5.
Следовательно, в области D1  изменяется от 0 до 1 и   0,  . Таким обра2

зом, имеем:

 e
D1

2
 d  d 
2
1
 d  e
0
0


2
d  
2

0

1 2 1
e 1 2
 e  1 .
e |0 d 
d


2
2 0
4


11
1.2. Тройные интегралы
Пусть функция u=f(x,y,z) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области T пространства Oxyz. Разобьем область T произвольным образом на n областей V1, V2,…, Vn, которые назовем элементарными областями. В
каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке
P1 ( x1 , y1 , z1 ) V1 , P2 ( x2 , y2 , z2 ) V2 ,..., Pn ( xn , yn , zn ) Vn , которые назовем точками
пунктуации. Обозначим через Vi объем, а через i диаметр i-ой элементарной области (i=1,…,n),   max i . Составим выражение
1i n
n
 f ( x , y , z )V ,
i 1
i
i
i
(7)
i
которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f(x,y,z) по
области T . Заметим, что выражение (7) зависит от способа разбиения области T
на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел выражения (7) при   0 и если этот предел не
зависит ни от способа разбиения области T на элементарные области, ни от
способа выбора точек пунктуации, то он называется тройным интегралом от
функции u=f(x,y,z) по области T и обозначается
 f  x, y, z dxdydz
T
Таким образом,
n
 f ( x , y , z )V
 f  x, y, z dxdydz  lim

T
0
i 1
i
i
i
i
(8)
Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.
Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область T ограничена снизу поверхностью z  1 ( x, y ) , сверху поверхностью z  2 ( x, y ) и с боков прямой цилиндрической поверхностью; проекцией области T на плоскость Oxy является область
D (рис. 6). Такую область назовем правильной в направлении оси Oz.
12
Рис. 6
Пусть функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T и для
любых точек ( x, y)  D существует интеграл
2  x , y 

f ( x, y, z )dz .
1  x , y 
Тогда существует интеграл
2  x , y 
 ( 
D
f ( x, y, z )dz )dxdy
1 x , y 
и справедлива формула

T
 2  x , y 

f  x, y, z dxdydz     f ( x, y, z )dz dxdy


D  1  x , y 

Аналогичные формулы справедливы и в случае, когда область T
(9)
пра-
вильная в направлении оси Ox или оси Oy .
Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть выполняются
следующие условия:
1) функции x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) и z=z(u,v,w) таковы, что каждой точке с
координатами (x,y,z) из области T соответствует единственная точка с координатами (u,v,w) из области T1 и наоборот;
2) функции x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) и z=z(u,v,w) имеют непрерывные частные производные по переменным u , v и w;
13
3) функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T .
Тогда справедлива формула:
D ( x, y , z )
 f  x, y, z dxdydz   f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) D(u, v, w) dudvdw ,
T
(10)
T1
где
x
u
D( x, y, z ) y

D(u , v, w) u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w
- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.
Частным случаем криволинейных координат для тройного интеграла являются цилиндрические и сферические координаты.
1) В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве
определяется тремя числами  ,  , z , где  и  - полярные координаты проекции точки M на координатную плоскость Oxy, z – аппликата точки M (рис.7).
Рис. 7
Имеют место формулы:
 x   cos 

 y   sin  ,
z  z

14
якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен  и формула (10) принимает вид:
 f  x, y, z dxdydz   f (  cos ,  sin  , z)  d  d dz
T
(11)
T1
2) В случае сферических координат положение точки M в пространстве
определяется тремя числами  ,  ,  , где  - расстояние от начала координат до
точки M,  - угол между проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и
осью Ox,  - угол между радиус-вектором точки M и осью Oz (рис.8).
Рис. 8
Имеют место формулы:
 x   cos  cos

 y   sin  cos ,
 z   sin 

якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен  2 cos и
формула (10) принимает вид:
 f  x, y, z dxdydz   f (  cos cos ,  sin  cos ,  sin ) 
T
2
cos d  d d
T1
Задание 1. Вычислить интеграл:
  x  y  z dxdydz ,
T
где T - тетраэдр, ограниченный плоскостями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
Решение. Изобразим область интегрирования (рис.9).
(12)
15
Область интегрирования ограничена снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью
z=1-x-y, по бокам плоскостями x=0 и y=0. Проекцией области T
на плос-
кость Oxy является область D - треугольник OAB . По формуле (9) имеем:
 1 x y

x

y

z
dxdydz

x

y

z
dz





dxdy .


 
T
D  0

Рис. 9
Записывая двойной интеграл по области D через повторный интеграл, получим:
1
1 x
1 x  y
0
0
0
  x  y  z dxdydz   dx  dy   x  y  z  dz 
T
1
1 x
0
0
  dx 
1
1 x

 1 x2
z 2  1 x y 
y2 
 xz  yz  |0 dy   dx     xy   dy
2
2 2
2 
0
0 


И, наконец, вычислим полученный повторный интеграл:
1
  x  y  z dxdydz  8 .
T
Задание 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл:
1
 dx
1
1 x 2

 1 x
1
dy
2

x2  y 2
dz
x2  y 2
.
Решение. Изобразим область интегрирования (рис.10).
16
Рис. 10
Положим
 x   cos 

 y   sin 
z  z

и применим формулу (11). Так как x 2  y 2   2 , 0    2 , 0    1,  2  z  1 ,
то
1 x 2
1
 dx 
1
dy

x y
2
 1 x 2
 d   z| 
2

1
1
1
2
0
0
dz
2
x y
2
2
2
 
T1
1

  d  d dz 
2
1
1
0
0
2
 d  d   dz 
 
2
2

3  1
2
2 2
4
d    d  1   d       |  d   d  | 
3  0
30
3 0
3
0
0
0 
1
2
Задание 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл:
1
 dx
1
Решение.
1 x 2  y 2
1 x 2

 1 x 2
dy

0
dz
.
z
Область интегрирования T есть полушар x 2  y 2  z 2  1, z  0
(рис.11).
Рис. 11
17
Найдем пределы изменения сферических координат для области T1:
0    2 , 0    1, 0   

2
Следовательно, по формуле (12) имеем:
1
 dx 
1
1 x 2  y 2
1 x 2
 1 x 2
dy

0
dz
1
 
 2 cos d  d d 
z
 sin 
T1
2

2
 d 
0
0
3
cos
d   2 d  .
sin  0
1
Вычислив полученный тройной интеграл, получим:
 dx
1
1 x 2  y 2
1 x 2
1

dz 8
.

