Основные формулы и понятия

КРИСТАЛЛООПТИКА
Длительность: 90 минут
Навыки и умения: умение использовать закон Малюса для вычисления
интенсивности
естественного
света,
прошедшего
через
систему
двух
поляризаторов; умение вычислять степень поляризации; умение использовать
формулы Френеля для расчета интенсивностей компонент отраженной и
преломленной волны
Замечания: задачи отмеченные желтым маркером можно опустить, задачи
отмеченные зеленым маркером можно опустить для некоторых групп.
Аудиторные задания: 190; 191; 195; 201; 206; 209 213;208
Домашние задания: 192; 207
Основные формулы и понятия
Если кристаллическая пластинка из одноосного кристалла вырезана
параллельно оптической оси, то при нормальном падении волны на нее, она
раскладывается на обыкновенную и необыкновенную, распространяющиеся в
пластинке с показателями преломления no и nе. Эти волны имеют линейную
поляризацию, направления их поляризации перпендикулярны. Направление
поляризации обыкновенной волны перпендикулярно оптической оси.
На выходе из пластинки толщиной d эти волны приобретают разность фаз

Четверть
2
(no  ne )d

волновая
(1)
пластинка
–
это
пластинка
с
толщиной,
удовлетворяющей условию
(no  ne )d 
 
 m.
4 2
(2)
Полуволновая пластинка – это пластинка с толщиной, удовлетворяющей
условию
(no  ne )d 

 m ,
2
65
(3)
где m – целое число.
При распространении света в некоторых средах происходит вращение его
плоскости поляризации. При естественном вращении угол поворота плоскости
поляризации
ест  []cL .
(5)
Угол поворота в эффекте Фарадея – вращении плоскости поляризации в
магнитном поле
 маг  VHL
(6)
Здесь [α] – удельная постоянная вращения, с – концентрация активного
вещества, L – длина пройденного пути, V – постоянная Верде, Н –
напряженность магнитного поля.
Аудиторные задания
5.190. Узкий пучок естественного света с длиной
волны λ=589 нм падает нормально на поверхность
призмы Волластона, сделанной из исландского
шпата, как показано на рисунке. Оптические оси
α
θ
обеих частей призмы взаимно перпендикулярны.
Найти угол α между направлениями пучков за
призмой, если угол θ=30.
Решение. В призме в левой части распространяются две волны, одна с
показателем n0 = 1,658, другая с показателем nе = 1,486, которые падают на
границу раздела под углом θ. Каждая из этих волн вызывает появление двух
волн в правой части призмы. Определим угол преломления для этих волн. Если
падает обыкновенная волна, то она преобразуется в необыкновенную, так как
оптические
оси
перпендикулярны
друг
другу,
необыкновенной угол преломления
sin 1 
no
n
sin   o .
ne
2ne
66
для
преломленной
Если падает необыкновенная волна, то она становится обыкновенной и для нее
угол преломления
sin 2 
ne
n
sin   e .
no
2no
Подставляя значения находим разность углов α = β1–β2. Для точного
определения угла расхождения нужно для каждой из этих волн найти угол
преломления на границе кристалл–воздух.
Ответ: α=11
5.191. Какой характер поляризации имеет плоская электромагнитная волна,
проекции вектора Е которой на оси х и у, перпендикулярные к направлению ее
распространения, определяются следующими уравнениями:
а) Ex  E cos(t  kz ) ; E y  E sin(t  kz ) ;
б) Ex  E cos(t  kz ) ; E y  E cos(t  kz   / 4) ;
в) Ex  E cos(t  kz ) ; E y  E cos(t  kz  ) ;
Решение. В этой задаче надо найти кривую, которую описывает конец вектора
Е, поэтому вводя обозначения x 
Ey
Ex
и y
, ищем зависимость y ( x) .
E
E
а) Выразим во втором уравнении синус через косинус, вместо синуса подставим
у, а вместо косинуса х. Находим, y  1  x 2 . Возводим в квадрат, находим, что
координаты х и у конца вектора Е связаны между собой уравнением
x2 y 2

 1 , т.е. конец вектора описывает окружность. Следовательно, волна
2
2
поляризована по кругу.
б) Для этих зависимостей координаты конца вектора следующие:
x  cos(t  kz ) ;
y  cos(t  kz )cos( / 4)  sin(t  kz )sin( / 4) 
1
1

(cos(t  kz )  sin(t  kz )) 
( x  1  x2 )
2
2
67
Возводим в квадрат, находим, что координаты связаны между собой
уравнением
2 y 2  2 x 2  2 2 xy  1 .
Найдем форму этой кривой, избавившись от произведения xy . Для этого
перейдем в систему координат Х’Y’, повернутую относительно Х на угол α
против часовой стрелки:
x  x 'cos   y 'sin  ; y  x 'sin   y 'cos  .
После подстановки в исходное уравнение, находим, что смешанный член
становится равным нулю при α = π/4 и в этой системе координат принимает
вид:
2(1  2)( x ') 2  2(1  2)( y ') 2  1 .
Или его можно переписать еще таким образом
( x ')2
( y ')2

