Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Министерство образования Саратовской области
МОУ "Средняя общеобразовательная школа №2 г. Пугачева
Саратовской области"
Международная научно - практическая конференция
«От школьного проекта - к профессиональной карьере».
Секция: В мире математики.
Проект на тему
«Задачи на концентрацию, смеси и сплавы».
Автор Сакш Юлия,
учащаяся 8а класса
МОУ СОШ №2 г. Пугачева
Саратовской области
Научный руководитель
Кочемазова Ольга Ивановна,
учитель математики
высшей квалификационной
категории МОУ «СОШ № 2
г. Пугачева Саратовской
области»
Адрес: 413720, г. Пугачев,
ул. Коммунистическая, д. 12
МОУ СОШ № 2, тел: 2-38-19
г. Пугачев-2013 г.
1
Оглавление
1. Введение…………………………………………………………………...………3
2. Цели и задачи проекта ………………………………………………...………….4
3. Основная часть…………………………………………………………...………..5
 Глава I. Теоретические основы ………………………………………..….....5
 Глава II. Различные способы решения задач ……………………...………..6
 Глава III. Практические задачи ………………………………………….…11
4. Заключение…………………………………………………………………….…16
5. Список источников информации………………………………….………..…..17
2
ВВЕДЕНИЕ
Задачи на смеси, сплавы и растворы включают в экзаменационные
варианты 11-го и 9-го класса, но многие ученики пропускают эти задачи, так
как испытывают сложности при их решении.
Задачи на смеси имеют практическую направленность. Например, мы
пьём чай и кладем в чашку столько сахару, чтобы не пересластить (создаём
нужную нам концентрацию), а если пересластили, то добавляем воды. Летом
мы ходим за грибами, затем их сушим. И мы понимаем, что чем дольше их
сушить, тем меньше в них остается воды, при этом масса сухого вещества не
меняется. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази, микстуры с
определенной концентрацией лекарственных веществ.
Решая задачи данного типа, мне нужно будет выделить компоненты,
которые изменяются, и те, что остаются неизменными. Измерять количество
компонентов смеси будем в единицах массы, а не объёма, так как изменения
массы происходят линейно, а изменения объёма - по более сложной
зависимости, и все равно приходится переходить к изменениям массы, но уже
используя плотность веществ.
Говоря о смесях, растворах и сплавах я буду употреблять термин
«смесь» независимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь
состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в
каждой задаче определяем отдельно.
Долей (с) основного вещества в смеси будем называть отношение массы
основного вещества (m) в смеси к общей массе смеси (М): с = m/М( 100%). Эта
величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах.
Для решения задач необходимо помнить:
-чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь;
-чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение
разделить на дробь.
В своей работе я рассмотрю различные способы решения задач и сделаю
вывод: достаточно ли будет этих знаний при подготовке к экзаменам в 9 и 11
классах?
3
ЦЕЛЬ МОЕЙ РАБОТЫ.
Научиться решать задачи на концентрацию, смеси и сплавы.
ЗАДАЧИ:

Познакомиться с теоретическими основами задач на концентрацию,
смеси и сплавы;

Рассмотреть различные способы решения задач на концентрацию, смеси
и сплавы;

Выяснить, как используются задачи в практической деятельности, при
подготовке к ГИА и ЕГЭ;

Провести анализ полученных результатов.
Мной были использованы методы исследования:
1.
2.
Теоретические: систематизация, обобщение, анализ.
Практические: поиск, консультации, обработка данных.
Апробация работы: моя работа нашла применение на уроках
математики в качестве дополнительного материала, на кружковых
занятиях.
4
Основная часть
Глава I. Теоретические основы.
Задачи на концентрацию, смеси и сплавы вызывают трудности,
связанные с неточным пониманием химических процессов. Необходимо иметь
в виду, что в задачах такого рода, предлагаемых на ГИА и ЕГЭ по математике,
никаких химических процессов, влияющие на количественные соотношения
задачи, не происходит.