5
z

dy
 1 x 2
0
1.3. Приложения кратных интегралов
1. Геометрические приложения двойных интегралов
Площадь S плоской области (фигуры) D выражается в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:
S   dxdy
(13)
S    d  d
(14)
D
- в декартовых координатах,
D1
- в полярных координатах.
Пусть гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y). Тогда площадь части этой поверхности, проектирующейся в область D плоскости Oxy, равна:
S  
D
2
 z   z 
1       dxdy
 x   y 
2
(15)
Пусть область T ограничена снизу плоскостью z=0, сверху – непрерывной
поверхностью z=f(x,y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью. Если
проекцией области T на плоскость Oxy является область D, то объем V области
T выражается интегралом
V   f ( x, y )dxdy
D
(16)
18
2. Механические приложения двойных интегралов.
Масса M пластинки, занимающей область D плоскости Oxy , имеющей
плотность   x, y  , равна:
M    ( x, y )dxdy .
(17)
D
Статические моменты Mx и My этой пластинки относительно осей Ox и Oy
выражаются интегралами:
M x   y ( x, y )dxdy,
D
M y   x  x, y dxdy.
(18)
D
Координаты центра масс x и y пластинки определяются следующим образом:
x
Mx
,
M
y
My
M
.
(19)
Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны:
I x   y 2 ( x, y )dxdy,
D
I y   x 2  x, y dxdy,
(20)
D
а момент инерции пластинки относительно начала координат равен:
I 0    x 2  y 2   ( x, y )dxdy .
(21)
D
Заметим, что если рассматриваемая пластина однородна, то в приведенных
формулах следует положить   x, y   1 .
3. Геометрические приложения тройного интеграла
Объем V пространственной области T равен:
V   dxdydz
(22)
T
4. Механические приложения тройных интегралов. Масса M тела с плотностью   x, y, z  , занимающего область T, равна
19
M     x, y, z  dxdydz
(23)
T
Статические моменты Mxy, Mxz, Myz тела относительно координатных плоскостей выражаются интегралами:
M xy   z  x, y, z  dxdydz,
T
M xz   y  x, y, z  dxdydz,
(24)
T
M yz   x  x, y, z  dxdydz.
T
Координаты центра масс тела T определяются следующим образом:
x
M yz
M
,
y
M xz
,
M
z
M xy
M
.
(25)
Моменты инерции тела относительно осей координат соответственно равны:
I x    y 2  z 2    x, y, z  dxdydz ,
T
I y    x 2  z 2    x, y, z  dxdydz,
(26)
T
I z    x 2  y 2    x, y, z  dxdydz .
T
Заметим, что если рассматриваемое тело однородно, то в приведенных формулах следует положить   x, y, z   1 .
Задание 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
y  x2 ,
y  z  1, z  0 .
Решение. Данное тело ограничено снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью y+z=1 и с боков цилиндром y  x 2 (рис.12а).
Проекцией рассматриваемого тела является область D (рис. 12б).
20
Рис. 12а
Рис. 12б
Найдем объем нашего тела двумя способами:
1) с помощью двойного интеграла;
2) с помощью тройного интеграла.
В первом случае воспользуемся формулой (16). В нашем случае f(x,y)=1-y.
Следовательно,
1
1
1
x2
V   f ( x, y )dxdy   1  y dxdy   dx  1  y  dy .
D
D
21
Вычисляем полученный повторный интеграл:
V=8/15.
Теперь найдем значение объема данного тела с помощью тройного интеграла. Для этого воспользуемся формулой (22). Имеем:
1 y
1
1
1 y
0
1
x2
0
V   dxdydz   dxdy  dz   dx  dy  dz .
T
D
Вычисляем полученный тройной интеграл:
V=8/15.
Задание 2. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями
y  x2 ,
y  z  1, z  0 .
Решение. Данное тело изображено на рис.12а. Чтобы найти координаты
центра масс рассматриваемого тела, воспользуемся формулами (25).
Найдем сначала массу тела. Для этого применим формулу (23) при
  x, y, z   1 , так как наше тело однородное. Имеем:
M   dxdydz  8/15
T
(это интеграл мы вычисляли в предыдущем примере).
Вычислим теперь статические моменты Mxy, Mxz, Myz рассматриваемого
тела относительно координатных плоскостей. Для этого воспользуемся формулами (24) при   x, y, z   1 . Имеем:
1 y
1
1
1
1
x2
1
1
x2
M xy   zdxdydz   dx  dy  zdz ,
T
0
1 y
M xz   ydxdydz   dx  ydy  dz ,
T
1
1
0
1 y
1
x2
0
M yz   xdxdydz   xdx  dy  dz
T
Вычислив полученные тройные интегралы, имеем:
Mxy=16/105,
Mxz=24/105,
Myz=0.
22
Следовательно, координаты центра масс данного тела равны:
x  0,
3
2
y , z .
7
7
1.4. Криволинейные интегралы (2-го рода)
 u  f ( x, y , z )

Пусть функции  v   ( x, y, z ) определены на дуге MN кривой L. Разобьем ду w   ( x, y , z )

гу MN произвольным образом на n частей точками M=A0, A1,…, An =N, где
Ai=Ai(xi,yi,zi), i=0,1,…,n. Полученные дуги Ai-1Ai, i=1,…,n назовем элементарными дугами. В каждой из них произвольным образом выберем по точке
Pi i ,i , i   Ai 1 Ai , i=1,…,n, которые назовем точками пунктуации. Введем
обозначения:
i  Ai 1 Ai ,   max i , xi  xi  xi 1, yi  yi  yi 1, zi  zi  zi 1
1i  n
и составим выражение
n
  f  P  x    P  y    P  z  ,
i
i 1
i
i
i
i
i
которое называется интегральной суммой Римана для данных
(27)
функций
по дуге MN. Заметим, что выражение (27) зависит от способа разбиения дуги
MN на элементарные дуги и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел выражения (27) при   0 и если этот предел не
зависит ни от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги, ни от способа
выбора точек пунктуации, то он называется криволинейным интегралом 2-го
рода по дуге MN и обозначается
 f  x, y, z dx    x, y, z  dy   x, y, z  dz .
LMN
Следовательно, по определению
 f  x, y, z dx    x, y, z  dy   x, y, z  dz 
LMN
n
 lim   f  Pi  xi    Pi  yi    Pi  zi 
 0
i 1
(28)
23
Свойства криволинейных интегралов 2-го рода аналогичны свойствам
определенных интегралов.
Теорема (о вычислении криволинейных интегралов 2-го рода). Пусть даны
параметрические уравнения дуги MN:
 x  x(t )

 y  y (t ) ,
 z  z (t )

