Самостоятельное решение выбранных случайным образом геометрических задач с

Самостоятельное
решение
выбранных
случайным образом геометрических задач с
Уральских турниров юных математиков и
олимпиад
имени
Эйлера.
Использование
компьютерной программы с попыткой решать
методом «идеального» построения.
Свойство
ряда
равных
отношений,
пропорциональность отрезков, теорема Фалеса
(Понарин «Элементарная геометрия. т.1», с.1620).
Вписанные
углы
(учебник,
Акопян
«Геометрия в картинках» (1.3-…), Понарин,
с.13-15).
Отражай, когда «угол падения равен углу
отражения»:
Желающие учиться и трудиться всерьёз могут
начать решать Нижегородский марафон для 89 классов.
1. В треугольнике ABC серединный
перпендикуляр
к
биссектрисе
AD
пересекает сторону AC в точке K. Через точку C проведена прямая, параллельная КB,
которая пересекает прямую AB в точке L. Докажите, что AC=BL.
2. На стороне AD прямоугольника ABCD находится точка M, а на сторонах AB и CD
взяты точки P и Q так, что отрезок PM параллелен диагонали BD, а отрезок QM
параллелен диагонали AC. Докажите, что площади треугольников PBM и QCM равны.
3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки А1 и С1 соответственно так, что
АА1=СС1. Точки M и N – середины отрезков АС и А1С1 соответственно. Докажите, что
прямая MN параллельна биссектрисе угла В. (Нижегородская городская открытая
олимпиада 2012г., 9 класс)
4. Точка М лежит на диаметре АВ окружности. Хорда CD проходит через М и
пересекает АВ под углом 45°. Докажите, что сумма СМ2 + DM2 не зависит от выбора
точки М.
5. На доске написаны числа 1, 2, ..., 33. За один шаг можно стереть любые два числа,
произведение которых — квадрат натурального числа, и вместо них записать
квадратный корень из их произведения (в частности можно заменить два равных числа
на одно). После нескольких шагов на доске остались числа, произведение любых двух
из которых — не точный квадрат. Докажите, что на доске осталось не менее 16 чисел.
6. Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два
взвешивания на двухчашечных весах найдите фальшивую монету.
7. Есть 30 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). Можно ли за три
взвешивания на двухчашечных весах гарантированно найти фальшивую монету?
8. Имеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться).
Каждый из учеников вытянул один билет (учеников не обязательно 30). Учитель
может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно
одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Какое минимальное число
раз ему надо проделать такую операцию, чтобы узнать номер билета у каждого
ученика?