Пусть в сосуде содержится 20 литров раствора,
который состоит из 5 литров кислоты и 15 литров воды. Относительное
содержание кислоты (по отношению ко всему объему) в растворе равно:
с=5/20=1/4=0,25. Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе.
Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В этом примере
процентное содержание 0,25•100%=25%, т.е. с•100%. Как видно, переход от
концентрации к процентному содержанию и наоборот довольно прост. В
дальнейшем понятие будем использовать не только в отношении растворов, но
и в отношении любых смесей или сплавов. Так, например, если в слитке олова
и меди весом 20 кг олова имеется 3кг, то это означает, что процентное
содержание олова равно 3/20•100%=15%, т.е. его концентрация в сплаве равна
с=0,15.
Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». «Чистое вещество»
определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом все остальные
вещества, составляющие смесь, относятся к «примеси».
Концентрация данного вещества в смеси – это отношение количества
чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси, если они измерены
одной и той же единицей массы.
с = m/М;
m = с•M;
M = m/c.
При этом 0≤ с≤ 1, в виду того, что 0≤ m≤ M.
Если с=0, то отсутствует «чистое вещество» в рассматриваемой смеси
(m=0).
Если с=1, то рассматриваемая смесь состоит из «чистого вещества»
(m=М).
Процентное содержание чистого вещества в смеси называют его долю,
выраженную в процентном отношении с•100%.
В задачах на эту тему делают следующие допущения:
все рассматриваемые смеси (растворы, сплавы) однородны;
не делаются различия между литром как единицей емкости и литром как
единицей массы.
5
Глава II. Различные способы решения задач.
Условия задач на концентрацию, смеси удобно записывать в виде
таблицы.
Задача. Сколько нужно взять 10%-го и 30% раствора марганцовки, чтобы
получить 200г 16%-го раствора марганцовки?
Решение:
Способ 1.
Пусть масса первого раствора – х г. Заполним таблицу по условию задачи:
с
10%, или 0,1
30%, или 0,3
16%, или 0,16
1-й раствор
2-й раствор
3-й раствор
М (г)
х
200-х
200
m (г)
0,1х
0,3(200-х)
0,16•200
Составим и решим уравнение:
0,1х +0,3(200-х)=0,16•200,
0,2х=28,
Х=140.
Ответ: 140г 10%-го и 60г 30%-го.
Способ 2.
Пусть масса первого раствора – х г, а масса второго раствора – у г. Заполним
таблицу по условию задачи:
с
10%, или 0,1
30%, или 0,3
16%, или 0,16
1-й раствор
2-й раствор
3-й раствор
М,г
х
у
200
Составим и решим систему уравнений:
х+у=200,
х=200-у,
0,1х+0,3у=32;
0,1(200-у)+0,3у=32;
m, г
0,1х
0,3у
0,16•200
х=140,
у=60.
Ответ: 140г 10%-го и 60г 30%-го.
Способ 3.
Решим задачу старинным способом по правилу «креста». Составим схему:
10
14
16
30
6
6
В левой колонке схемы записаны процентные содержания марганцовки в
имеющихся растворах. Посередине – процентное содержание марганцовки в
полученной смеси. В правой – разности процентных содержаний имеющихся
растворов и полученной смеси ( вычитаем из большего числа меньшее и
записываем разность на ту диагональ, где находятся, соответственно,
уменьшаемое и вычитаемое ).
Исходя из схемы, делаем вывод: в 200г смеси содержится 14 частей 10%го раствора и 6 частей 30%-го раствора. Найдем их массы:
200(14+6)•14=140г;
200(14+6)•6=60г.
Ответ: 140г 10%-го и 60г 30%-го.
Метод «стаканчиков»
Часто условие задачи удобно наглядно представить в виде рисунка,
например «стаканчиков».
Рассмотрим решение задачи «методом стаканчиков» (берутся два стакана с
растворами, которые сливаются в третий, и получается раствор новой
концентрации).