где tM  t  t N и пусть функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные.
Тогда:
 f  x, y, z dx    x, y, z  dy   x, y, z  dz 
(29)
LMN
tN
   f  x  t  , y  t  , z  t   x t     x t  , y t  , z t   y  t     x t  , y t  , z t   z  t   dt .
tM
Задание 1. Вычислить интеграл
 8 x  4 y  2 dx  8 y  4 z  dy   y  3x  z  dz
L
где линия L - отрезок OA с концами в точках O(0,0,0), A(3,6,9).
Решение. Составим параметрические уравнения отрезка OA:
x  t

 y  2t , 0  t  3.
 z  3t

Тогда по формуле (29) имеем:
 8 x  4 y  2 dx  8 y  4 z  dy   y  3x  z  dz 
L
3
3
0
0
   8t  4  2t  2   1   8  2t  4  3t   2   2t  3t  3t   3dt    78t  2 dt  357.
1. 5. Поверхностные интегралы (1-го рода)
Пусть функция u=f(x,y,z) определена и непрерывна на поверхности S
пространства Oxyz. Разобьем поверхность S произвольным образом на n частей:
S1, S2,…, Sn , которые назовем элементарными областями. В каждой из эле-
24
ментарных
областей
произвольным
образом
выберем
по
точке
P1 ( x1 , y1 , z1 )  S1 , P2 ( x2 , y2 , z2 )  S 2 ,..., Pn ( xn , yn , zn )  S n , которые назовем точками
пунктуации. Обозначим через Si , i=1,…,n площадь i-ой элементарной области,   max Si . Составим выражение
1i n
n
 f ( x , y , z )S ,
i
i 1
i
i
(30)
i
которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f(x,y,z) по поверхности S. Заметим, что выражение (30) зависит от способа разбиения поверхности S на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел выражения (30) при   0 и если этот предел не
зависит ни от способа разбиения поверхности S на элементарные области, ни
от способа выбора точек пунктуации, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции u=f(x,y,z) по поверхности S и обозначается
 f ( x, y, z )dS .
S
Таким образом,
n
 f ( x , y , z ) S
 f ( x, y, z)dS  lim

0
S
i 1
i
i
i
(31)
i
Свойства поверхностных интегралов 1-го рода аналогичны свойствам
двойных интегралов.
Теорема (о вычислении поверхностных интегралов 1- го рода).
Пусть поверхность S задана в явном виде уравнением z   ( x, y ) , где
( x, y)  D , D - область плоскости Oxy и пусть функция  ( x, y) имеет непрерыв-
ные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула:
 f ( x, y, z)dS  
S
D
2
     
f ( x, y,   x, y ) 1  
 
 dxdy
 x   y 
2
Задание 1. Вычислить интеграл
 xdS ,
S
где S - полусфера, задаваемая уравнением z  1  x 2  y 2 .
(32)
25
Решение.
Рассматриваемая
поверхность
задана
S
в
явном
виде:
z  1  x 2  y 2 , где ( x, y)  D - круг радиуса R=1 (рис.11). Для вычисления
данного интеграла воспользуемся формулой (32). Имеем:
x2
y2
x
S xdS  D x  1  1  x2  y 2  1  x2  y 2 dxdy  D 1  x2  y 2 dxdy
Перейдем в полученном двойном интеграле к полярной системе координат:

D
2
x
1  x2  y 2
dxdy 
1
 cos d 
0
0
2
1 2
d
2
Так как значение первого интеграла
2
 cos d   sin  |  0 , то и весь интеграл
0
0
равен нулю.
1.6. Элементы теории векторного поля
Пусть в области T трехмерного пространства задано векторное поле:
A  M   Ax  M   i  Ay  M   j  Az  M   k .
Основными операциями данного поля A  M  являются дивергенция (div A  M )
и ротор (rot A  M ) . В декартовых координатах:
div A  M  
Ax  M  Ay  M  Az  M 
,


x
y
z
i

rot A  M  
x
Ax  M 
j
k


y
z
Ay  M  Az  M 
(33)
(34)
Потоком векторного поля A  M  через выбранную сторону поверхности S
называется поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности S от функции:
f  M   A M   n  M 
где n  M  - орт нормали к выбранной стороне поверхности S:
26
 A M   n  M  dS
(35)
S
Теорема Гаусса-Остроградского (о вычислении потока векторного поля).
Пусть в некоторой замкнутой пространственной области T, ограниченной
поверхностью S, задано векторное поле A  M   Ax  M   i  Ay  M   j  Az  M   k ,
где функции Ax(M), Ay(M), Az(M) имеют непрерывные частные производные.
Тогда имеет место формула:
 A M   n  M  dS   div A M  dxdydz
S
(36)
T
Интегралом типа работы векторного поля
A  M   Ax  M   i  Ay  M   j  Az  M   k
по линии L называется криволинейный интеграл 2-го рода вида:
 A M   dl   A  M  dx  A  M  dy  A  M  dz
x
L
y
z
(37)
L
Теорема Стокса (о вычислении циркуляции векторного поля).
Пусть на поверхности S и ее границе L задано векторное поле
A  M   Ax  M   i  Ay  M   j  Az  M   k ,
где функции Ax(M), Ay(M), Az(M) имеют непрерывные частные производные.
Тогда имеет место формула:
 A M   dl   rot A M   n  M  dS ,
L
(38)
S
где n  M  - орт нормали к поверхности S, направленный так, что при обходе
контура L область, ограниченная L, остается слева, если смотреть с конца орта
нормали.
Задание 1. Дано векторное поле A  x, y, z   ( y  x  z )  j и плоскость P:
2x-y+2z-2=0, которая с координатными плоскостями образует пирамиду T.
Пусть поверхность SABC – грань пирамиды (треугольник АВС), принадлежащая
плоскости P, LABC - контур, ограничивающий SABC .
27
Вычислить:
1) поток векторного поля A  x, y, z  через полную поверхность S пирамиды
T в направлении внешней нормали (непосредственно и по теореме ГауссаОстроградского);
2) циркуляцию данного векторного поля A  x, y, z  по контуру LABC (непосредственно и по теореме Стокса).
Решение.
1) Изобразим пирамиду (рис.13).
Рис. 13
Тогда поток данного векторного поля равен:
 A  M   n  M  dS   A  M   n  M  dS   A  M   n  M  dS 
S
SOAC
  A  M   n  M  dS 
SOBC
SOAB
 A  M   n  M  dS
S ABC
Вычислим каждый из интегралов правой части последнего равенства.
а)
 A  M   n  M  dS
SOAC
 z

z
 0,  0  ; орт нормали к SOAC имеет
Уравнение поверхности SOAC : z=0  
y
 x

вид: n  k ; поверхность SOAC проектируется в область DOAC плоскости Oxy
(рис. 14).
28
Рис. 14
Так как орт нормали к поверхности n  k , то подынтегральная функция рассматриваемого интеграла A  M   n  M   0 . Следовательно,
 A  M   n  M  dS  0 .
SOAC
б)
 A  M   n  M  dS
SOAB
y
 y

