Document 380714

Лекция 10
Вращение системы. Сохранение углового момента
Моменты силы и импульса относительно оси. Вращение системы вокруг неподвижной оси. Закон сохранения углового момента. Момент инерции. Кинетическая энергия вращательного движения. Работа сил, сообщающих телу
вращение. Примеры сохранения углового момента. Скамья Жуковского.
Проецируя уравнение моментов на оси прямоугольной системы координат, проходящие
через точку О, получим три скалярных уравнения:
Lk  M kвнеш ,
Здесь величины
Lk и M k ,
(k = x,y,z).
(10.1)
(k = x, y, z) называются моментами импульса и силы относи-
тельно соответствующей оси. В частности, уравнение
dLz
 Mz
dt
(10.2)
Рис. 10.1
является уравнением моментов относительно оси Z. Если относительно какой-либо неподвижной оси суммарный момент сил равен нулю, то относительно соответствующей оси момент импульса сохраняется. Это закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси.
Для выяснения геометрического смысла момента силы (или импульса) относительно оси
представим вектор r в виде суммы составляющих, параллельных и перпендикулярных оси Z ,
а F - также на радиальную составляющую (рис. 10.1).
r  r  r , F  F  F  Fr .
(10.3)
С учетом (10.3) момент силы относительно точки О примет вид
M   r F    r F    r F    r F   r Fr   r Fr  .
Четвертый и пятый члены в правой части, как векторное произведение параллельных векторов, равны нулю, а второе, третье и последнее слагаемые – это векторы, перпендикулярные оси Z, проекции которых на Z равны нулю. Значит, проекция момента силы на ось Z будет
M   r F  .
(10.4)
Таким же образом проекция момента импульса на ось Z будет
L   r p  .
(10.5)
Одним из наиболее распространенных движений в природе является вращение системы
вокруг неподвижной оси. Астрономические наблюдения показывают, что вращение вокруг
осей, проходящих через их центры инерции, характерно не только планетам, отдельным или
двойным звездам, но и скоплениям звезд, галактикам и их группам. Вообще, если в механической системе частицы совершают финитные движения, то это в основном вращения вокруг
различных осей, проходящих через центр инерции. С подобными движениями мы встречаемся
как в атмосфере, водоемах, так и в электрических и механических устройствах.
Момент импульса относительно оси вращения обычно называют угловым моментом (angular momentum).
Связь углового момента с угловой скоростью.
Рассмотрим частицу массой m, которая кроме вращения вокруг неподвижной оси Z со ско вр 
 [r ] , совершает также движение параллельно оси со скоростью v , и радиростью v
альное движение (удаляющее частицу от оси или приближающее к ней) - со скоростью
v рад
(рис. 10.2):
v  [r ]  v  v рад .
(10.6)
Момент импульса частицы, как было показано выше, обусловлен только скоростью вращательного движения
[r ] :
L  m[r [r ]]  mr2   I  ,
(10.7)
так как моменты импульсов параллельных оси и радиальных движений относительно точки С
перпендикулярны оси Z.
Рис. 10.2
Величина
I  mr2
в полученном выражении, то есть произведение массы частицы на ее
расстояние от рассматриваемой оси, называется моментом инерции частицы относительно оси Z.
Теперь рассмотрим систему из n частиц, которая вращается вокруг неподвижной оси Z,
проходящей через ее центр инерции С, причем скорость
vi
каждой i-той частицы выражается
формулой (10.6). Когда частицы вращаются с разными угловыми скоростями
i ,
то говорят,
что вращение системы дифференциально, а если все частицы вращаются с одинаковой угловой скоростью  – то вращение однородно. Частным случаем однородного вращения является вращение твердого тела, при котором отсутствуют составляющие скорости
vII
и
v рад .
В дифференциально вращающейся системе силы диссипативного взаимодействия стремятся уравнять угловые скорости вращения разных частиц. Благодаря этому, дифференциальное
вращение через некоторое время переходит в однородное. Так что, рассмотрим случай однородного вращения.
Момент импульса i-той частицы относительно оси вращения однородно вращающейся системы определится согласно формуле (10.7):
Li  mi ri  2   I i i ,
(10.8)
а полный угловой момент системы будет:
n
L   Li   mi ri  2  I  ,
(10.9)
i 1
где
n
n
i 1
i 1
I   I i   mi ri 2
(10.10)
- момент инерции системы относительно оси Z.
Заметим, что момент инерции системы определяется как величина аддитивная: он
равен сумме моментов инерций составляющих систему частиц. Момент инерции – есть характеристика распределения массы системы вокруг рассматриваемой оси.
Основной результат, полученный в данном подпункте, выражается формулой (10.9): угловой момент системы, вращающейся вокруг неподвижной оси, равен произведению момента
инерции системы относительно этой оси и угловой скорости вращения.
Уравнение динамики вращательного движения.
Подставляя формулу (10.9) в уравнение моментов (10.2), получим основное уравнение
динамики однородно вращающейся системы вокруг неподвижной оси
d
 I   M
dt
.
(10.11)
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, I- постоянная величина, и ее
можно вынести из-под знака дифференциала:
I
d
M
dt
.
(10.12)
Полученное является основным уравнением динамики вращательного движения твердого
тела вокруг неподвижной оси (аксиального движения).
Из уравнения динамики вращательного движения (10.11), в частности, следует закон сохранения углового момента
если M  0, то L  I  t    t   const .
(10.13)
То есть, если суммарный момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то
угловой момент системы сохраняется.
Частицы однородно вращающейся системы благодаря радиальной составляющей скорости
могут удаляться от оси вращения или приближаться к ней. Благодаря этому момент инерции
системы (10.10) будет меняться. Согласно закону сохранения углового момента (10.13), соответствующие изменения должны происходить и с угловой скоростью. Скоро мы обсудим несколько примеров, поясняющих этот закон.
Кинетическая энергия вращательного движения.
Полная кинетическая энергия системы, вращающейся вокруг неподвижной оси, равна
mi vi2
К 
 K вр  K рад  K
2
i 1
n
(10.14)
где учтено представление скорости (10.6).
Кинетическая энергия вращательного движения - это энергия, обусловленная только вращением:
1 n
1 n
2 n
 вр  2
2
К вр   mi vi
  mi [ri  ] 
 Ii ,
2 i 1
2 i 1
2 i 1
где учтены соотношения
vi  [ri ]
и (10.10).
Значит, кинетическая энергия вращения системы вокруг неподвижной оси выражается формулой
Квр  I 2 2  L2 2I .
(10.15)
Работа силы, сообщающей телу вращение.
Для передачи системе вращательного движения, силы, действующие на систему, должны
совершить работу. Причем, связь между кинетической энергией и совершенной работой дается теоремой о кинетической энергии. Разделяя силы на внутренние и внешние, будем иметь
Квр   Aвнут   Aвнеш .
Здесь отметим следующее важное обстоятельство. Внутренние силы могут менять как полную кинетическую энергию, так и кинетическую энергию вращательного движения. Однако
изменение кинетической энергии вращательного движения они осуществляют за счет изменения момента инерции системы (см. (10.15)): внутренние силы не могут вызвать изменение
момента импульса системы. Следовательно, какую бы работу не совершали внутренние
силы, они не могут сообщить невращающейся системе кинетическую энергию вращения.
Невращающейся системе вращение могут сообщить только внешние силы. Этот
факт содержится в формуле расчета работы, необходимой для сообщения системе вращательного движения. Получим эту формулу.
На элементарном перемещении
dri   d ri 
i-той частицы, сила, действующая на нее, со-
вершает работу
 Ai  Fi dri  Fi  d ri   d  ri Fi   M i d.
Так как угловое перемещение частицы dφ направлено по оси вращения Z, то полученное
выражение получит следующий вид
 Ai  M i d   M iвнеш  M iвнут  d .
Для полной работы, учитывая равенство нулю суммарного момента внутренних сил, будем
иметь
 A  M внеш d
.
(10.16)
Работа внешних сил, необходимая для перемещения системы на конечный угол, будет