 1.
1
1
2(1  2) 2(1  2)
Видно, что большая ось эллипса направлена вдоль x', т.е. под углом π/4 к оси х.
в) второе уравнение
y   cos(t  kz )   x .
Получившаяся зависимость линейная, следовательно, свет поляризован
линейно, вдоль
y  x .
Ответ: для правой системы координат:
а) круговая поляризация, против часовой стрелки, если смотреть
навстречу волне;
б) эллиптическая, по часовой стрелке, если смотреть навстречу волне,
большая ось эллипса совпадает с прямой у = х.
в) плоская поляризация, вдоль прямой у = –х
5.195. Белый естественный свет падает на систему из двух скрещенных
поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная
68
параллельно оптической оси, толщиной 1,50 мм. Ось пластинки составляет
угол 45 с плоскостями пропускания поляризаторов. Прошедший через эту
систему свет разложили в спектр. Сколько темных полос будет наблюдаться
в интервале длин волн 0,55–0,66 мкм? Разность показателей преломления
необыкновенного и обыкновенного лучей в этом интервале длин волн считать
равной 0,0090.
Решение. После первого поляризатора свет будет поляризован линейно. Чтобы
интенсивность
света
была
минимальная
после
второго
поляризатора,
необходимо, чтобы свет, падающий на второй поляризатор (анализатор), был
поляризован линейно и перпендикулярно плоскости пропускания анализатора,
Таким образом, чтобы после анализатора интенсивность была минимальна свет
с данной длиной волны, прошедший через кварцевую пластинку, должен
сохранить линейную поляризацию и ориентацию плоскости поляризации.
Такому условию отвечает пластинка в целое число длин волны. Поэтому для
оптической разности хода на пути d равном толщине пластинки можно
записать следующее условие
n  d  m ,
где m принимает целые значения. Подставляя длины волн из приведенного
интервала, находим, что m принимает значения от 24,5 до 20,4. Целых значений
на этом интервале всего четыре.
Ответ: будет наблюдаться четыре темные полосы.
5.201. Как с помощью поляроида и пластинки в четверть волны, изготовленной
из положительного одноосного кристалла (ne > no) отличить:
а) свет лево-поляризованный по кругу от право-поляризованного;
б) естественный свет от поляризованного по кругу и от смеси
естественного света с поляризованным по кругу?
Решение.
а)
Разложим
циркулярно-поляризованный
свет
на
перпендикулярные
компоненты по осям, совпадающим с главными направлениями в кристалле (X
параллельно оптической оси, а Y
перпендикулярно ей). Тогда для право69
поляризованного света Ех = Е∙cosα, Еy = Е∙sinα, а для лево-поляризованного
света Ех = Е∙cosα, Еy = –Е∙sinα где α = t–kz. После прохождения пластинки в
четверть длины волны эти составляющие приобретут разность фаз δ = π/2. И
выражения
для
них
будут
следующими:
для
право-поляризованного
Ех = Е∙cosα’, Еy = Е∙sin(α’+π/2)= Е∙cos(α’)= Ех, т.е. свет будет поляризован
линейно под углом π/4 к оси Х; для лево-поляризованного Ех = Е∙cosα’, Еy = –
Е∙sin(α’+π/2) = Е∙cos(α’) = –Ех, т.е. свет будет поляризован линейно под углом –
π/4 к оси Х. Поэтому, если наибольшая интенсивность света наблюдается когда
плоскость анализатора повернута относительно оптической оси влево, то свет
лево-поляризованный, в противоположном случае – вправо.
б) Естественный свет, пройдя пластинку, не меняет состояние поляризации.
Поэтому, при вращении анализатора интенсивность света не меняется, если
свет поляризован по кругу, то, проходя через пластинку, его поляризация
становится линейной, поэтому при вращении анализатора на 360  имеется два
положения, различающихся на 180, при которых интенсивность максимальна и
два положения, при которых она равна нулю. Если свет – смесь естественного и
поляризованного по кругу, то поляризованная компонента после пластинки
становится поляризованной линейно и на выходе из пластинки свет будет
содержать
естественную
составляющую
и
линейно
поляризованную
составляющую. Свет, проходя через анализатор, будет иметь максимальную
интенсивность
при
совпадении
плоскости
анализатора
с
плоскостью
поляризованной составляющей. Интенсивность будет минимальной, но не
равной нулю, когда плоскость поляризатора будет перпендикулярна плоскости
поляризованной составляющей.
Ответ: а) если свет право-поляризованный по кругу (для наблюдателя), то за
пластинкой в четверть волны он становится линейно поляризованным, причем
направление колебаний светового вектора составляет угол +45  с осью
кристалла; для лево-поляризованного света этот угол будет равен –45.
70
б) Если при вращении поляроида (расположенного за пластинкой) при любом
положении пластинки интенсивность прошедшего света не меняется – свет
естественный, если меняется и падает до нуля, то свет поляризован по кругу;
если меняется, но не падает до нуля, то свет – смесь естественного и
поляризованного по кругу.
5.206. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух
скрещенных
пластинка,
поляризаторов,
вырезанная
между
которыми
перпендикулярно
к
находится
оптической
кварцевая
оси.
Найти
минимальную толщину пластинки, при которой эта система будет
пропускать  = 0,30 светового потока, если постоянная вращения кварца
α = 17 угл.град/мм.
Решение. После первого поляризатора свет поляризован линейно. Кварцевая
пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси, вращает плоскость
поляризации. После кварцевой пластинки свет поляризован линейно, но его
плоскость поляризации повернута относительно первоначального направления
на угол θ и составляет угол φ=π/2–θ с плоскостью пропускания анализатора.
Поэтому по закону Малюса интенсивность света после анализатора
I
I0
I
cos2   0 sin 2   I 0 .
2
2
Поскольку θ = αd, то
d min 
1
arcsin 2  0,003 м .