 0,  0  ; орт нормали к SOAB имеет
Уравнение поверхности SOAB: y=0  
z
 x

вид: n  j ; поверхность SOAB проектируется в область DOAB плоскости Oxz
(рис.15). Следовательно, в силу формулы (32):
1
1 x
0
0
 A M   n  M  dS    y  x  z  dS    z  x  dxdz   dx   z  x  dz .
SOAB
SOAB
DOAB
Вычислив полученный повторный интеграл, имеем:
 A  M   n  M  dS  0 .
SOAB
29
Рис. 15.
в)
 A  M   n  M  dS
SOBC
 x

x
 0,  0  ; орт нормали к SOBC имеет
Уравнение поверхности SOBC: x=0  
z
 y

вид: n  i ; поверхность SOBC проектируется в область DOBC плоскости Oyz
(рис.16). Так как орт нормали n  i , то подынтегральная функция рассматриваемого интеграла A  M   n  M   0 . Следовательно,
 A  M   n  M  dS  0 .
SOBC
Рис. 16
30
г)
 A  M   n  M  dS
S ABC
 z
z 1 
 1,   ; орт нормали к
Уравнение поверхности SABC: 2x-y+2z-2=0  
y 2 
 x
SABC имеет вид: n 
N
N

2
1
2
 i   j   k ; поверхность SABC
3
3
3
проектируется в
область DABC плоскости Oxy, совпадающую с областью DOAC (рис.14). Следовательно, в силу формулы (32) имеем:
1
 A M   n  M  dS   3   y  x  z  dS 
S ABC
S ABC
1
3 
1
3 


   1  2 x  y  dxdy    dx  1  2 x  y dy
2 DABC 
2 
2 0 2 x 2 
2 
1
0
Вычислим полученный повторный интеграл:
1
 A M   n  M  dS  3 .
S ABC
Таким образом, поток векторного поля A  x, y, z  через полную поверхность S данной пирамиды T равен:
1
A
M

n
M
dS

.




S
3
2) Вычислим теперь поток данного векторного поля A  x, y, z  через полную поверхность S пирамиды T по теореме Гаусса-Остроградского:
 A M   n  M  dS   div A M  dxdydz .
S
T
Дивергенция данного векторного поля A  x, y, z   ( y  x  z )  j равна:
div A x, y, z  
Ax  x, y, z  Ay  x, y, z  Az  x, y, z 


1.
x
y
z
Следовательно,
1
0
 A M   n  M  dS   dxdydz   dx 
S
T
0
2 x 2
1 x 
dy

0
y
2
dz .
31
Вычисляем полученный тройной интеграл:
1
 A  M   n  M  dS  3 .
S
Решение 2
1) Вычислим циркуляцию данного векторного поля A  x, y, z  по контуру
LABC :
 A  M   dl   A  M   dl   A  M   dl   A  M   dl .
LABC
LAB
LBC
LCA
Вычислим каждый из интегралов правой части полученного равенства:
а)
 A  M   dl .
LAB
Составим параметрические уравнения отрезка AB:
x  1 t

y  0 ,
z t

где 0  t  1 . Тогда в силу формулы (29) имеем:
1
 A M   dl    y  x  z   dy   0  1  t   t   0  dt  0 .
LAB
б)
LAB
0
 A  M   dl .
LBC
Составим параметрические уравнения отрезка BC:

x0

 y t

t
 z 1

2
,
где t меняется от 0 до -2. Тогда в силу формулы (29) имеем:
2
2
 
t 
 3 
L A M   dl  L  y  x  z   dy  0 t  1  2  1 dt  0 1  2 t dt  1 .
BC
BC
в)
 A  M   dl .
LCA
32
Составим параметрические уравнения отрезка CA:
xt

 y  2t  2
 z0

,
где 0  t  1 . Тогда в силу формулы (29) имеем:
1
1
0
0
 A M   dl    y  x  z   dy    2t  2  t   2  dt  2 t  2 dt  3 .
LCA
LCA
Следовательно, циркуляция данного векторного поля A  x, y, z 
LABC равна:
по контуру
 A  M   dl  2 .
LABC
2) Вычислим теперь циркуляцию векторного поля A  x, y, z  по контуру
LABC с помощью теоремы Стокса:
 A  M   dl   rot A  M   n  M  dS .
LABC
S ABC
Для этого найдем ротор данного векторного поля A  x, y, z   ( y  x  z )  j :
rot A  x, y, z  
i
j

x
0

y
yxz
k

 i  k .
z
0
Орт нормали к поверхности SABC мы находили при вычислении потока вектор2
1
2
ного поля A  x, y, z  : n   i   j   k (п.1а). Следовательно,
3
3
3
4
 A M   dl   rot A M   n  M  dS   3  dS .
LABC
S ABC
S ABC
 z
z 1 
 1,   ; поверхность
Уравнение поверхности SABC: 2x-y+2z-2=0  
y 2 
 x
SABC проектируется в область DABC плоскости Oxy (рис.14). Таким образом, в
силу формулы (32) имеем:
33
 A M   dl   rot A M   n  M  dS 
LABC
S ABC
1
0
4
   dS  2  dxdy  2 dx  dy  2.
3 S ABC
DABC
0
2 x 2
2. Ряды
Теоретические вопросы
Числовые ряды. Основные понятия.
Необходимый признак сходимости числового ряда.
Признаки сравнения числовых рядов.
Признак Даламбера.
Признак Коши.
Интегральный признак Коши.
Знакопеременные ряды. Основные понятия.
Признак Лейбница.
Степенные ряды. Область сходимости степенных рядов.
Ряды Тейлора.
Ряды Фурье.
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
2. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1990.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,1998. Ч.1,2.
2.1.Числовые ряды
Ряд – это выражение вида
a1 + a2 + a3 + … +an + …,
(1)
составленное из бесконечного множества чисел a1, a2, … , an, … , называемых
членами ряда: a1 - первый член, a2 - второй член и т.д.; an называют n-ым или