A   M внеш d .
(10.17)
0
Примеры сохранения углового момента системы. Скамья Жуковского.
Для иллюстрации закона сохранения углового момента можно провести поучительные
опыты на устройстве, называемом скамьей Жуковского. Это - диск, который может свободно
вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 10.3а). В состоянии вращения на систему диск +
экспериментатор момент внешних сил относительно оси вращения могут создавать воздух и,
что более важно, силы трения, возникающие в месте соединения вертикальной оси с диском.
Последние силы значительно ослабляются применением подшипников. Так что вращательным
моментом указанных сил, при кратковременных вращениях системы, можно пренебречь и
считать условия сохранения углового момента системы диск + экспериментатор выполненными.
рис. 10.3а
рис. 10.3б
Пусть экспериментатор, держа в вытянутых руках гантели, вращается вместе с диском с
угловой скоростью  (рис.10.3а). Согласно закону сохранения углового момента, внутренние
силы системы диск + экспериментатор ни коим образом не могут изменять полный угловой
момент системы. Если экспериментатор приблизит гантели к оси вращения, то в это время будет наблюдаться увеличение угловой скорости системы (рис.10.3б). Это понятно, так как при
приближении гантелей к оси вращения экспериментатор уменьшает момент инерции системы
2
относительно этой оси на величину 2mR . Так что для сохранения углового момента необходимо увеличение угловой скорости, что и наблюдается в эксперименте.
Если обозначить момент инерции системы диск + экспериментатор в конечном состоянии
(б) через
I0 ,
то в обсуждаемом эксперименте для сохранения углового момента можем запи-
сать
I
0
 2mR 2    I 0 0 ,
(10.18)
Откуда