Задача. Смешали 500г 10% - го раствора соли и 400г 55 % - го раствора соли.
Определите концентрацию?
500г
400г
900г
вода
соль – 10%
вода
вода
+
соль – 55%
=
соль - ?%
Решение:
500 г -100%
х г - 10%. Из пропорции вычислим содержание соли в 10% растворе:
50г.
2.
400г -100%
х г - 55%. Из пропорции вычислим содержание соли в 55% растворе:
220г.
3.
Определим концентрацию соли в растворе: (50+220) : 900•100%=30%.
Ответ: 30%.
1.
7
Задачи на понижение концентрации
Задача. Сколько килограммов 5% - го раствора соли надо добавить к 15 кг
10%-го раствора той же соли, чтобы получить ее 8%- й раствор?
Решение.
Пусть добавили х кг 5%- го раствора соли. Заполним таблицу по условию
задачи:
Раствор
10%- ный
5%-ный
8%-ный
с
10%, или 0,1
5%, или 0,05
%, или 0,08
M(кг)
15
х
15+ х
m (кг)
0,1 · 15
0,05х
1,5+ 0,05х
Составим и решим уравнение:
1,5 + 0,05х = 0,08(15 + х)
1,5 + 0,05х = 1,2+ 0,08х
0,05х- 0,08х = 1,2 – 1,5
- 0,03х = - 0.3
Х= - 0,3: (-0,03)
Х= 10
Ответ: 10 кг.
Задачи на повышение концентрации
1. Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить,
чтобы новый сплав содержал 60% меди?
Заполним таблицу по условию задачи:
Было
Добавили
Новый сплав
с
45%=0,45
60%=0,6
М, кг
36
х
36+х
m,кг
36•0,45=16,2
х
16,2+х
Решение.
36•0,45=16,2 кг –меди содержится в данном сплаве. Пусть масса меди, которую
надо добавить в сплав, равна х кг, тогда (36+х)кг – масса сплава после
добавления меди, а масса меди в новом сплаве (16,2 +х)кг. Зная, что медь в
новом сплаве составила 60%, составим и решим уравнение:
16,2+х = (36+х)•0,6;
0,4х = 5,4;
Х= 13,5.
Ответ: 13,5 кг.
8
Задачи на « высушивание»
При решении этих задач необходимо знать, что все тела, вещества,
продукты содержат в себе воду, которая частично испаряется. Поэтому при
решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и
«сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.
Задача. Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было
накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?
Решение.
Заполним таблицу по условию задачи:
Масса в (т)
х
1,44
Трава
Сено
Содержание в (%)
100
100-28
Зависимость прямо пропорциональная. Составим и решим пропорцию
х
100
, откуда х=1,44•100:72=2 т.

1,44 72
Ответ: 2 т.
Задачи на смешивание растворов разных концентраций
Задача. Один раствор содержит 20% соли, а второй- 70% . Сколько граммов
первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го
солевого раствора?
Решение.
Решим задачу по правилу «креста».
Составим схему:
20
20
50
70
30
Значит, 100 г смеси составляет 50 частей.
Одна часть – 100: (30+ 20) = 2(г), 70%-й раствор- 2∙ 30 = 60 (г), 20%-й раствор –
2 ∙20 = 40(г).
Ответ: 20%-го 40г, 70%-го 60г.
Задача. При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140г
30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято?
Решение.
9
Пусть взяли х г 5%-го раствора кислоты.
Заполним таблицу по условию задачи:
с
5%-й
0,05
40%-го
0,4
Смесь
0,3
Составим и решим уравнение:
0,05х+ 0,4∙(140 – х) = 0,3 ∙ 140
0,05х + 56 – 0,4х = 42
0,05х – 0,4х = 42 – 56
-0,35х = -14
Х= -14:(-0, 35)
Х= 40.
Ответ: 40г 5%-го и 100г 40%-го.