общим членом ряда. Ряд (1) можно сокращенно записать как
a
n 1
суммы вида
n
. Конечные
34
S1=a1,
S2=a1 + a2,
S3=a1 + a2 + a3,
……………………..
Sn-1=a1 + a2 + a3 + … +an-1,
Sn=a1 + a2 + a3 + … +an-1 + an,
называются частичными суммами ряда (1):
S1 – первая частичная сумма, S2 - вторая частичная сумма, …, Sn - n-ая частичная сумма ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм
ряда (1) S  lim Sn , то говорят, что этот ряд сходится, а число S называют сумn
мой ряда (1). При этом можно писать:
a1 + a2 + a3 + … +an + …= S.
Если же последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного
предела, то говорят, что этот ряд расходится.
k-ым остаточным рядом ряда (1) называется ряд, который получается из
ряда (1) в результате отбрасывания первых k его членов:
ak+1 + ak+2 + ak+3 + … +an + …
(2)
Основные свойства сходящихся рядов
1. Если ряд (1) сходится, т.е. существует lim Sn  S , то сходится и ряд
n

 ca
n 1
n
,
(3)
где c - любое число, причем сумма ряда (3) равна cS.

2. Если сходится ряд (1)
a
n
n 1
и его сумма равна S, и сходится ряд

b
n 1
n
(4)
и его сумма равна S*, то сходится и ряд

 (a
n 1
и его сумма равна S + S*.
n
 bn )
(5)
35
Основные теоремы
1. Необходимый признак сходимости числового ряда
Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член an стремится к нулю,
т.е. lim an  0 .
n
Следствие. Если общий член an ряда (1) не стремится к нулю, то данный
ряд расходится.
2. Критерий сходимости ряда
Теорема. Для того, чтобы сходился ряд (1) необходимо и достаточно, чтобы сходился его k- ый остаточный ряд (2).
3. Признаки сравнения положительных рядов.
Теорема 1. Пусть даны два ряда с положительными членами:

c
n 1

n
d
n 1
n
 c1  c2  ...  cn  ..., cn  0, n ,
(6)
 d1  d 2  ...  d n  ..., d n  0, n
(7)
и пусть, начиная с некоторого номера n, выполняется неравенство:
cn  d n ,
(8)
Тогда:
1) из сходимости ряда (7) следует сходимость ряда (6);
2) из расходимости ряда (6) следует расходимость ряда (7).
Теорема 2. Если для рядов (6) и (7) существует предел
c
(9)
lim n  A  0  A  , d n  0  ,
n d
n
то ряды (6) и (7) ведут себя одинаково, т. е. либо сходятся, либо расходятся одновременно.
4. Признаки сходимости положительных рядов
Теорема 1 (Признак Даламбера). Пусть задан положительный ряд (6), члены которого отличны от 0, и существует предел
cn1
l
n c
n
lim
Тогда:
1) Если l<1, то ряд (6) сходится;
2) Если l>1, то ряд (6) расходится;
3) Если l=1, то теорема не дает ответа на вопрос о поведении ряда (6).
(10)
36
Теорема 2 (признак Коши). Пусть задан положительный ряд (6) и существует предел
lim n cn  l
n
(11)
Тогда:
1) Если l<1, то ряд (6) сходится;
2) Если l>1, то ряд (6) расходится;
3) Если l=1, то теорема не дает ответ на вопрос о поведении ряда (6).
Теорема 3. (Интегральный признак Коши). Пусть члены положительного
ряда (6) не возрастают, т.е. c1  c2  ...  cn  ..., и пусть f(x)- функция, заданная
на промежутке 1,  ) , положительная, непрерывная и невозрастающая функция на этом промежутке, такая, что
f(1)=c1, f(2)=c2, … , f(n)=cn, ….
Тогда:
1) Если несобственный интеграл

 f  x  dx
(12)
1
сходится, то и ряд (6) сходится;
2) Если несобственный интеграл (12) расходится, то расходится и ряд (6).
Знакопеременные ряды
Ряд (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как
положительные, так и отрицательные члены.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).
Пусть задан знакопеременный ряд
a1 + a2 + … +an + ….
(13)
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
|a1| + |a2| + … + |an| +… ,
сходится, то сходится и данный ряд (13).
(14)
37
Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно
или неабсолютно сходящимся.
Ряд вида
a1 – a2 + a3 – a4 +… +  1 an + ….,
n
(15)
где an  0, n , называется знакочередующимся.
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если
абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
1) a1  a2  ...  a n ...
(16)
2) lim a n  0
(17)
n
Замечание 1. При решении задач на исследование сходимости ряда полезно
знать особенности поведения следующих рядов:
1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

 aq
n
: сходит-
n 1
ся при q  1 и расходится при q  1 , q – знаменатель прогрессии;

2. Обобщенный гармонический ряд
1
 n : сходится при   1 и расходитn 1
ся при   1 . В частном случае (   1 ) получаем гармонический ряд

1
n
, ко-
n 1
торый расходится.
Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то
ошибка, совершаемая при замене S на Sn, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.

n
 1
Задание 1. Исследовать на сходимость ряд  1   .
n
n 1 
38
n
 1
Решение. Так как lim an  lim 1    e  0 (второй замечательный преn
n
 n
дел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем,
что данный ряд расходится.

n
Задание 2. Исследовать на сходимость ряд
n 1
2
1
.
n
Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом

1
n
n 1
2
(это – обобщенный гармонический
ряд, который сходится, так как   2  1 ). Имеем:
1
1

n2  n n2
и, следовательно, из сходимости ряда

1
n
n 1
2
по признаку сравнения следует
сходимость и данного ряда.
Задание 3. Исследовать на сходимость ряд

3
 4n  5 .
n 1
Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом

1
n
(это - гармонический ряд,
n 1
который расходится). Имеем:
3
3n
3
lim 4n  5  lim
 0
n
n 4n  5
1
4
n