2mR 2
0  1 
I0


   .

(10.19)
Значит, во сколько раз уменьшается момент инерции системы, во столько же раз увеличивается ее угловая скорость.
Это явление широко используется в балете, в фигурном катании, других видах спорта.
Для фигуриста, вращающегося на коньках, полностью выполнены условия закона сохранения углового момента,
так как сила трения между коньками и льдом практически отсутствует. Для выполнения упражнения, называемого
«волчок», фигурист сначала придает своему телу такую форму, которой соответствует максимальный момент инерции
(выпрямляет руки и одну ногу) и, отталкиваясь в этом состоянии ногой, он приобретает угловой момент IΩ. Уменьшая
момент инерции тела относительно оси, фигурист начинает быстро вращаться. Для остановки фигурист должен максимально увеличить свой момент инерции относительно оси вращения, поэтому заканчивает это упражнение, как
правило, реверансом.
Балерины получают возможность воспользоваться законом сохранения углового момента, танцуя на кончиках
пальцев ноги, так как таким образом они существенно уменьшают плечо силы трения со стороны пола. Для прекращения вращения балерина распрямляет руки и ногу и как обычно заканчивает вращение реверансом, что способствует остановке. Проследите за движениями танцовщиц во время выступления, и вы убедитесь, сколько бы потеряло
танцевальное искусство, не воспользуйся оно законом сохранения углового момента.
Закон сохранения углового момента действует также для вращения Земли вокруг собственной оси. Любые радиальные перемещения масс на Земле (атмосферные осадки, крупные вулканические извержения и т.п.) изменяют ее
момент инерции и вместе с этим ее угловую скорость. Это вызывает нерегулярные изменения длительности суток.
Экспериментально зафиксированы колебания длительности суток приблизительно на 0,001 с.
При уменьшении момента инерции вращающейся системы диск + экспериментатор кинетическая энергия вращения возрастает. Это следует из формулы
Квр  L2 2I ,
(10.20)
если учесть условие L  const . Однако изменение кинетической энергии возможно только
благодаря работе определенных сил. Это действующие в системе внутренние силы. Для приближения гантелей к оси вращения экспериментатор на скамье Жуковского должен развивать
мышечную силу. Эта сила играет в данном случае роль центростремительной силы и численно
равна F  m r , где r - расстояние гантели от оси вращения. При приближении гантелей к
оси вращения эта сила совершает положительную работу, благодаря которой и возрастает
кинетическая энергия системы.
2
Подтвердим сказанное конкретными расчетами. Работа силы
F  m2 r
(знак минус по-
казывает, что сила направлена к оси вращения) на элементарное перемещение
равна
dr
будет
 A1  Fdr  m2 rdr  m2 rdr .
Для перемещения двух гантелей, совершится вдвое больше работы. Работа для полного
перемещения будет
0
0
A  2m   rdr  2m 
2
R
R
Так как во время движения L = const , а
0
A  2mL
2