M, г
х
(140-х)
140
m, г
0,05х
0,4(140-х)
0,3•140
10
Глава III. Практические задачи.
«В задачах, которые ставит перед нами жизнь,
экзаменатором является сама природа»
У. Сойер
Выделим значение растворов в медицине и жизни человека:
•
для засолки огурцов: (для засола огурцов используют 7% водный раствор
поваренной соли (хлорида натрия NaCl). Именно такой раствор в достаточной
мере подавляет жизнедеятельность болезнетворных микроорганизмов и
плесневого грибка, и в то же время не препятствует процессам молочнокислого
брожения.)
•
для приготовления столового уксуса: (столовый уксус- 9% раствор уксуса
в воде, в магазине продаётся 70% раствор)
•
йодная настойка – раствор йода в спирте (5%)
•
физиологический раствор: (рассчитывают массу соли, которая вводится в
организм при вливании 353г физиологического раствора, содержащего 0,85%
по массе поваренной соли).
Рассмотрим решения задач, применяемых в реальных жизненных ситуациях.
Задача. По рецепту хозяйке необходимо 300 г раствора уксусной кислоты. Но
у нее было лишь 200г 96% уксусной эссенции и 100г 6% раствора столового
уксуса. Определите концентрацию нового раствора уксусной кислоты.
Помогите хозяйке решить эту проблему.
Решение
Для решения задачи составим схему:
200г
I
+
96%=0,96
100г
II
6%=0,06
=
300г
III
х
Пусть х – количество уксусной кислоты в новом растворе. Составим и решим
уравнение:
200•0,96+100•0,06= х•300;
198=х•300;
х=198:300;
х=0,66.
0,66∙ 100% = 66%.
Ответ: 66%.
11
Задача. Стилист попросил хозяйку помочь ему решить следующую задачу: у
нас в салоне имеется два раствора перекиси водорода 30% и 3% . Нужно их
смешать так, чтобы получился 12% раствор. Не поможете ли им подыскать
правильную пропорцию?
Решение
Для решения задачи составим схему:
хг
уг
I
+
II
30%=0,3
=
3%=0,03
(х+у)г
III
12%=0,12
Пусть х г – масса 30%-го раствора, тогда у г – масса 3%-го раствора. Составим
и решим уравнение:
х•0,3+0,03у=0,12•(х+у);
0,3х+0,03у=0,12х+0,12у;
0,3х-0,12х=0,12у-0,03у;
0,18х=0,09у;
х:у=0,09:0,18;
х:у=1:2.
Ответ: 1:2.
Задача.
Для засолки огурцов хозяйка в сосуд, содержащий 2 кг 70 % -го водного
раствора уксуса, добавила 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося
раствора уксусной кислоты.
Решение.
Наименование
веществ, смесей
Исходный раствор
Вода
Новый раствор
С,% содержание
(доля) вещества
70 % = 0,7
х % = 0,01х
М, масса раствора m, Масса
(кг)
вещества (кг)
2
3
5
0,7·2
0,01х·5
Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:
0,01х·5 = 0,7·2;
0,05х = 1,4;
х = 1,4:0,05;
х = 28
Значит, концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна
28 ∙100%=28 %.
Ответ: 28%.
12
В открытом банке задач на сайте ФИПИ есть задачи ГИА и ЕГЭ – 2012г.
на концентрацию. Рассмотрим их решение «методом стаканчиков» (берутся два
стакана с растворами, которые сливаются в третий, и получается раствор новой
концентрации).
Задача.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 % никеля, второй- 30%
никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг,
содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава
меньше массы второго?
Решение:
Сплав
Никель
Х кг
10% = 0,1
0,1х кг
(200-Х) кг
30% = 0,3
0,3(200-х)кг
+
=
200 кг
25% = 0,25
0,25•200 кг
Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса второго сплава (200-х) кг.