и, следовательно, ряды
1
n
и данный ведут себя одинаково. Таким образом,
n 1
по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость ряд

n
  n  1! .
n 1
39
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:
n 1
n
n 1
c
 n  2 !   n  1   n  1!  n  1
cn 
, cn1 
и n1 
n
n   n  2 !
n   n  2
 n  1!
 n  2 ! cn
 n  1!
cn1
n 1
 lim
 0  1 . Следовательно, по признаку Даламбера
n c
n n   n  2 
n
Тогда lim
данный ряд сходится.
n2

 1
Задание 5. Исследовать на сходимость ряд  1   .
n
n 1 
Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:
n2
n
 1
 1 1
lim n cn  lim n 1    lim 1     1 ,
n
n
n
 n
 n e
и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.
Задание 6. Исследовать на сходимость ряд

1
.
ln n
n
n2
Решение. Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:
1
1

n ln n  n  1 ln  n  1
n  2 ,
что означает, что члены данного ряда убывают. В качестве функции f(x) возьмем функцию f ( x) 
1
, x  2 . Эта функция положительная, непрерывная
x ln x
и убывает в области определения, причем f (n) 
1
. Рассмотрим несобn ln n
ственный интеграл

b
b
dx
dx

lim

lim
2
ln
x
|2  
2 x ln x b 2 x ln x b
Следовательно, несобственный интеграл расходится. Тогда в силу интегрального признака Коши расходится и данный ряд.
40
Задание 7. Исследовать на сходимость ряд

  1
n 1
n 1
1
.
2n  1
Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Ряд, составленный из

1
абсолютных величин 
эквивалентен ряду
n 1 2n  1

1
 n . Последний ряд расхоn 1
дится, следовательно, расходится и ряд, составленный из абсолютных величин
исходного ряда. Таким образом, если исходный ряд и сходится, то только
условно.
Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к
нему признак Лейбница. Имеем:
1) an 
1
1
1
1
и очевидно, что
, an1 

n
2n  1
2n  1
2n  1 2 n  1
1
0
n 2n  1
2) lim an  lim
n
Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.
2.2. Степенные ряды
Ряд, члены которого являются функциями переменной x, т.е. ряд вида
u1(x) + u2(x) + … + un(x) + …
называется функциональным рядом.
Степенной ряд – это функциональный ряд вида

c0  c1  x  x0   c2  x  x0   ...  cn  x  x0   ...   cn  x  x0  ,
2
n
n
(18)
n 1
где c0, c1,…,cn,… - числа, называемые коэффициентами степенного ряда. Говорят, что степенной ряд (18) сходится в точке x*, если сходится числовой ряд
c0  c1  x*  x0   c2  x*  x0   ...  cn  x*  x0   ... ;
2
n
при этом x* называют точкой сходимости ряда (18), а совокупность всех точек
сходимости называют областью сходимости данного ряда.
41
Теорема (об области сходимости степенного ряда). Если для степенного
ряда (18) с коэффициентами cn  0, n , существует lim |
n
cn1 1
| , то:
cn
R
1) ряд (18) сходится во всех точках x, для которых |x-x0|<R;
2) ряд (18) расходится во всех точках x, для которых |x-x0|>R;
3) в точках х, для которых |x-x0|=R, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости ряда (18).
Число R  lim |
n
cn
| называют радиусом сходимости, а интервал |x-x0|<R cn1
интервалом сходимости степенного ряда (18).
Замечание. В области сходимости по отношению к степенным рядам справедливы все правила действий с многочленами. В частности, их можно складывать, умножать на число, дифференцировать, интегрировать.

xn
Задание 1. Найти область сходимости степенного ряда  .
n 1 n
Решение. Сначала найдем радиус сходимости данного ряда:
R  lim |
n
cn
n
| lim
 1.
cn1 n n  1
Следовательно, по теореме об области сходимости степенного ряда, для
всех х, удовлетворяющих условию -1<x<1, данный ряд сходится; для всех х,
удовлетворяющих условию х<-1 или x>1, данный ряд расходится. Исследуем
сходимость нашего ряда при х = -1 и x=1.
1. Рассмотрим точку х = -1 и подставим значение х = -1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд


n 1
 1
n
n
.
Этот ряд является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится, а потому сходится и данный ряд при х = -1.
42
2. Рассмотрим точку х = 1 и подставим значение х = 1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд

1
n.
n 1
Это - гармонический ряд. Следовательно, он расходится, а потому расходится
и данный ряд при х = 1.
Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является
промежуток x [1,1) .
2.3. Ряды Тейлора
Рядом Тейлора для данной функции f(x) в окрестности точки x0 называется
степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулой:
cn 
f
n
 x0  , n=0, 1, …
n!
Таким образом, ряд Тейлора – это ряд вида:


f
n
 x0 
n!
n 0
 x  x0 
n
(19)
В частном случае, если x0=0, ряд Тейлора (19) называют рядом Маклорена.
Теорема (критерий представимости функции рядом Тейлора). Для того,
чтобы функцию f(x) можно было представить в окрестности точки x0 рядом
Тейлора:

f  x  
f
n
 x0 
n!
n 0
 x  x0 
n
,
(20)
необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора
f    
n 1
Rn  x  
 x  x0  ,    x, x0 
(n  1)!
n 1
стремился к нулю при n   , т.е. lim Rn  x   0 .
n 
Замечание. При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями:
43

1)
2)
3)
4)
5)
6)
xn
e   , x   ,   ;
n 0 n !
2n

n x
cos x    1
, x   ,   ;
(2n)!
n 0

x 2 n1
n
sin x    1
, x   ,   ;
(2n  1)!
n 0
n 1

n x
ln 1  x    (1)
, x  (1,1] ;
n 1
n 0
2 n 1

n x
arctgx    1
, x   1,1 ;
2n  1
n 0

    1     n  1 x n

, x   1,1
1  x   1  
n!
n1
x
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
1
sin x
dx с точностью до 0,001.
x
0
Решение. Воспользуемся разложением (23).
Задание 1. Вычислить интеграл

Имеем
sin x 
x2n
n
   1
.
x
(2n  1)!
n 0
Следовательно,
n
n
1
1 


1 1 2 n
1  x 2 n1  1
sin x
x2n


n

x dx  
 1

|0 
0 x dx  0 

2
n

1
!
2
n

1
!
2
n

1
!
2
n

1






n 0
n 0
n 0


0
 1
1
1
1

1


 ....
3! 3 5! 5 7! 7
n 0  2n  1! 2n  1

n
Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося ряда (с одним лишним знаком после запятой):
a1  1,0000; a2  0,0555; a3  0,0016; a4  0,0000; ...
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, ошибка вычислений, совершаемая при отбрасывании членов ряда, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Следовательно, для вычисления данного интеграла с точностью 0,001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Таким образом, получаем
1
sin x
dx  0,946 .
x
0

44
2.4. Ряды Фурье
Функциональный ряд вида
a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n1
называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа a0, an и bn (n=1,2,...)
называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Рядом Фурье для функции f(x) на промежутке [ , ] называется тригонометрический ряд:
a0 
   ak cos kx  bk sin kx  ,
2 k 1
(27)
коэффициенты которого определяются формулами:
ak 
1

1

 f  x  cos kxdx,
k  0,1,2,...,


(28)
f  x  sin kxdx, k  1,2,3,....
 