R
I
2
I2
0
L2
R I 2 rdr .
I  I 0  2mr 2 , то
rdr
0
 I   rdr  2m
 2mr 2 
2

L2  1
1
  
,
2 
2  I 0 I 0  2mR 
или
A
L2
L2

 К вр .
2 I 0 2  I 0  2mR 2 
(10.21)
То есть, возрастание кинетической энергии системы обусловлена работой мышечной силы и равна ей по величине.
Хотя приведенные расчеты и рассуждения полностью объясняют энергетическую сторону
рассматриваемого явления, но не отвечают на вопрос, какие силы вызывают изменение угловой скорости. Ведь угловые моменты гантелей и системы диск + экспериментатор каждый в
отдельности изменились, причем угловой момент гантелей полностью передался системе диск
+ экспериментатор. Понятно, что мышечно-центростремительная сила совершить подобного
действия не может, так как ее момент относительно оси вращения равен нулю. Перераспределение углового момента могут вызвать те силы, которые будут действовать на гантели и систему диск + экспериментатор с противоположно направленными моментами сил. Медленно
перемещая гантели, экспериментатор чувствует наличие сил бокового давления. Они перпендикулярны как оси вращения, так и перемещению гантелей и поэтому работы не совершают. Эти силы, действующие на гантели со стороны рук, изменяют угловой момент гантелей,
а силы, действующие со стороны гантелей на руки (а через них и на тело экспериментатора и
диск), уменьшают момент инерции системы диск + экспериментатор. С этими силами мы познакомимся в разделе сил инерции (сила Кориолиса).
рис.10.4а
рис.10.4б
С помощью скамьи Жуковоского можно показать векторную природу закона сохранения
момента импульса. С этой целью передадим экспериментатору, неподвижно стоящему на диске, длинный стержень с быстро вращающимся на его конце обручем, соединенном с ним через
подшипник (рис.10.4а). В этом положении весь угловой момент системы направлен по оси Z и
сосредоточен в обруче:
L  I об об ,
где
I об –
момент инерции обруча, а
 об –
угловая ско-
рость его вращения.
Так как относительно оси Z суммарный момент сил равен нулю, то относительно этой оси
угловой момент системы обруч + диск + экспериментатор сохранится. При отклонении экспериментатором оси вращения обруча на некоторый угол α относительно оси Z (рис. 10.4б) вся
система приобретает вращение в направлении вращения обруча. Это вполне соответствует
закону сохранения углового момента. Действительно, в отклоненном положении момент импульса обруча относительно оси Z уменьшается и становится равным
Lоб
z  I об об cos  .
Так что сохранение момента импульса обеспечивается дополнительным вращением всей
системы с угловой скоростью Ωα, чем компенсируется убыль z проекции момента импульса
Lz  I об об 1  cos    I  ,
где
I –
момент инерции системы относительно оси Z при отклоненном положении обруча.
При возвращении оси вращения обруча в вертикальное положение, вращение системы как
целого, прекращается, хотя, вообще говоря, система, взятая в целом, к исходному состоянию
не возвращается. Например, если в начальном состоянии экспериментатор стоял лицом к нам,
в конечном состоянии он может стоять лицом в обратную сторону.
Как и в предыдущем примере, здесь также перераспределение момента импульса происходит за счет сил бокового давления.
Контрольные вопросы:
 Как определяются моменты импульса и силы относительно оси?

Какова связь между угловым моментом и угловой скоростью системы относительно неподвижной оси?
 При каких условиях сохраняется угловой момент системы? Объясните опыту со скамьей
Жуковского.
 Как определяется момент инерции системы относительно заданной оси?
 Какую работу совершают внешние силы при сообщении телу вращение?
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском
яз.).
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М.,
Наука, 1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Иродов И.Е. Основные законы механики. ВШ.,М.1984.?
5. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 –
220 стр. (на армянском яз.).
6. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.