5.209. Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными поляризаторами
так, что направление электрического поля Е в конденсаторе образует угол 45 
с плоскостями пропускания поляризаторов. Конденсатор имеет длину l = 100
мм и заполнен нитробензолом. Через систему проходит свет с λ = 0,50 мкм.
Имея в виду, что в данном случае постоянная Керра В = 2,2∙10–10 см/В2,
определить:
71
а) минимальную напряженность электрического поля Е в конденсаторе,
при которой интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет
зависеть от поворота заднего поляризатора:
б) число прерываний света в одну секунду, если на конденсатор подать
синусоидальное напряжение с частотой =10 МГц и амплитудным значением
напряженности Ет=50 кВ/см.
Примечание. Постоянной Керра называют коэффициент В в формуле
ne  no  BE 2 .
Решение.
а) Независимость интенсивности света от поворота анализатора означает, что
свет после ячейки поляризован по кругу. То есть обыкновенная и
необыкновенные волны отличаются по фазе на π/2. Следовательно, оптическая
разность хода
n  l  B    l  E 2 
 m
.

4 2
Откуда следует величина поля для круговой поляризации
Emin 
1
 10,6 кВ / см .
4 Bl
б) Прерывания будут происходить тогда, когда свет после ячейки будет иметь
ту же поляризацию, с той же ориентацией плоскости поляризации, что и у
падающего на ячейку света. Это имеет место, когда оптическая разность хода
между обыкновенной и необыкновенной волнами кратна длине волны (m = 0, 1,
2,…):
n  l  B    l  E 2  B    l  E 2  cos 2 (2      t )  m
Отсюда находим, что это имеет место в моменты времени, в которые
выполняется равенство:
cos 2 (2t ) 
m
m

.
lE02 B 5,5
72
Таким образом, m может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. На одном периоде
колебаний квадрат косинуса принимает одно из значений
m
двадцать два
5,5
раза. Поскольку, по условию, в одну секунду укладывается 107 периодов, то
количество прерываний света за одну секунду будет равно 22∙107.
Ответ: а) Emin 
1
 10,6 кВ / см ; б) 2,2∙108 прерываний в секунду.
4 Bl
5.208. Линейно поляризованный свет с длиной волны 589 нм проходит вдоль оси
цилиндрического стеклянного сосуда, заполненного слегка замутненным
раствором сахара с концентрацией 500 г/л. При наблюдении сбоку видна
система винтообразных полос, причем расстояние между соседними темными
полосами вдоль оси равно 50 см. Объяснить возникновение полос и определить
удельную постоянную вращения раствора.
Решение.
Интенсивность рассеяния света в направлении колебаний электрического
вектора световой волны равна нулю, поэтому в тех местах, где колебания Е
происходят в направлении наблюдателя, он видит темные полосы.
Сахар
вращает плоскость поляризации света, т.е. при распространении волны вдоль
сосуда в зависимости от пройденного пути вектор Е в ней по-разному
ориентирован на наблюдателя. Угол поворота плоскости поляризации (5):
  []cL
Соседние темные полосы расположены на расстоянии, на котором вектор Е
поворачивается на 180. Таким образом, удельное вращение
[] 