В общем случае, рядом Фурье для функции f(x) на промежутке [a,a+T]
bk 
называется тригонометрический ряд:
a0  
2k
2k 
   ak cos
x  bk sin
x,
2 k 1 
T
T 
(29)
коэффициенты которого определяются формулами:
2
ak 
T
a T
2 k
 f  x  cos T xdx,
k  0,1,2,...,
a
a T
(30)
2
2 k
f  x  sin
xdx, k  1,2,3,....

T a
T
Функция f(x) называется кусочно-монотонной на промежутке [a,a+T], если
bk 
она имеет на данном промежутке конечное число участков монотонности.
Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на промежутке [a,a+T], она
имеет на данном промежутке конечное число точек разрыва и все они 1-го рода.
Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции рядом Фурье). Если функция f(x) кусочно-монотонна и кусочно-непрерывна на
45
промежутке [a,a+T], то для x   a, a  T  ряд Фурье (29), составленный для
функции f(x) на [a,a+T], сходится, причем:
1) в точках непрерывности функции f(x) сумма S(x) ряда Фурье равна значению функции в точке x : S(x) = f(x);
2) в точках разрыва функции f(x) сумма S(x) ряда Фурье вычисляется по
формуле:
S  x 
f  x   f  x 
,
2
где f(x-) и f(x+) – это соответственно левосторонний и правосторонний пределы
функции f(x) в точке x;
3) на концах промежутка [a,a+T] сумма S(x) ряда Фурье вычисляется по
формуле:
f  a    f  (a  T )  
S a  S a  T  
2
x
Задание 1. Разложить функцию f  x  
в ряд Фурье на промежутке
2
0,2  .
Решение. В нашем случае a  0, T  2 . Следовательно, по формулам (30)
имеем:
2
 x 2  2
x
a0   dx  
|   ,
 02
 4  0
2
2

2
1 x
1  x
1
 2 1
ak   cos kxdx 
sin
kx

sin
kxdx

cos
kx
 0,


|
|


0
2
0
 02
2  k
k 0
2

k


2
2
 1  2 cos 2k 
1 x
1  x
1
 2 1
bk   sin kxdx 

cos
kx

cos
kxdx


|0

 .

 02
2  k
k 0
k
k


 2 
Подставляя значения коэффициентов a0, ak, bk, k=1,2,3,… в (29), получим раз1
ложение данной функции f  x  
x
в ряд Фурье на промежутке 0,2  :
2
x   sin kx
 
.
2 2 k 1 k
Это разложение справедливо x : 0  x  2 . На концах промежутка, те в точках
x = 0 и x  2 , сумма полученного ряда равна

.
2
46
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 7
Кратные интегралы.
Криволинейные и поверхностные интегралы.
Векторный анализ
Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Сделать чертеж.
1. x  36  y 2 , x  6  36  y 2 .
2. x2  y 2  12,  6 y  x2  y  0  .
3. y  6  36  x 2 , y  36  x 2 , x  0  x  0  .
4. y  24  x 2 , 2 3 y  x 2 , x  0  x  0  .
5. x  72  y 2 , 6 x  y 2 , y  0  y  0  .
6. x2  y 2  12, 6 x  y 2  x  0 .
7. x 2  4 x  y 2  0, x 2  8 x  y 2  0, y  0, y 
8. y 2  8 y  x 2  0, y 2  10 y  x 2  0, y 
9. x 2  2 x  y 2  0, x 2  4 x  y 2  0, y 
x
.
3
x
, y  3x .
3
x
, y  3x .
3
10. y 2  4 y  x 2  0, y 2  6 y  x 2  0, y  x, x  0 .
Задание 2. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями.
Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость Oxy.
1. x 2  y 2  2 y, z 
9
 x2 , z  0 .
4
2. x 2  y 2  4 x  0, z  8  y 2 , z  0 .
3. z 
16
 x2  y 2 , 2z  x2  y 2 .
9
4. x 2  y 2  9, z  x 2  y 2 , z  0 .
47
5. x 2  y 2  4, z  y 2 , z  0 .
6. z  3 x 2  y 2 , z  10  x 2  y 2 .
7. z  1  x 2  y 2 , z  0 .
8. z  x 2  y 2 , z 2  x 2  y 2 .
9. z  x 2  y 2 , 2 z  1  x 2  y 2 .
10. x  y 2 , x  2 y 2  1, z  1  y 2 , z  0 .
Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода, взятые вдоль
данных кривых.
 y
1.
2
 z 2  dx  2 yzdy  x 2 dz , где L - кривая x=t, y=t2, z=t3, 0  t  1 .
L
2.  ydx  zdy  xdz , где L - виток винтовой линии x=cost, y=sint, z=t,
L
0  t  2 .
3.  xdx  ydy  zdz , где L - виток конической винтовой линии x=etcost,
L
y=etsint, z=et от точки А(0,0,0) до точки В(1,0,1).
4.
 ydx  zdy  xdz , где L - отрезок прямой ОС от точки О(0,0,0) до точки
L
С(1,1,1).
5.
 ydx  zdy  xdz , где L - ломанная ОАВС, соединяющая точки О(0,0,0),
L
А(1,0,0), В(1,1,0), С(1,1,1)
6.
x
2
y  3x  dx   y 2 x  2 y  dy , где L - верхняя половина эллипса x=5cost,
L
y=4sint, 0  t   .
7.