Масса никеля в первом сплаве 0,1 х кг, во втором – 0,3(200-х) кг, а в третьем
0,25• 200 кг.
Составим уравнение:
0,1х + 0,3 (200-х) = 0,25 • 200;
х = 50.
Значит, 50кг -масса 1 сплава, тогда 200 – 50 = 150 кг.- масса 2 сплава, 150 – 50
= 100 кг (на столько килограммов масса первого сплава меньше массы второго).
ОТВЕТ: 100 кг.
Задача.
В сосуд содержащий 5 л 12%-го водного раствора некоторого вещества ,
добавили 7 л воды.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Рисуем три стакана и начинаем записывать условие задачи. Проценты заменяем
дробью от числа.
Концентрация вещества во втором стакане равна 0% т.к добавили воду.
Раствор
Вещество
5л
12% = 0,12
0,12•5
+
7л
0%
0•7
=
12л
Х% = 0,01х
0,01х•12
Концентрацию получившегося раствора нужно найти. Обозначим её за х%, что
составляет 0,01х всего раствора.
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на эту дробь. Таким
образом, найдем объём вещества, содержащегося в каждом стакане.
13
Объём вещества в третьем стакане равен сумме объёмов веществ в 1-м и 2-м
стаканах.
Составим уравнение:
0,12 • 5 + 0 = 0,01х • 12,
откуда х = 0,6 : 0,12 = 5%
Ответ: 5 %.
На уроке химии я провела следующий опыт:
В 180 г дистиллированной воды добавили 20 г соли. Вычислите содержание
растворенного вещества в полученном растворе в процентах.
Оборудование:
соль, вода, колба, мерный цилиндр, столовая ложка, весы.
Ход работы:
1) Приготовить раствор соли.
2) Вычислить содержание соли в полученном растворе ( в % ).
Решение.
20+180=200 (г) – масса раствора.
20:200•100%=10% - содержание соли
в растворе.
Ответ: 10%.
Задача ГИА-2011г.
Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве
содержится 30%, а во втором – 55 % золота.
В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них
новый сплав, содержащий 40 % золота?
Решение:
1 сплав
2 сплав
Новый сплав
с
30%=0,3
55%=0,55
40%=0,4
М
х
у
х+у
m
0,3х
0,55у
0,4(х+у)
Составим и решим уравнение:
0,3х + 0,55у = 0,4(х+у);
30х + 55у = 40х + 40у;
6х + 11у = 8х + 8у;
3у = 2х.
Отсюда: х:у = 3:2.
ОТВЕТ: 3:2.
14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Я познакомилась с задачами на концентрацию, смеси и сплавы,
научилась их решать различными способами, рассмотрела их применение в
практической деятельности. Пришла к выводу, что знание о решении таких
задач помогут мне при подготовке к предстоящим экзаменам в 9 и 11 классах. Я
достигла цели, выполнила поставленные задачи и надеюсь, что убедила вас в
важности умения решать такие задачи. Также, пришла к мнению, что все
способы решения интересны и нужны, но способ решения с помощью таблицы
показался мне самым надёжным. Надеюсь, что мой проект вам будет полезен и
интересен, поможет успешно подготовиться к экзаменам!
Выводы:
 Познакомилась с теоретическими основами задач на концентрацию,
смеси и сплавы;
 Рассмотрела различные способы решения задач на концентрацию, смеси
и сплавы;
 Выяснила, как используются задачи в практической деятельности, при
подготовке к ГИА и ЕГЭ;
 Провела анализ полученных результатов.
15
Список источников информации:
1.
Алгебра-9: учебник. авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,
К.Н. Нешков, С.Б. Суворова, Просвещение, 2011г.
2.
Прокопенко Н. И. Задачи на смеси и сплавы. – М.: Чистые пруды, 2010г.
3.
Математика. Методический журнал для учителей математики,
ноябрь,№10.Издательский дом «Первое сентября»,2012г. Электронная версия.
4.
Интернет - ресурсы.
16