180
угл.град 2

 0,72
м
cL 500  0,5
кг
5.213. Трубка с бензолом длины l = 26 см находится в продольном поле
соленоида, расположенного между двумя поляризаторами. Угол между
плоскостями пропускания поляризаторов равен 45. Найти минимальную
напряженность магнитного поля, при которой свет с длиной волны 589 нм
будет проходить через эту систему только в одном направлении (оптический
73
вентиль). Как будет вести себя оптический вентиль, если изменить
направление данного магнитного поля на противоположное?
Решение.
На данной длине волны постоянная Верде для бензола
V
2,59 угл.град
угл.град
.
 4,3  102
60
А
А
Чтобы свет прошел через второй поляризатор, плоскость поляризации света
должна быть параллельная плоскости пропускания второго поляризатора, т.е.
после прохождения трубки с бензолом плоскость поляризации должна
повернуться на 45 относительно плоскости пропускания первого поляризатора.
Если свет, после прохождения трубки, отразится от зеркала и пойдет в
обратном направлении, то плоскость поляризации света еще повернется на 45
и суммарный угол поворота плоскости поляризации света, прошедшего по
трубке в обоих направлениях, составит 90 с плоскостью пропускания первого
поляризатора, т.е. свет не пройдет через первый поляризатор. Таким образом,
из (6) находим:
B

45
A

 4025
Vl 0,043  0,26
м
Если поменять направление поля, то направление, в котором пропускается свет,
изменится на противоположное.
Домашние задания
5.192. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При
повороте поляризатора обнаружили, что наименьшая интенсивность света
равна I0. Если же перед поляризатором поместить пластинку в четверть
волны, оптическая ось которой ориентирована под углом 45 к плоскости
пропускания поляризатора, то интенсивность света за поляризатором
становится равной I0, где  = 2,0. Найти степень поляризации падающего
света.
Решение. Интенсивность частично поляризованного света
74
I ч  I ест  I пол .
Наименьшая интенсивность частично поляризованного света с одной стороны
равна половине естественной составляющей, а с другой стороны равна I0:
I min  0,5I ест  I 0 ,
а максимальное значение интенсивности после поляроида
I max  0,5I ест  I пол  I 0  I пол .
По определению состояние поляризации
P
I max  I min
I пол

I max  I min 2 I 0  I пол
Если перед поляроидом поместить пластинку в четверть волны, то естественная
составляющая
пройдет
через
нее
без
изменений,
а
поляризованная
составляющая на выходе из пластинки даст волну, поляризованную по кругу, с
интенсивностью равной интенсивности поляризованной составляющей. То есть
после
пластинки
волна
будет
иметь
естественную
составляющую
и
составляющую, поляризованную по кругу. Естественная составляющая, пройдя
через поляроид, уменьшит свою интенсивность в два раза, циркулярнополяризованная составляющая пройдет также уменьшит свою интенсивность в
два раза, т.е. интенсивность волны после поляроида будет
0,5I ест  0,5I пол  I 0  0,5I пол  I 0 .
Из этого уравнения находим выражение для интенсивности поляризованной
составляющей в падающем свете
I пол  2 I 0    1
Таким образом, степень поляризации
P
Доказательство
того,
I пол
2(  1)
 1


 0,5
2 I 0  I пол 2  2(  1)

что
циркулярно-поляризованная
волна
прохождения поляризатора уменьшит свою интенсивность в 2 раза.
75
после
Eпол
O

E2

П
E1

П
O'
На рисунке ПП’ – положение плоскости пропускания поляризатора, OO’ –
положение оптической оси четверть волновой пластинки. Епол – амплитуда
электрического вектора поляризованной составляющей в падающей волне.
После пластинки этот вектор раскладывается на две линейно поляризованных
волны с амплитудами электрических векторов E1  Eпол cos   E2 , (где учтено,
что φ=45), плоскости поляризации этих волн перпендикулярны друг другу.
Интенсивности первой и второй волн, прошедших через поляризатор, согласно
закону Малюса
I1'  I1 cos 2   I пол cos 4   I 2' ,
а общая интенсивность волны, прошедшей через поляризатор
I  I 1'  I 2'  2I пол cos4  
I пол
.
2
5.207. Свет проходит через систему из двух скрещенных поляризаторов,
между
которыми
расположена
кварцевая
пластинка,
вырезанная
перпендикулярно к оптической оси. Определить минимальную толщину
пластинки, при которой свет с длиной волны 436 нм будет полностью
задерживаться этой системой, а свет с длиной волны 497 нм – пропускаться
наполовину. Постоянная вращения кварца для этих длин волн равна
соответственно 41,5 и 31,1 угл.град/мм.
Решение. Для первой волны угол поворота должен быть θ1= π/2+π∙n1=α1∙d, а
для второй волны θ2=π/4+π∙n2/2=α2∙d. Из частного от деления этих уравнений
находим
76
n1 
1
1 1
(n2  )  ,
2 2
2 2
после подстановки в первое уравнение находим толщину d . Можно найти эти
значения из пересечения прямых d(n1) и d(n2).
Ответ: 8,7 мм
77