L
В(3,6).
y2  1
x
dx  2 dy , где L - отрезок прямой АВ от точки А(1,2) до точки
y
y
48
y
x
dx  2
dy , где L - граница треугольника АВС с вершинами
2
2

y
x

y
L
А(2,0), В(2,2), С(0,2).
9.   x 2  y  dx   x  y 2  dy , где L - дуга окружности x=3cost, y=3sint, от
x
8.
2
L
точки А(3,0) до точки В(0,3).
10.   2 x  z  dx   2 y  3z  dy  8 zdz , где L - виток винтовой линии x=3cost,
L
y=3sint, z=4t, 0  t  2 .
Задание 4. Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го рода.
Сделать чертежи данной поверхности и ее проекции на плоскость Oxy.
1.
  x  y  z ds , где
S
2.
  x
2
S - поверхность x 2  y 2  z 2  1, z  0 .
 y 2 ds , где S - граница тела
x 2  y 2  z  1.
S
3.
ds
 1  x  y 
2
, где S - граница тетраэдра x  y  z  1, x  0, y  0, z  0 .
S
4.
 xyzds , где
S - поверхность z  x 2  y 2 , 0  z  1 .
S
5.
  y  x  z ds , где S
- плоскость 2x-y+2z-2=0, расположенная в 1-ом ок-
S
танте.
6.
  x
2
 y 2  z 2 ds , где S - поверхность сферы x 2  y 2  z 2  1.
S
 zds , где S -
7.
часть поверхности x 2  z 2  2 z , вырезанная поверхностью
S
z  x2  y 2 .
8.
 zds , где S
- полусфера x 2  y 2  z 2  4, z  0 .
 zds , где S
- поверхность конуса z 2  x 2  y 2 , 0  z  3 .
S
9.
S
10.
  x  z ds , где
S
октанте.
S - плоскость x  y  z  2  0 , расположенная в 1-ом
49
Задание 5. Дано векторное поле A  x, y, z  и плоскость P, которая с координатными плоскостями образует пирамиду T. Пусть SABC - основание пирамиды, принадлежащее плоскости P , LABC - контур, ограничивающий SABC. Вычислить:
1) поток векторного поля A  x, y, z  через полную поверхность S пирамиды T в
направлении внешней нормали (непосредственно и по теореме ГауссаОстроградского);
2) циркуляцию данного векторного поля A  x, y, z  по контуру LABC (непосредственно и по теореме Стокса).
1. A  x, y, z    x  y  5z  k ;
P : x  y  z  2  0.
2. A  x, y, z    x  2 y  z  i;
P : 2x  y  z  2  0 .
3. A  x, y, z    3x  y  z  j;
P : 2 x  y  3z  6  0 .
4. A  x, y, z    5x  z  i;
P : x  2y  z  4  0 .
5. A  x, y, z    4 x  y  z  j;
6. A  x, y, z    3x  2 z  k ;
P : 2x  2 y  z  6  0 .
P : x  2 y  4z  8  0 .
7. A  x, y, z    2 x  3 y  z  i;
P : 2x  3 y  2z  6  0 .
8. A  x, y, z    5 x  y  2 z  k ;
P : x  y  z 1  0 .
9. A  x, y, z    x  2 y  2 z  i;
P : x  2y  z  2  0.
10. A  x, y, z    3x  4 y  2 z  j;
P : x  2y  z  4  0.
Контрольная работа № 8
Ряды
Задание 1. Исследовать на сходимость данный числовой ряд.

1.
2n1  2n3  1
  n  1!
n 1

1 n 
6.  n 

n1 3  n  1 
 n2
50

2.
1

2
n 1 (2n  1)ln  2 n  1
e2 n
3. 
n
n 1
4n  1
3
2
n 1

7.
n


8.
n3  1
n 1

4.
en  3


arctg n

3
n 1 n  1
9.
 sin n
n 1
2
3
2
 n2 
10.  n  e  1
n 1 



n 2n
5.  2
n 1 n  3
3n
Задание 2. Исследовать на сходимость данный числовой ряд.

1.   1
n 1
n 1

2.   1
n
n 1
2n  1
n  n  1
2n  1
3n

4. 
n 1
 1
5
n 1
n

8.   1

n!
n
n


2n
n
n
n
n 1
n
e
n 1
9.   1
 2n  1 
5.   1 

 n2 
n 1

n
n 1
n

n3
6.   1
 n  1!
n 1
n
7.   1 sin
 1
3. 
n 1  n  1 ln  n  1


2n  1
3n n
10.   1 sin

n
n 1
2n
Задание 3. Найти область сходимости данного степенного ряда.
n


x  1
3n

n
x
1. 
6. 
n 9n
n 1 n  n  1
n 1

2.

n 1

 x  5
2n

7.
3n  8
n2
 n  n  1 x
n
n 1
n
 1
3.  1   x n
n
n 1 
4n  x  1
8. 
n
n 1

2n
51

4.

 n  1
2n  1
n 1

5.
5
2n
x

3n n!
  n  1
 x  2
9. 
n
n 1  2n  3 5

2n
x
n
10.

n 2  x  3
 1
Задание 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
 x
2
1
1 ln 1 

sin  x 
5

dx
1. 
6. 
dx
x
x
0
0
n 1
n
n 1
1
2.  cos  x dx
2
0
4.
e
1
7.  sin  x 2 dx
0
1  e x
dx
8. 
x
0
sin x
dx
3. 
x
0
3 x 2
1
dx
9.
0
0,4
5.

0
2
4
0,2
1
0,2
n
n

dx
4
0
 x
ln 1  
 2 dx
x
0,4
10.

0
16  x 2

x
2
1 e
dx
x
Задание 5. Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье на промежутке
[a, b].
 , 
6. f  x   x  1,
,
0,2 
7. f  x   x ,
 1,1
3. f  x   x 2  1,
 2,2
8. f  x   x,
  , 
1. f  x   x  1,
2. f  x  
 x
2
 , 
x 
,   x  0

4. f  x    
,   , 
 1, 0  x  
9. f  x    2  x 2 ,
 x, 0  x  1
5. f  x   
, 0,2
2  x,1  x  2
10. f  x   x ,
  , 
 , 
52
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ………………………………………………………………………..3
Глава 1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ………...3
1. Двойные интегралы……………………………………………………..…4
2. Тройные интегралы ……………………………………………….……..11
3. Приложения кратных интегралов ………………………………………17
4. Криволинейные интегралы (2-го рода) ………………………………..22
5. Поверхностные интегралы (1-го рода) …………………………………23
6. Элементы теории векторного поля ……………………………………..25
Глава 2. РЯДЫ ……………………………………………………………………..33
1. Числовые ряды …………………………………………………………...33
2. Степенные ряды ………………………………………………………….40
3. Ряды Тейлора ……………………………………………...……………..42
4. Ряды Фурье ………………………………………………………………44
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ………………………………………..46
Контрольная работа №7 …………………………………………………….46
Контрольная работа №8 …………………………………………………….49